Spațiu vectorial

Adunarea între vectori și înmulțirea cu un scalar: un vector Format:Math (albastru) este compus cu un alt vector Format:Math (roșu, imaginea de sus). Mai jos, w este întins cu un factor de 2, obținându-se suma Format:Math.

Un spațiu vectorial (numit și spațiu liniar) este o colecție de obiecte numite vectori, care pot fi adunați între ei și înmulțiți („scalați”) cu numere, denumite în acest context scalari. Scalarii sunt de multe ori luați ca numere reale, dar există și spații vectoriale în care înmulțirea cu un scalar se face cu numere complexe, numere raționale, sau, în general, din orice corp comutativ. Operațiunile de adunare vectorială și de înmulțire cu un scalar trebuie să îndeplinească anumite cerințe, numite axiome, enumerate mai jos.

Vectorii euclidieni sunt un exemplu de spațiu vectorial. Ei reprezintă cantități fizice, cum ar fi forțele: orice două forțe (de același tip) pot fi adunate pentru a produce o a treia, și înmulțirea unui vector forță cu un factor de înmulțire real dă un alt vector forță. În același fel, dar într-un sens mai geometric, vectorii care reprezintă deplasări în plan sau în spațiul tridimensional formează și ei spații vectoriale. Vectorii din spațiile vectoriale nu trebuie să fie neapărat obiecte reprezentabile prin săgeți, așa cum apar în exemplele amintite: vectorii sunt considerați ca abstracții matematice, obiecte cu proprietăți speciale, care în unele cazuri pot fi reprezentate sub forma unor săgeți.

Spațiile vectoriale fac obiectul algebrei liniare și sunt bine caracterizate prin dimensiunea lor, care, aproximativ vorbind, specifică numărul de direcții independente în spațiu. Spații vectoriale infinit-dimensionale apar în mod natural în analiza matematică, ca spații de funcții, ale căror vectori sunt funcții. Aceste spații vectoriale sunt, în general, înzestrate cu o structură suplimentară, care poate fi o topologie, care să permită luarea în considerare a aspectelor de proximitate și de continuitate. Printre aceste topologii, cele definite printr-o normă sau produs scalar sunt mai frecvent utilizate, ca având o noțiune de distanță dintre doi vectori. Este în special cazul spațiilor Banach și spațiilor Hilbert, care sunt fundamentale în analiza matematică.

Din punct de vedere istoric, primele idei care au condus la noțiunea de spațiu vectorial pot fi găsite în geometria analitică, matricile, sistemele de ecuații liniare, și vectorii euclidieni din secolul al XVII-lea. Abordarea modernă, mai abstractă, formulată pentru prima dată de către Giuseppe Peano în 1888, cuprinde obiecte mai generale decât spațiul euclidian, dar o mare parte din teorie poate fi văzută ca o extensie ideilor din geometria clasică, cum ar fi drepte, planuri și analogii în dimensiuni superioare.

Astăzi, spațiile vectoriale au aplicații în toată matematica, în științe și inginerie. Acestea sunt noțiunile liniar-algebrice adecvate pentru a trata sisteme de ecuații liniare; a oferi un cadru pentru dezvoltarea în serie Fourier, utilizată în rutinele de compresie a imaginilor; sau a oferi un mediu care poate fi folosit pentru tehnici de rezolvare a ecuațiilor cu derivate parțiale. Mai mult, spațiile vectoriale furnizează o modalitate abstractă, independentă de coordonate, de a trata obiecte fizice sau geometrice, cum ar fi tensorii. Aceasta, la rândul său, permite examinarea proprietăților locale ale varietăților prin tehnici de liniarizare. Spațiile vectoriale pot fi generalizate în mai multe moduri, ceea ce duce la mai multe noțiuni avansate în geometrie și algebra abstractă.

Introducere și definiții

Conceptul de spațiu vectorial va fi explicat în primul rând prin descrierea a două exemple concrete:

Primul exemplu: săgeți în plan

Primul exemplu de spațiu vectorial constă din săgeți într-un plan, pornind de la un punct fix (originea). Acestea sunt folosite în fizică pentru a descrie forțele sau vitezele. Date fiind oricare două astfel de săgeți, Format:Math și Format:Math, paralelogramul generat de aceste două săgeți conține o săgeată diagonală care începe și ea tot de la origine. Această nouă săgeată se numește suma celor două săgeți și este notată cu Format:Math. În cazul special când cele două săgeți sunt pe aceeași linie, suma lor este săgeata de pe această linie a cărui lungime este suma sau diferența de lungimi, în funcție dacă săgețile au același sens sau sensuri opuse. O altă operație care se poate face cu săgeți este scalarea: dat fiind orice număr real pozitiv a, săgeata care are aceeași direcție ca și Format:Math, dar este dilatată sau micșorată prin înmulțirea lungimii sale cu a, se numește înmulțire a lui Format:Math cu a. Acesta este notată av. Atunci când a este negativ, av este definit ca fiind o săgeată îndreptată în sens opus, pe aceeași direcție.

Următoarele arată câteva exemple: dacă a = 2, vectorul rezultat aw are aceeași direcție ca și Format:Math, dar este întins la lungime dublă față de Format:Math (dreapta imaginii de mai jos). Echivalent, Format:Math este suma Format:Math. În plus, Format:Math are sens opus și aceeași lungime ca Format:Math (vectorul albastru cu vârful în jos în imaginea din dreapta).

Al doilea exemplu: perechi ordonate de numere

Un al doilea exemplu de spațiu vectorial este dat ca perechile de numere reale Format:Math și Format:Math. (Ordinea componentelor Format:Math și Format:Math este importantă, astfel încât o astfel de pereche se numește și pereche ordonată.) O astfel de pereche este scrisă sub forma Format:Math. Suma a două astfel de perechi și înmulțirea unei perechi cu un număr sunt definite după cum urmează:

Format:Math + Format:Math Format:Math

și

Format:Math.

Primul exemplu de mai sus se reduce la acesta dacă săgețile sunt reprezentate printr-o pereche de coordonate carteziene ale punctelor lor de capăt.

Definiție

Un spațiu vectorial peste un corp comutativ Format:Math este structura formată dintr-o mulțime Format:Math împreună cu două operații, care satisface cele opt axiome enumerate mai jos. Elementele din Format:Math sunt de obicei numite vectori. Elementele din Format:Math sunt de obicei numite scalari. Prima operațiune, numită adunare vectorială sau pur și simplu adunare, ia orice doi vectori Format:Math și Format:Math și le atribuie un al treilea vector, care este de obicei scris ca Format:Math, și se numește suma acestor doi vectori. Cea de-a doua operație, numită înmulțire cu un scalar, ia orice scalar și orice vector Format:Math și dă un alt vector.

În acest articol, vectorii sunt deosebiți de scalari prin aceea că sunt scriși cu litere îngroșate. În cele două exemple de mai sus, corpul este corpul numerelor reale și mulțimea vectorilor este formată din săgeți plane având un punct fix de pornire și, respectiv, din perechi de numere reale.

Pentru a se califica drept spațiu vectorial, mulțimea Format:Math și operațiile de adunare și înmulțire cu un scalar trebuie să respecte o serie de cerințe numite axiome. În lista de mai jos, fie Format:Math, Format:Math și Format:Math vectori arbitrari din Format:Math, și a și Format:Math scalari din Format:Math.

Axioma	Înțelesul
Asociativitatea adunării	Format:Math
Comutativitatea adunării	Format:Math
Elementul neutru al adunării	Există un element Format:Math, numit vectorul nul, astfel încât Format:Math pentru orice Format:Math.
Elementul simetric al adunării	Pentru fiecare Format:Math, există un element Format:Math, numit opusul lui Format:Math, astfel încât Format:Math.
Format:Ill-wd înmulțirii cu un scalar cu înmulțirea corpului	a(bv) = (ab)v
Elementul neutru al înmulțirii cu un scalar	Format:Math, unde Format:Math reprezintă elementul neutru multiplicativ din Format:Math.
Distributivitatea înmulțirii cu un scalar față de adunarea vectorială	Format:Math
Distributivitatea înmulțirii cu un scalar în raport cu operatorul aditiv al corpului	Format:Math

Aceste axiome generalizează proprietățile vectorilor introduse în exemplele de mai sus. Într-adevăr, rezultatul adunării a două perechi ordonate (ca în al doilea exemplu de mai sus) nu depinde de ordinea operanzilor:

Format:Math.

De asemenea, în exemplul geometric în care vectorii erau văzuți ca săgeți, Format:Math întrucât paralelogramul care definește adunarea vectorilor este independent de ordinea vectorilor. Toate celelalte axiome pot fi verificate într-un mod similar în ambele exemple. Astfel, făcând abstracție de natura concretă a tipului particular de vectori pe care se lucrează, definiția include aceste două exemple, și multe altele, într-o singură noțiune unificatoare de spațiu vectorial.

Scăderea a doi vectori și împărțirea la un scalar nenul poate fi definită ca:

Format:Math,

Format:Math.

Atunci când corpul de scalari Format:Math este mulțimea numerelor reale Format:Math, spațiul vectorial se numește spațiu vectorial real. Atunci când câmpul scalar este mulțimea numerelor complexe, se numește spațiu vectorial complex. Aceste două cazuri sunt cele folosite cel mai adesea în inginerie. Definiția generală a unui spațiu vectorial permite ca scalarii să fie elemente din orice corp comutativ fix Format:Math, spațiul fiind denumit în acest caz spațiu vectorial peste Format:Math. Un corp comutativ este, în esență, o mulțime de numere care posedă operațiuni de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. De exemplu, numerele raționale formează și ele un corp comutativ.

Spre deosebire de analogia intuitivă care decurge din asocierea lor cu vectori în plan și din cazurile de dimensiune superioară, în spațiile vectoriale generale, nu există nicio noțiune de vecinătate, unghi sau distanță. Pentru tratarea unor astfel de probleme, se introduc tipuri particulare de spații vectoriale; vedeți mai jos.

Formule alternative și consecințe elementare

Adunarea vectorială și înmulțirea cu un scalar sunt operațiuni care îndeplinesc proprietatea de închidere: Format:Math și Format:Math în Format:Math pentru Format:Math din Format:Math, Format:Math, Format:Math din Format:Math. Unele surse mai vechi menționează aceste proprietăți ca axiome separate.

În limbajul algebrei abstracte, primele patru axiome pot fi subsumate prin impunerea condiției ca mulțimea de vectori să fie un grup abelian în raport cu adunarea. Restul de axiome conferă acestui grup o structură de Format:Math-Format:Ill-wd. Cu alte cuvinte, există un Format:Ill-wd Format:Math definit pe corpul Format:Math cu valori în Format:Ill-wd al grupului vectorilor. Atunci, înmulțirea cu un scalar av este definită ca Format:Math.

Există o serie de consecințe directe ale axiomelor spațiilor vectoriale. Unele dintre ele rezultă din aplicarea teoriei elementare a grupurilor asupra grupului aditiv al vectorilor: de exemplu, vectorul zero Format:Math din Format:Math și elementul invers Format:Math al oricărui vector Format:Math sunt unice. Alte proprietăți rezultă din legea distributivității, de exemplu av este egal cu 0 dacă și numai dacă a este egal cu 0 sau v este egal cu 0.

Istorie

Spațiile vectoriale rezultă din geometria afină prin introducerea de coordonate în plan sau în spațiul tridimensional. În preajma lui 1636, Descartes și Fermat au pus bazele geometriei analitice prin echivalarea soluțiilor unei ecuații cu două variabile, cu puncte de pe o curbă plană. În 1804, pentru a obține soluții geometrice fără utilizarea de coordonate, Bolzano a introdus anumite operațiuni pe puncte, linii și planuri, predecesoarele vectorilor. Lucrarea sa a fost apoi utilizată în conceperea Format:Ill-wd de către Möbius în 1827. În 1828, Format:Ill-wd sugera existența unei algebre care depășește nu numai algebra obișnuită, ci și algebra bidimensională creată de el în timp ce căuta o interpretare geometrică a numerelor complexe.

Definiția vectorilor s-a bazat pe noțiunea lui Bellavitis de bipunct, un segment orientat din care un capăt este originea și altul o țintă, și apoi elaborată în continuare cu prezentarea numerelor complexe de către Argand și Hamilton și introducerea cuaternionilor și Format:Ill-wd de către acesta din urmă. Acestea sunt elemente din Format:Math, Format:Math și Format:Math; tratarea lor drept Format:Ill-wd poate fi găsită la Laguerre în 1867, care și el a definit sisteme de ecuații liniare.

În 1857, Cayley a introdus notația matriceală, care permite o armonizare și o simplificare a aplicațiilor liniare. În același timp, Grassmann a studiat calculul baricentric inițiat de Möbius. El și-a imaginat mulțimi de obiecte abstracte dotate cu operațiuni. În lucrarea sa sunt prezente conceptele de Format:Ill-wd și dimensiune, precum și cea de produs scalar. În fapt, activitatea lui Grassmann din 1844 depășește cadrul spațiilor vectoriale, deoarece abordarea înmulțirii l-a condus pe el la ceea ce astăzi numim algebre. Peano a fost primul care a dat definiția modernă a spațiilor vectoriale și a aplicațiilor liniare în 1888.

O dezvoltare importantă în domeniul spațiilor vectoriale se datorează construcției spațiilor de funcții de către Lebesgue. Ulterior, aceasta a fost formalizată de către Banach și Hilbert, în preajma anului 1920. La acea vreme, algebra și noul domeniu al analizei funcționale au început să interacționeze, în special cu concepte-cheie, cum ar fi spațiile de funcții p-integrabile și spațiile Hilbert. Spațiile vectoriale, inclusiv cele infinit-dimensionale, au devenit mai târziu noțiuni ferm stabilite, și multe ramuri matematice au început să facă uz de aceste concepte.

Exemple

Spații de coordonate

Cel mai simplu exemplu de spațiu vectorial peste un corp comutativ Format:Math este corpul însuși, echipat cu adunarea și înmulțirea standard. Mai mult, în general, un spațiu vectorial poate fi compus din Format:Ill-wd (secvențe de lungime Format:Math) de elemente din Format:Math, cum ar fi

Format:Math, unde fiecare Format:Math este un element din Format:Math.

Un spațiu vectorial compus din toate Format:Math-tuplurile unui corp Format:Math este cunoscut drept Format:Ill-wd, de obicei, notat cu Format:Math. Cazul Format:Math este mai sus-menționatul exemplu simplu, în care corpul Format:Math este considerat și spațiu vectorial peste el însuși. Cazurile Format:Math și Format:Math au fost discutate în introducerea de mai sus.

Numerele complexe și alte extinderi ale corpului

Mulțimea numerelor complexe Format:Math, de exemplu, numere care pot fi scrise sub forma Format:Math pentru Format:Math și Format:Math numere reale, unde Format:Math este unitatea imaginară, formează un spațiu vectorial peste numerele reale cu obișnuitele operațiuni de adunare și înmulțire cu un scalar: Format:Math și Format:Math pentru numerele reale Format:Math, Format:Math, a, Format:Math și Format:Math. Diferite axiome ale spațiilor vectoriale rezultă din faptul că aceleași reguli rămân valabile pentru aritmetica numerelor complexe.

De fapt, exemplul numerelor complexe este, în esență, aceleași (adică este izomorf) cu spațiul vectorial al perechilor ordonate de numere reale menționat mai sus: dacă ne gândim la numărul complex Format:Math ca reprezentând perechea ordonată Format:Math în planul complex, atunci vom vedea că regulile pentru sumă și produs scalar corespund exact cu cele din exemplul anterior.

Mai mult, în general, extinderile de corp oferă o altă clasă de exemple de spații vectoriale, în special în algebră și Format:Ill-wd: un corp Format:Math care conține un corp mai mic Format:Math este spațiu vectorial peste E, prin operațiunile de înmulțire și de adunare date din Format:Math. De exemplu, numerele complexe sunt un spațiu vectorial peste R, iar extinderea de corp $𝐐(i\sqrt{5})$ este un spațiu vectorial peste Q.

Spații de funcții

Funcțiile definite pe orice mulțime fixă Format:Math cu valori într-un corp comutativ Format:Math formează și ele spații vectoriale, prin efectuarea punctuală a operațiunilor de adunare și înmulțire cu un scalar. Adică suma a două funcții Format:Math și Format:Math este funcția Format:Math dată de

Format:Math,

și în mod similar pentru înmulțire. Astfel de spații funcționale apar în multe situații geometrice, atunci când Format:Math este dreapta reală sau un interval, sau alte submulțimi ale lui Format:Math. Multe noțiuni de topologie și analiză, cum ar fi continuitatea, integrabilitatea sau derivabilitatea se comportă bine în raport cu liniaritatea: adunarea și înmulțirea cu un scalar a funcțiilor care posedă o astfel de proprietate o conservă. Prin urmare, mulțimea acestor funcții este spațiu vectorial. Ele sunt studiate în detaliu, folosind metodele de analiză funcțională. Constrângerile algebrice produc și ele spații vectoriale: Format:Ill-wd este dat de polinoamele:

Format:Math, unde coeficienții Format:Math sunt în Format:Math.

Ecuații liniare

Sistemele de ecuații liniare omogene sunt strâns legate de spațiile vectoriale. De exemplu, soluțiile sistemului

Format:Math	Format:Math	Format:Math	Format:Math	Format:Math	Format:Math
Format:Math	Format:Math	Format:Math	Format:Math	Format:Math	Format:Math

sunt date de triplete arbitrare cu a, b = a/2 și c = −5a/2. Ele formează un spațiu vectorial: și după adunarea și înmulțirea cu un scalar a acestui gen de triplete, ele continuă să satisfacă aceleași raporturi dintre cele trei variabile; astfel și ele sunt soluții. Matricele pot fi folosite pentru a condensa mai multe ecuații liniare ca mai sus într-o singură ecuație vectorială, și anume:

Format:Math,

unde A = $\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 4& 2& 2\end{array}\right]$ este matricea care conține coeficienții ecuațiilor date, Format:Math este vectorul Format:Math, Format:Math reprezintă înmulțirea de matrice, și Format:Math este vectorul zero. În mod similar, soluții ecuațiilor diferențiale liniare formează spații vectoriale. De exemplu,

Format:Math

produce Format:Math, unde a și Format:Math sunt constante arbitrare, și Format:Math e funcția exponențială cu baza naturală.

Baza și dimensiunea

Un vector Format:Math în Format:Math (albastru) exprimat în termeni de baze diferite: folosind baza standard din Format:Math (negru), și folosind altă bază, neortogonală: Format:Math (roșu).

Bazele permit reprezentarea vectorilor cu ajutorul unui șir de scalari numit coordonate sau componente. O bază este o mulțime (finită sau infinită) Format:Math de vectori Format:Math, pentru comoditate de multe ori indexați cu un Format:Ill-wd i, care generează întregul spațiu și este liniar independentă. „Care generează întregul spațiu” înseamnă că orice vector Format:Math poate fi exprimat ca sumă finită (numită combinație liniară) a elementelor bazei: $𝐯=a_1{𝐛}_{i_1}+a_2{𝐛}_{i_2}+\cdots +a_n{𝐛}_{i_n},$ unde Format:Math sunt scalari, numiți coordonatele (sau componentele) vectorului Format:Math în raport cu baza Format:Math, iar Format:Math Format:Math elemente din Format:Math. Independența liniară înseamnă că coordonatele Format:Math sunt unic determinate pentru orice vector din spațiul vectorial.

De exemplu, versorii Format:Math, Format:Math, până la Format:Math, formează o bază în Format:Math, numit Format:Ill-wd, deoarece orice vector Format:Math poate fi exprimat unic ca o combinație liniară a acestor vectori:

Format:Math.

Coordonatele corespunzătoare Format:Math, Format:Math, Format:Math, Format:Math sunt coordonatele carteziene ale vectorului.

Fiecare spațiu vectorial are o bază. Acest lucru rezultă din lema lui Zorn, o formulare echivalentă a axiomei alegerii. Date fiind celelalte axiome ale teoriei mulțimilor Zermelo–Fraenkel, existența bazelor este echivalentă cu axioma alegerii. Format:Ill-wd, care este mai slabă decât axioma alegerii, implică faptul că toate bazele unui anumit spațiu vectorial au același număr de elemente, sau același Format:Ill-wd (cf. Format:Ill-wd). Acest cardinal se numește dimensiunea spațiului vectorial, notată Format:Math. Dacă spațiul este generat de un număr finit de vectori, afirmațiile de mai sus pot fi demonstrate fără o astfel de informație fundamentală din teoria mulțimilor.

Dimensiunea de spațiului de coordonate Format:Math este Format:Math, conform bazei expuse mai sus. Dimensiunea inelului polinomial F[x] introdus mai sus este infinit numărabilă, o bază fiind dată de Format:Math, Format:Math, Format:Math, Format:Math Format:Ill-wd, dimensiunea spațiilor mai generale de funcții, cum ar fi spațiul funcțiilor pe un interval (mărginit sau nemărginit), este infinită. Sub ipoteze potrivite de regularitate a coeficienților implicați, dimensiunea spațiului soluției unei ecuații diferențiale ordinare omogene este egal cu gradul ecuației. De exemplu, spațiul soluțiilor ecuației de mai sus este generat de Format:Math. Aceste două funcții sunt liniar independente peste Format:Math, astfel încât dimensiunea acestui spațiu este doi, atât cât este și gradul ecuației.

O extindere de corp peste mulțimea numerelor raționale Format:Math poate fi gândită ca spațiu vectorial peste Format:Math (prin definirea adunării vectoriale ca adunarea corpului, definirea înmulțirii scalarilor ca fiind înmulțirea cu elemente din Format:Math, și altfel ignorând înmulțirea corpului). Dimensiunea (sau gradul) de extinderii de domeniu Format:Math peste Format:Math depinde de Format:Math. Dacă Format:Math satisface o ecuație polinomială

Format:Math, cu coeficienți raționali Format:Math.

(„α este algebric”), dimensiunea este finită. Mai exact, este egală cu gradul polinomului minimal având α ca rădăcină. De exemplu, numerele complexe C formează un spațiu vectorial bidimensional real, generat de baza formată din 1 și unitatea imaginară i. Acesta îndeplinește condiția i² + 1 = 0, ecuație de gradul doi. Astfel, C este R-spațiu vectorial bidimensional (și, ca și orice corp comutativ, unidimensional ca spațiu vectorial peste el însuși, C). Dacă α nu este algebric, dimensiunea Q(α) peste Q este infinită. De exemplu, pentru α = π nu există nici o astfel de ecuație, cu alte cuvinte π este transcendent.

Aplicații liniare și matrice

Relația dintre două spații vectoriale poate fi exprimată printr-o aplicație liniară sau transformare liniară. Acestea sunt funcții care reflectă structura spațiului vectorial, adică ele conservă sumele și înmulțirea cu un scalar:

f(x + y) = f(x) + f(y) și f(a · x) = a · f(x) pentru orice x și y din Format:Math, orice a din Format:Math.

Un izomorfism este o aplicație liniară Format:Math astfel încât există o aplicație inversă Format:Math, cu proprietatea că cele două Format:Ill-wd posibile Format:Math și Format:Math sunt egale cu aplicația identitate. Echivalent, Format:Math este atât injectivă cât și surjectivă. Dacă există un izomorfism între Format:Math și Format:Math, se spune că cele două spații sunt izomorfe; acestea sunt, în esență, identice ca spații vectoriale, deoarece toate identitățile valabile în Format:Math sunt, prin intermediul lui Format:Math, transformate în altele similare în Format:Math, și vice-versa prin Format:Math.

Descrierea unui vector săgeată v prin coordonatele sale x și y dă un izomorfism de spații vectoriale.

De exemplu, spațiile vectoriale „săgeți în plan” și „perechi ordonate de numere” din introducere sunt izomorfe: o săgeată în plan v care pornește din originea unui sistem de coordonate (fix) poate fi exprimată ca o pereche ordonată considerând componentele x și y ale săgeții, așa cum se arată în imaginea din dreapta. Analog, având în vedere o pereche (x, y), săgeata care duce x spre dreapta (sau spre stânga, dacă x este negativ), și y în sus (sau în jos, dacă y este negativ) se transformă înapoi în săgeata v.

Aplicațiile liniare Format:Math între două spații vectoriale formează un spațiu vectorial Hom_F(V, W),  notat și cu L(V, W). Spațiul aplicațiilor liniare de la Format:Math la Format:Math se numește Format:Ill-wd, notat cu Format:Math. Prin intermediul aplicației injective Format:Ill-wd Format:Math, orice spațiu vectorial poate fi încorporat în bidualul său; aplicația este un izomorfism dacă și numai dacă spațiul este finit-dimensional.

Odată fiind aleasă o bază a lui Format:Math, aplicațiile liniare Format:Math sunt complet determinate prin specificarea imaginilor vectorilor din bază, deoarece orice element din Format:Math se exprimă în mod unic ca o combinație liniară a acestora. Dacă Format:Math, o corespondență 1-la-1 între bazele fixe ale lui Format:Math și Format:Math dă naștere la o aplicație liniară care mapează orice element din baza lui Format:Math cu un element corespunzător din baza lui Format:Math. Este un izomorfism, prin definiție. Prin urmare, două spații vectoriale sunt izomorfe dacă au aceeași dimensiune și vice-versa. Un alt mod de a exprima acest lucru este că orice spațiu vectorial este complet clasificat (până la izomorfism) de dimensiunea acestuia, un singur număr. În special, orice Format:Math-spațiu vectorial Format:Math n-dimensional este izomorf cu Format:Math. Cu toate acestea, nu există un izomorfism „canonic” sau preferat; de fapt un izomorfism Format:Math este echivalent cu alegerea unei baze a lui Format:Math, mapând baza standard a lui Format:Math cu Format:Math, prin intermediul lui Format:Math. Libertatea de a alege o bază convenabilă este deosebit de utilă în context infinit-dimensional.

Matrice

O matrice tipică

Matricele sunt o noțiune utilă pentru codificarea aplicațiilor liniare. Ele sunt scrise ca un tablou dreptunghiular de scalari ca în imaginea din dreapta. Orice matrice m-pe-n A dă naștere unei aplicații liniare de la Format:Math la Format:Math, cu următoarea lege:

$𝐱=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\mapsto (\sum _{j=1}^n{a}_{1j}{x}_j,\sum _{j=1}^n{a}_{2j}{x}_j,\cdots ,\sum _{j=1}^n{a}_{mj}{x}_j)$, unde cu $\sum$ se notează suma,

sau, folosind înmulțirea matriceală a lui A cu coordonatele vectorului Format:Math:

Format:Math.

Mai mult decât atât, după alegerea bazelor lui Format:Math și Format:Math, orice aplicație liniară Format:Math este unic reprezentată de o matrice prin această atribuire.

Volumul acestui paralelipiped este valoarea absolută a determinantului matricei 3-pe-3 formată din vectorii Format:Math, Format:Mathși Format:Math.

Determinantul Format:Math al unei matrice pătrate Format:Math este un scalar care spune dacă aplicația liniară asociată este un izomorfism sau nu: pentru a fi izomorfism, este suficient și necesar ca determinantul să fie nenul. Transformarea liniară a lui Format:Math corespunzătoare unei matrice reale n-pe-nFormat:Ill-wd dacă și numai dacă determinantul este pozitiv.

Vectori și valori proprii

Format:Ill-wd, aplicații liniare Format:Math, sunt deosebit de importante deoarece, în acest caz, vectorii Format:Math pot fi comparați cu imaginea lor în raport cu Format:Math, Format:Math. Orice vector nenul Format:Math care satisface Format:Math, unde Format:Math este un scalar, se numește vector propriu al lui Format:Math cu valoarea proprie Format:Math. Echivalent, Format:Math este un element al nucleului diferenței Format:Math (în cazul în care Id este aplicația identitate Format:Math. Dacă Format:Math este finit dimensional, acest lucru poate fi reformulat folosind determinanți: Format:Math având valoarea proprie Format:Math este echivalent cu

Format:Math.

Dezvoltând definiția determinantului, expresia din partea stângă poate fi considerată a fi o funcție polinomială în Format:Math, numită Format:Ill-wd al Format:Math. Dacă Format:Math este suficient de mare pentru a conține o rădăcină a acestui polinom (care în mod automat se întâmplă pentru Format:Math algebric închis, cum este Format:Math) orice aplicație liniară are cel puțin un vector propriu. Spațiul vectorial Format:Math poate sau nu să posede o bază proprie, bază formată din vectori proprii. Acest fenomen este guvernat de Format:Ill-wd a aplicației. Mulțimea tuturor vectorilor proprii corespunzători unei anumite valori proprii a lui Format:Math formează un spațiu vectorial cunoscut ca spațiul vectorial propriu corespunzătoare valorii proprii (și lui Format:Math) în cauză. Pentru a ajunge la Format:Ill-wd, afirmația corespunzătoare în cazul infinit-dimensional, este nevoie de mecanismele analizei funcționale.

Construcția bazelor

În plus față de exemplele concrete de mai sus, există mai multe construcții liniare algebrice standard care generează spații vectoriale legate de cele date. În plus față de definițiile prezentate mai jos, acestea sunt și ele caracterizate prin Format:Ill-wd, care determină un obiect Format:Math prin specificarea aplicațiilor liniare de la Format:Math la orice alt spațiu vectorial.

Subspații și spații factor

[[Fișier:Linear_subspaces_with_shading.svg|dreapta|miniatura|250x250px|O dreaptă care trece prin origine (albastru, gros) în [[Spațiu euclidian|Format:Math]] este un subspațiu liniar. Este intersecția a două planuri (verde și galben).]] O submulțime nevidă W a unui spațiu vectorial V , care este închisă în raport cu adunarea și cu înmulțirea cu un scalar (și, prin urmare, conține vectorul zero din V) se numește subspațiu vectorial al lui V, sau pur și simplu subspațiu al lui V, atunci când spațiul ambiental este fără echivoc spațiu vectorial. Subspațiile lui V sunt spații vectoriale (peste același corp) de sine stătătoare. Intersecția tuturor subspațiilor conține o anumită mulțime S de vectori numită Format:Ill-wd, și acesta este cel mai mic subspațiu al lui V care conține mulțimea S. Exprimat în termeni de elemente, generatoarea este subspațiul format din toate Format:Ill-wd de elemente din S.

Un subspațiu liniar de dimensiune 1 este o dreaptă vectorială. Un subspațiu liniar de dimensiune 2 este un plan de vectori. Un subspațiu liniar care conține toate elementele de bază din spațiul ambiental este un hiperplan de vectori. Într-un spațiu vectorial de dimensiune finită Format:Math, un hiperplan este astfel un subspațiu de dimensiune Format:Math.

Omologul subspațiilor este spațiul vectorial factor. Dat fiind orice subspațiu Format:Math, spațiul factor V/W ("V Format:Ill-wd W") este definit după cum urmează: ca mulțime, el se compune din Format:Math unde v este un vector arbitrar din V. Suma a două astfel de elemente Format:Math și Format:Math este Format:Math și înmulțirea cu un scalar este dată de Format:Math. Punctul cheie în această definiție este faptul că Format:Math dacă și numai dacă diferența dintre v₁ și v₂ se află în W. Astfel, spațiul factor „uită” informațiile conținute în subspațiul W.

Nucleul Format:Math unei aplicații liniare Format:Math este format din vectorii v care sunt mapați la 0 din W. Atât nucleul cât și imaginea Format:Math} sunt subspații ale lui Format:Math și, respectiv, Format:Math. Existența nucleelor și imaginilor face parte din afirmația că Format:Ill-wd (peste un corp comutativ fix Format:Math) este Format:Ill-wd, adică un grup de obiecte matematice și aplicații de la una la alta care conservă structura (o categorie), care se comportă ca și Format:Ill-wd. De aceea, multe afirmații, cum ar fi Format:Ill-wd (numită și Format:Ill-wd în termeni de matrice)

Format:Math

și a doua și a treia teoremă de izomorfism pot fi formulate și demonstrate într-un mod foarte similar cu situațiile corespunzătoare pentru grupuri.

Un exemplu important este nucleul unei aplicații liniare Format:Math pentru o matrice fixă A, ca mai sus. Nucleul aceastei aplicații este un subspațiu de vectori Format:Math, astfel încât Format:Math, care este tocmai mulțimea soluțiilor sistemului omogen de ecuații liniare care aparțin lui A. De asemenea, acest concept se extinde la ecuații diferențiale liniare

$a_{0}f+a_1\frac{df}{dx}+a_2\frac{d^{2}f}{d{x}^2}+\cdots +a_n\frac{d^{n}f}{d{x}^n}=0$, unde coeficienții a_i sunt și ei funcții de x.

În aplicația corespunzătoare

$f\mapsto D(f)=\sum _{i=0}^n{a}_i\frac{d^{i}f}{d{x}^i}$,

derivatele funcției Format:Math apar liniar (adică nu apar de exemplu sub forma de Format:Math). Când diferențierea este o procedură liniară (adică Format:Math și Format:Math pentru orice constantă Format:Math) această atribuire este liniară, și se numește Format:Ill-wd. În particular, soluțiile ecuației diferențiale Format:Math formează un spațiu vectorial (peste Format:Math sau Format:Math).

Produsul direct și suma directă

Produsul direct al unor spații vectoriale și suma directă a unor spații vectoriale sunt două moduri de a combina o familie indexată de spații vectoriale într-un nou spațiu vectorial.

Produsul direct $\prod _{i\in I}{V}_i$ al unei familii de spații vectoriale Format:Math constă din mulțimea tuturor tuplurilor (Format:Math, care specifică pentru fiecare indice Format:Math dintr-o Format:Ill-wd I un element v_i al lui V_i. Adunarea și înmulțirea cu un scalar se realizează pe componente. O variantă a acestei construcții este suma directă ${\oplus }_{i\in I}{V}_i$ (notată cu $\coprod _{i\in I}{V}_i$), în care sunt permise numai tuplurile cu un număr finit de vectori nenuli. Dacă mulțimea de indici I este finită, cele două construcții sunt în acord, dar, în general, ele sunt diferite.

Produsul tensorial

Produsul tensorial Format:Math, sau mai simplu Format:Math, a două spații vectoriale V și W este una dintre noțiunile centrale ale Format:Ill-wd care se ocupă cu extinderea noțiunilor cum ar fi aplicațiile liniare la mai multe variabile. O aplicație Format:Math se numește biliniară dacă g este liniară în ambele variabile v și w. Cu alte cuvinte, pentru un w fix, aplicația Format:Math este liniară în sensul de mai sus și analog pentru v fix.

Produsul tensorial este un anumit spațiu vectorial care este primitor universal al aplicațiilor biliniare g, după cum urmează. Este definit ca spațiu vectorial format din sume finite (formale) de simboluri numite tensori

v₁ ⊗ w₁ + v₂ ⊗ w₂ + ... + v_n ⊗ w_n,

supuse regulilor

a · (v ⊗ w) = (a · v) ⊗ w = v ⊗ (a · w), unde a este un scalar,

(v₁ + v₂) ⊗ w = v₁ ⊗ w + v₂ ⊗ w, și

v ⊗ (w₁ + w₂) = v ⊗ w₁ + v ⊗ w₂.

Format:Ill-wd reprezentând proprietatea universală a produsului tensorial.

Aceste reguli asigură că aplicația f definită pe Format:Math cu valori în Format:Math care mapează un Format:Ill-wd Format:Math în Format:Math este biliniară. Universalitatea afirmă că, dat fiind orice spațiu vectorial Format:Math și orice aplicație biliniară Format:Math, există o aplicație unică Format:Math, arătată în diagramă cu o săgeată punctată, a cărei Format:Ill-wd cu Format:Math este egală cu Format:Math: Format:Math. Aceasta se numește Format:Ill-wd a produsului tensorial, un exemplu de metodă mult utilizată în algebra abstractă avansată—pentru a defini indirect obiecte prin specificarea unor aplicații definite pe acel obiect sau cu valori în el.

Spații vectoriale cu structură suplimentară

Din punctul de vedere al algebrei liniare, spațiile vectoriale sunt complet înțelese în măsura în care orice spațiu vectorial este caracterizat, până la izomorfism, prin dimensiunea sa. Cu toate acestea, spațiile vectoriale în sine nu oferă un cadru de abordare a chestiunii—cruciale pentru analiză—dacă un șir de funcții converge către o altă funcție. De asemenea, algebra liniară nu este adaptată pentru a trata șiruri infinite, deoarece operația aditivă permite adunarea numai a unui număr finit de termeni. Prin urmare, nevoile analizei funcționale impun considerarea unor structuri suplimentare.

Unui spațiu vectorial i se poate da o relație de ordine parțială ≤, în care unii vectori pot fi comparați. De exemplu, spațiul n-dimensional real Rⁿ poate fi ordonat prin compararea vectorilor pe componente. Format:Ill-wd, cum ar fi Format:Ill-wd, sunt fundamentale pentru Format:Ill-wd, care se bazează pe capacitatea de a exprima o funcție ca o diferență de două funcții pozitive

f = f⁺ − f⁻,

unde f⁺ reprezintă partea pozitivă a lui f și f⁻ partea negativă.

Spații vectoriale normate și spații cu produs scalar

„Măsurarea” vectorilor se face prin specificarea unei norme, un datum care măsoară lungimi de vectori, sau printr-un produs scalar, care măsoară unghiurile dintre vectori. Normele și produsele scalare se notează cu $|𝐯|$ și, respectiv, cu $⟨𝐯,𝐰⟩$. Natura unui produs scalar presupune că lungimile de vectori pot fi și ele definite, prin definirea normei asociate $|𝐯|:=\sqrt{⟨𝐯,𝐯⟩}$. Spațiile vectoriale înzestrate cu astfel de date sunt cunoscute sub denumirea de spații vectoriale normate și, respectiv, spații prehilbertiene.

Coordonatele spațiului Format:Math pot fi echipate cu produsul scalar standard:

$⟨𝐱,𝐲⟩=𝐱\cdot 𝐲=x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n.$

În R², acest lucru reflectă noțiunea comună de unghi între doi vectori x și y, prin legea cosinusurilor:

$𝐱\cdot 𝐲=\cos (\mathrm{\angle }(𝐱,𝐲))\cdot |𝐱|\cdot |𝐲|.$

Din această cauză, doi vectori care satisfac relația $⟨𝐱,𝐲⟩=0$ se numesc ortogonali. O variantă importantă a produsului scalar standard este folosită în spațiul Minkowski: R⁴ înzestrat cu produsul Lorentz

$⟨𝐱|𝐲⟩=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3-x_4{y}_4.$

Spre deosebire de produsul scalar standard, acesta nu este Format:Ill-wd: $⟨𝐱|𝐱⟩$ ia și valori negative, de exemplu pentru $𝐱=(0,0,0,1)$. Izolarea celei de-a patra coordonate corespunzătoare timpului, spre deosebire de cele trei dimensiuni ale spațiului—îl face util pentru tratarea matematică a relativității restrânse.

Spatii vectoriale topologice

Chestiunile de convergență sunt tratate prin luarea în considerare a spațiilor vectoriale Format:Math care au și o topologie compatibilă, o structură care ne permite să vorbim despre elemente ca fiind aproape unul de altul. „Compatibil” aici înseamnă că, adunarea și înmulțirea cu un scalar trebuie să fie aplicații continue. Aproximativ, dacă x și y din Format:Math, și Format:Math din Format:Math variază cu o cantitate mărginită, atunci la fel variază și Format:Math și Format:Math. Pentru a avea sens precizarea cantității cu care se modifică un scalar, corpul Format:Math trebuie să aibă în acest context și o topologie; o alegere comună sunt numerele reale sau cele complexe.

În astfel de spații vectoriale topologice, se poate considera un șir de vectori. Suma infinită

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_i$

reprezintă limita sumelor parțiale finite ale șirului Format:Math de elemente din Format:Math. De exemplu, Format:Math ar putea fi funcții (reale sau complexe) aparținând unui spațiu funcțional Format:Math, caz în care seria este o Format:Ill-wd. Format:Ill-wd al seriei depinde de topologia impusă spațiului de funcții. În astfel de cazuri, convergența punctuală și Format:Ill-wd sunt două exemple elocvente.

„Sferele” unitate din R² constau din vectori plani de normă 1. Sunt ilustrate sferele unitate în diferite p-norme, pentru p = 1, 2, și ∞. Pătratul cel mare ilustrează punctele a căror 1-normă este egală cu 2.

O modalitate de a asigura existența unor limite ale anumitor serii infinite este de a restricționa atenția asupra spațiilor în care orice șir Cauchy este convergent; un astfel de spațiu vectorial se numește complet. Aproximativ, un spațiu vectorial este complet cu condiția ca acesta să conțină toate limitele necesare. De exemplu, spațiul vectorial al polinoamelor definite pe intervalul unitate [0,1], echipat cu Format:Ill-wd nu este complet, deoarece orice funcție continuă pe [0,1] poate fi uniform aproximată printr-un șir de polinoame, de către Format:Ill-wd. În schimb, spațiul tuturor funcțiilor continue pe [0,1] cu aceeași topologie este complet. O normă dă naștere unei topologii prin definirea noțiunii că un șir de vectori v_n converge în v dacă și numai dacă

${\text{lim}}_{n\to \mathrm{\infty }}|{𝐯}_n-𝐯|=0.$

Spațiile Banach și Hilbert sunt spații vectoriale topologice complete ale căror topologii sunt date de o normă și, respectiv, de un produs scalar. Studiul lor—o piesă-cheie în analiza funcțională—se axează pe spații vectoriale infinit-dimensionale, deoarece toate normele pe spații vectoriale topologice finit-dimensionale dau naștere la aceeași noțiune de convergență. Imaginea din dreapta arată echivalența 1-normei și ∞-normei pe R²: cum „bilele” unitate se includ una pe alta, un șir converge la zero într-una din norme, dacă și numai dacă el converge și în cealaltă. În cazul infinit-dimensional însă vor exista, în general, topologii neechivalente, care fac studiul spațiilor vectoriale topologice mai bogat decât cel al spațiilor vectoriale fără date suplimentare.

Din punct de vedere conceptual, toate noțiunile legate de spații vectoriale topologice ar trebui să se potrivească cu topologia. De exemplu, în loc de a considera toate aplicațiile liniare (denumite și Format:Ill-wd) Format:Math, aplicațiile între spații vectoriale topologice sunt obligate să fie continue. În special, spațiul dual (topologic) Format:Math constă din funcționale continue Format:Math (sau Format:Math). Format:Ill-wd tratează separarea subspațiilor corespunzătoare spațiilor vectoriale topologice de funcționalele continue.

Spații Banach

Spațiile Banach, prezentate de Stefan Banach, sunt spații vectoriale complete normate. Un prim exemplu este spațiul vectorial ℓ ^p constând din vectori infiniți cu elemente reale Format:Math ale căror p-norme Format:Math date de

$|𝐱{|}_p:={(\sum _i|x_i{|}^p)}^{1/p}$ pentru p < ∞ și $|𝐱{|}_{\mathrm{\infty }}:={\text{sup}}_i|x_i|$

sunt finite. Topologiile pe spațiul infinit-dimensional ℓ ^p sunt neechivalente pentru p diferite. De exemplu, șirul de vectori Format:Math, adică primele 2ⁿ cu valoarea 2⁻ⁿ, și următoarele 0, converge la vectorul nul pentru Format:Math, dar nu și pentru Format:Math:

$|x_n{|}_{\mathrm{\infty }}=\sup (2^{-n},0)=2^{-n}\to 0$, dar $|x_n{|}_1=\sum _{i=1}^{2^n}{2}^{-n}=2^n\cdot 2^{-n}=1.$

Mai general decât șirurile de numere reale, funcțiile Format:Math sunt dotate cu o normă care înlocuiește suma de mai sus cu Format:Ill-wd

$|f{|}_p:={(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f(x){|}^{p}dx)}^{1/p}.$

Spațiul funcțiilor integrabile pe un anumit domeniu Ω (de exemplu un interval) care satisfac Format:Math, și sunt echipate cu această normă se numesc spații Lebesgue, notate Format:Math. Aceste spații sunt complete. (Dacă se folosește integrala Riemann în schimb, spațiul nu este complet, ceea ce poate fi considerat a fi o justificare pentru teoria integrării Lebesgue.) Concret, aceasta înseamnă că pentru orice șir de funcții integrabile Lebesgue Format:Math , cu Format:Math, care îndeplinesc condiția

$\underset{k,n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f_k(x)-f_n(x){|}^{p}dx=0$

există o funcție Format:Math aparținând spațiului vectorial Format:Math, astfel încât

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f(x)-f_k(x){|}^{p}dx=0.$

Impunerea condițiilor de mărginire nu numai pe funcție, ci și pe derivatele ei, duce la Format:Ill-wd.

Spații Hilbert

Cadrele succesive arată însumarea a de la 1 la 5 termeni care aproximează o funcție periodică (albastru) cu o sumă finită de funcții sinusoidale (roșu).

Spațiile prehilbertiene complete se numesc spații Hilbert, în cinstea lui David Hilbert. În spațiul Hilbert Format:Math, cu produsul scalar dat de

$⟨f,g⟩=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)\overline{g(x)}dx,$

unde cu $\overline{g(x)}$ se notează conjugata complexă a lui g(x), este un caz-cheie.

Prin definiție, într-un spațiu Hilbert, orice șir Cauchy converge la o limită. În schimb, este la fel de importantă și găsirea unui șir de funcții Format:Math cu proprietățile dorite care aproximează o anumită funcție-limită. Analiza timpurie, sub forma aproximării Taylor, a stabilit o aproximare a funcțiilor derivabile Format:Math cu polinoame. Conform Format:Ill-wd, orice funcție continuă pe Format:Math poate fi aproximată oricât de îndeaproape se dorește cu un polinom. O tehnică similară de aproximare cu funcții trigonometrice se numește de obicei dezvoltare în serie Fourier, și este aplicată frecvent în inginerie, a se vedea mai jos. Mai general, și mai conceptual, teorema dă o simplă descriere a ce „funcții de bază”, sau, în spațiile Hilbert abstracte, a ce vectori din bază sunt suficienți pentru a genera un spațiu Hilbert H, în sensul că Format:Ill-wd intervalului generat de ele (de exemplu, combinațiile liniare finite și limitele acestora) este întregul spațiu. O astfel de mulțime de funcții se numește o bază a lui H, cardinalitatea sa fiind cunoscută ca dimensiune a spațiului Hilbert. Nu numai că teorema prezintă funcțiile corespunzătoare din bază ca fiind suficiente pentru scopul aproximării, ci, împreună cu procedeul Gram-Schmidt, ea permite și construirea unei Format:Ill-wd. Astfel de baze ortogonale sunt generalizările la nivel de spațiu Hilbert ale axelor de coordonate în spațiul euclidian finit-dimensional.

Soluțiile a diverse ecuații diferențiale pot fi interpretate în termeni de spații Hilbert. De exemplu, numeroase domenii ale fizicii și ingineriei duc la astfel de ecuații și soluții cu anumite proprietăți fizice sunt frecvent utilizate ca funcții de bază, de multe ori ortogonale. Ca un exemplu din fizică, ecuația lui Schrödinger dependentă de timp din mecanica cuantică descrie schimbarea proprietăților fizice în timp printr-o ecuație cu derivate parțiale, ale cărei soluții sunt numite funcții de undă. Valorile definite pentru proprietățile fizice, cum ar fi energia, sau impulsul, corespund valorilor proprii ale unui Format:Ill-wd (liniar) și funcțiile de undă asociate se numesc stări proprii. Format:Ill-wd descompune un Format:Ill-wd liniar care acționează asupra funcțiilor în termenii acestor funcții proprii și valorilor lor proprii.

Algebre peste corpuri

O hiperbolă, dată de ecuația Format:Math. Format:Ill-wd al funcțiilor pe această hiperbolă este dat de Format:Math, un spațiu vectorial infinit-dimensional peste Format:Math.

Spațiile vectoriale generale nu posedă o înmulțire între vectori. Un spațiu vectorial dotat un operator biliniar care definește înmulțirea a doi vectori este o algebră peste un corp. Multe algebre rezultă din funcții definite pe unele obiecte geometrice: întrucât funcțiile cu valori într-un anumit domeniu pot fi înmulțite punctual, aceste entități formează algebre. Teorema Stone–Weierstrass menționată mai sus, de exemplu, se bazează pe Format:Ill-wd, care sunt atât spații Banach, cât și algebre.

Algebra comutativă face mare uz de Format:Ill-wd într-una sau mai multe variabile, introduse mai sus. Înmulțirea lor este atât comutativă, cât și asociativă. Aceste inele și factorii lor formează baza geometriei algebrice, deoarece acestea sunt Format:Ill-wd.

Un alt important exemplu sunt algebrele Lie, care nu sunt nici comutative și nici asociative, dar faptul că nu sunt limitate de constrângerile (Format:Math reprezintă produsul dintre Format:Math și Format:Math):

• Format:Math (Format:Ill-wd), și
• Format:Math (Format:Ill-wd).

Printre exemple se numără spațiul vectorial al matricelor n-pe-n, cu Format:Math, Format:Ill-wd a două matrice, și Format:Math, dotat cu produsul vectorial.

Format:Ill-wd T(V) este un mod formal de a adăuga produsul la orice spațiu vectorial V pentru a obține o algebră. Ca spațiu vectorial, este generat de simboluri, numite simplu tensori

Format:Math, unde gradul Format:Math variază.

Înmulțirea este dată prin concatenarea acestor simboluri, care impune în plus legea distributivă față de adunare, și faptul că necesită ca înmulțirea cu un scalar să fie comutativă cu produsul tensorial ⊗, în același fel ca și produsul tensorial a două spații vectoriale introdus mai sus. În general, nu există relații între Format:Math și Format:Math. Forțând două astfel de elemente să fie egale, se obțin Format:Ill-wd, pe când punerea condiției ca Format:Math dă algebre exterioare.

Aplicații

Spații vectoriale au multiple aplicații întrucât apar în multe situații, și anume oriunde sunt implicate funcții cu valori într-un anumit corp. Ele oferă un cadru de tratare a problemelor analitice și geometrice, sau sunt utilizate în transformata Fourier. Această listă nu este exhaustivă: există mult mai multe aplicații, de exemplu, în optimizare. Format:Ill-wd din teoria jocurilor, care afirmă existența unui câștig unic atunci când toți jucătorii joacă optim poate fi formulată și demonstrată folosind metode cu spații vectoriale. Teoria reprezentării reușește să transfere buna înțelegere a algebrei liniare și a spațiilor vectoriale în alte domenii matematice, cum ar fi teoria grupurilor.

Distribuții

O distribuție (sau o funcție generalizată) este o aplicație liniară ce atribuie un număr fiecărei Format:Ill-wd, de obicei, o Format:Ill-wd cu Format:Ill-wd, într-un mod continuu: în terminologia de mai sus, spațiul distribuțiilor este dualul (continuu) al spațiului funcției „test”. Acesta din urmă este dotat cu o topologie care ia în considerare nu numai pe Format:Math în sine, ci și toate derivatele sale superioare. Un exemplu standard este rezultatul integrării unei funcții test Format:Math pe un domeniu Ω:

$I(f)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)dx.$

Atunci când Format:Math mulțimea formată dintr-un singur punct, aceasta se reduce la distribuția Dirac, notată cu δ, care asociază unei funcții test Format:Math valoarea sa în punctul Format:Math. Distribuțiile sunt un instrument puternic de rezolvare a ecuațiilor diferențiale. Deoarece toate noțiunile analitice standard, cum ar fi derivatele, sunt liniare, ele se extind în mod natural în spațiul distribuțiilor. Prin urmare, ecuația în cauză poate fi transferată într-un spațiu de distribuție, care este mai mare decât spațiul funcțional de bază, astfel că sunt disponibile mai multe metode flexibile pentru rezolvarea ecuației. De exemplu, Format:Ill-wd și Format:Ill-wd sunt, de obicei, distribuții, și nu funcții propriu-zise, și pot fi apoi folosite pentru a găsi soluții ale ecuației cu condițiile la limită prescrise. Soluția găsită poate fi atunci, în unele cazuri, demonstrată a fi de fapt o funcție adevărată, și o soluție pentru ecuația originală (de exemplu, folosind Format:Ill-wd, o consecință a Format:Ill-wd).

Analiza Fourier

Ecuația căldurii descrie variația proprietăților fizice în timp, cum ar fi scăderea temperaturii unui corp fierbinte plasat într-un mediu mai rece (galben descrie regiunile mai reci decât cele roșii).

Dezvoltarea unei funcții periodice într-o sumă de funcții trigonometrice formează o serie Fourier, o tehnică des utilizată în fizică și inginerie. Spațiul vectorial este, de obicei, spațiul Hilbert L²(0, 2π), pentru care funcțiile Format:Math și Format:Math (cu m un număr întreg) formează o bază ortogonală. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcții Format:Math este

$\frac{a_0}{2}+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}[a_m\cos \left(mx\right)+b_m\sin \left(mx\right)].$

Coeficienții Format:Math și Format:Math se numesc coeficienții Fourier ai lui Format:Math, și sunt calculați prin formulele

$a_m=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(t)\cos (mt)dt$, $b_m=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(t)\sin (mt)dt.$

Din punct de vedere fizic, funcția este reprezentată ca o suprapunere de unde sinusoidale și coeficienții dau informații despre Format:Ill-wd al funcției. Se mai folosește frecvent și o formă cu numere complexe a seriei Fourier. Formulele concrete de mai sus sunt consecințele unei mai generale dualități matematice numită Format:Ill-wd. Aplicată grupului R, ea dă transformata Fourier clasică; o aplicație în fizică sunt Format:Ill-wd, în care grupul de bază este un spațiu vectorial finit-dimensional real înzestrat cu elementele suplimentare ale unei rețele ce codifică pozițiile atomilor în cristale.

Seriile Fourier sunt folosite și pentru a rezolva probleme cu condiții la limită în ecuațiile cu derivate parțiale. În 1822, Fourier a fost primul care a folosit această tehnică pentru a rezolva ecuația căldurii. O versiune discretă a seriilor Fourier se poate folosi în aplicații de eșantionare în care valoarea funcției este cunoscută doar într-un număr finit de puncte echidistante. În acest caz, seria Fourier este finită și valoarea sa este peste tot egală cu punctele eșantionate. Mulțimea coeficienților este cunoscută sub numele de Format:Ill-wd (DFT) a eșantionului dat. DFT este unul dintre instrumentele-cheie din Format:Ill-wd, un domeniu printre ale cărui aplicații se numără radarul, Format:Ill-wd, compresia imaginilor. Formatul de imagine JPEG este o aplicație strâns legată de transformarea cosinus discretă.

Format:Ill-wd este un algoritm rapid de calcul a transformatei Fourier discrete. Este folosit nu numai pentru calculul coeficienților Fourier ci, folosind Format:Ill-wd, și pentru calculul convoluției a două șiruri finite. Acestea, la rândul lor, sunt aplicate în Format:Ill-wd și ca Format:Ill-wd pentru polinoame și numere întregi mari (Format:Ill-wd).

Geometrie diferențială

Spațiul tangent la o 2-sferă la un moment dat este planul infinit care atinge sfera în acel punct.

Format:Ill-wd la o suprafață într-un punct este, în mod natural, un spațiu vectorial a cărui origine este punctul de contact. Planul tangent este cea mai bună aproximare liniară, sau Format:Ill-wd a unei suprafețe într-un punct. Chiar și într-un spațiu euclidian tridimensional, nu există de obicei niciun mod natural de a prescrie o bază a planului tangent, și, deci, el este conceput ca un spațiu vectorial abstract, mai degrabă decât ca un spațiu cu coordonate reale. Spațiul tangent este generalizarea la Format:Ill-wd de dimensiuni superioare.

Format:Ill-wd sunt varietăți ale căror spații tangente sunt dotate cu un produs scalar adecvat. De aici rezultă tensorul Riemann (de curbură) care codifică toate curburile unei varietăți într-un singur obiect, care își găsește aplicații în teoria relativității generale, de exemplu, în care Format:Ill-wd descrie materia și conținutul de energie al spațiu-timpului. Spațiul tangent la un grup Lie poate fi dat în mod natural ca structura unei algebre Lie și poate fi folosit pentru a clasifica Format:Ill-wd.

Generalizări

Fibrate vectoriale

O bandă Möbius. La nivel local, ea Format:Ill-wd Format:Math.

Un fibrat vectorial este o familie de spații vectoriale parametrizate continuu de un spațiu topologic Format:Math. Mai precis, un fibrat vectorial peste Format:Math este un spațiu topologic Format:Math echipat cu o aplicație continuă

$\pi :E\to X$

cu proprietatea că pentru orice Format:Math din Format:Math, Format:Ill-wd Format:Math este un spațiu vectorial. Cazul Format:Math se numește o Format:Ill-wd. Pentru orice spațiu vectorial Format:Math, proiecția Format:Math transformă produsul Format:Math într-un Format:Ill-wd. Fibratele vectoriale peste Format:Math sunt în mod necesar Format:Ill-wd un produs între Format:Math și un spațiu vectorial fixat Format:Math: pentru fiecare Format:Math din Format:Math, există o vecinătate Format:Math a lui Format:Math astfel încât restricția lui Format:Math la Format:Math este izomorfă cu fibratul trivial Format:Math. În ciuda caracterului lor local și trivial, fibratele vectoriale pot (în funcție de forma spațiului-suport Format:Math) să fie „răsucite” la scară mare (de exemplu, fibratul nu trebuie să fie global izomorf cu fibratul trivial Format:Math). De exemplu, fâșia lui Möbius poate fi văzută ca un fibrat vectorial de drepte peste cercul S¹ (identificând intervale deschide pe dreapta reală). Cu toate acestea, este diferit de cilindrul Format:Math, deoarece acesta din urmă este Format:Ill-wd, în timp ce fâșia lui Möbius, nu.

Proprietățile anumitor fibrate vectoriale oferă informații despre spațiul topologic suport al lor. De exemplu, Format:Ill-wd constă din mulțimea Format:Ill-wd parametrizată de punctele unei varietăți derivabile. Fibratul tangent la cercul Format:Math la nivel global este izomorf cu Format:Math, deoarece nu există câmp vectorial global nenul pe Format:Math. În contrast, conform Format:Ill-wd, nu există niciun câmp vectorial (tangent) pe 2-sfera Format:Math, care să fie peste tot nenul. Format:Ill-wd studiază clasele de izomorfism ale tuturor fibratelor vectoriale peste un spațiu topologic. În plus față de perspectivele topologice și geometrice mai profunde, conceptul are consecințe pur algebrice, cum ar fi clasificarea algebrelor cu diviziune reale și de dimensiuni finite: R, C, cuaternionii H și octonionii O.

Format:Ill-wd al unei varietăți diferențiabile constă, în fiecare punct al varietății, din dualul spațiului tangent, Format:Ill-wd. Format:Ill-wd acelui fibrat sunt cunoscute sub numele de Format:Ill-wd.

Module

Modulele sunt pentru inele ce sunt spații vectoriale pentru corpuri: aceleași axiome, aplicate la un inel Format:Math în loc de un corp comutativ Format:Math, dau module. Teoria modulelor, față de cea a spațiilor vectoriale, este complicată de prezența elementelor de inel care nu au Format:Ill-wd. De exemplu, modulele nu au neapărat baze, după cum demonstrează Z-modulul (de exemplu, grupul abelian) Format:Ill-wd; acele module care au bază (între care se numără și spațiile vectoriale) sunt cunoscute sub numele de Format:Ill-wd. Cu toate acestea, un spațiu vectorial poate fi compact definit ca un Format:Ill-wd peste un inel care este și corp, elementele lui fiind denumite vectori. Unii autori folosesc termenul de spațiu vectorial cu sensul de modul peste un inel cu operație de diviziune. Interpretarea algebro-geometrică a inelelor comutative prin intermediul Format:Ill-wd permite dezvoltarea de concepte cum ar fi Format:Ill-wd, omologul algebric al fibratelor vectoriale.

Spații afine și proiective

Un plan afin (albastru-deschis) în R³. Este un subspațiu bidimensional deplasat cu un vector x (roșu).

Ca definiție aproximativă, spațiile afine sunt spații vectoriale ale căror origini nu sunt specificate. Mai precis, un spațiu afin este o mulțime cu o acțiune de spațiu vectorial Format:Ill-wd. În special, un spațiu vectorial este un spațiu afin peste sine, prin aplicația

Format:Math.

Dacă Format:Math este un spațiu vectorial, atunci un subspațiu afin este o submulțime a lui Format:Math obținută prin translatarea unui subspatiu liniar Format:Math cu un vector Format:Math fixat; acest spațiu este notat cu Format:Math și este format din toți vectorii de forma Format:Math pentru Format:Math Un exemplu important este spațiul soluțiilor unui sistem de ecuații liniare neomogene

Format:Math

generalizând cazul omogen Format:Math de mai sus. Spațiul soluțiilor este subspațiul afin Format:Math , unde x este o soluție particulară a ecuației, și Format:Math este spațiul de soluții ale ecuației omogene (nucleul lui Format:Math).

Mulțimea subspațiilor monodimensionale ale unui spațiu vectorial finit-dimensional Format:Math este cunoscută ca spațiu proiectiv; acesta poate fi folosit pentru a formaliza ideea dreptelor paralele care se intersectează la infinit. Format:Ill-wd și Format:Ill-wd generalizează acest lucru prin parametrizarea subspațiilor vectoriale de dimensiune fixă Format:Math și, respectiv, a steagurilor subspațiilor.

Bibliografie

Algebră

• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Lang Algebra
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation

Analiză

• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Springer
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation

Referințe istorice

• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation, retipărit: Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation

Alte referințe

• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:CitationFormat:Legătură nefuncțională
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Weibel IHA

Legături externe

• Format:En icon Format:Springer
• Format:En icon O prelegere despre concepte fundamentale referitoare la spații vectoriale (ținută la MIT)
• Format:En icon Simulator grafic pentru conceptele de generare, liniar-dependență, bază și dimensiune

Format:Articol bun Format:Algebră liniară