Algebră Grassmann

Algebra Grassmann sau algebră exterioară (a unui spațiu vectorial real finit-dimensional $V$ ) este o $ℝ$-algebră asociativă cu element 1, notată $\mathrm{\Lambda }(V)$, cu proprietățile:

• $V$ este un subspațiu vectorial al lui $\mathrm{\Lambda }(V)$ și $v\wedge v=0$ pentru orice $v\in V,$ unde prin $\wedge$ se notează înmulțirea în $\mathrm{\Lambda }(V)$;
• algebra $\mathrm{\Lambda }(V)$ este generată de elementul unitate împreună cu elementele lui $V$ ;
• $\mathrm{\Lambda }(V)$ este un spațiu vectorial de dimensiune $2^n,$ unde $n$ este dimensiunea lui $V$.

Nmele provine de la matematicianul Hermann Grassmann care, în 1846, a introdus așa-numitele mărimi extensive, precursoare ale multivectorilor de mai târziu.

Construcția unei algebre Grassmann

Pentru a construi o astfel de algebră, se consideră spațiul vectorial $V^{*}:=Ho{m}_{ℝ}(V,ℝ)$, care este dualul spațiului vectorial $V$ adică spațiul tuturor funcționalelor (formelor) liniare pe $V.$

Definiție. Dacă $W,V_1,V_2,\cdots ,V_p$ sunt spații vectoriale, o aplicație $f:V_1\times V_2\times \cdots \times V_p⟶W$ se numește aplicație $p$-liniară (sau aplicație multiliniară de grad $p$) dacă, pentru orice $i\in \{1,2,\cdots ,p\}$ și orice sistem de vectori $v_j\in V_j,j\ne i$, aplicație parțială

$V_i\ni v\mapsto f(v_1,v_2,\cdots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\cdots ,v_p)\in W$

este liniară.

Definiție. O aplicație multiliniară de grad $p=2$ se numește aplicație biliniară.

Definiție. Se numește p-tensor covariant (sau tensor covariant de grad p sau funcțională multiliniară de grad p sau formă p-liniară) pe $V$ orice aplicație p-liniară $f:V^p\to ℝ.$

Mulțimea tuturor p-tensorilor covarianți pe spațiul vectorial $V$ are o structură evidentă de spațiui vectorial; acest spațiu vectorial se notează prin $T^p(V^{*})$ și se numește a p-a putere tensorială a lui $V^{*}.$

Există relația $T^1(V^{*})=V^{*}$ și se pune, prin definiție, $T^0(V^{*}):=ℝ$ adică un tensor covariant de grad zero pe $V$ este un număr real. În fine, se pune:

$T(V^{*}):=\underset{p\ge 0}{⨁}{T}^p(V^{*})$ (suma directă de spații vectoriale).

Definiție. Dacă $p,q\in \mathbb{N}$, produsul tensorial a doi tensori covarianți $f\in T^p(V^{*})$ și $g\in T^q(V^{*})$ este tensorul covariant $f\otimes g\in T^{p+q}(V^{*})$ definit prin:

$(f\otimes )g(v_1,v_2,\cdots ,v_{p+q})=f(v_1,v_2,\cdots ,v_p)g(v_{p+1},v_{p+2},\cdots ,v_{p+q})$

pentru $v_1,v_2,\cdots ,v_{p+q}\in V.$

Când $p=0,f=c\in ℝ$ și se pune $f⨂g=cg;$ în mod similar se tratează cazul $q=0.$ Produsul tensorial este o operație biliniară și asociativă, dar necomutativă în grade $p,q\ge 1.$ Această operație se extinde prin liniaritate la o înmulțire pe spațiul vectorial $T(V^{*}),$ care face din acest spațiu vectorial o $ℝ-$algebră, numită algebră tensorială a lui $V^{*}.$ Pentru orice $p\in \mathbb{N},$ grupul $S_p$ al permutărilor mulțimii $\{1,2,\cdots ,p\}$ acționează la stânga pe spațiul vectorial $T^p(V^{*})$ prin aplicația $S_p\times T^p(V^{*})\ni (\sigma ,f)\mapsto \sigma f\in T^p(V^{*})$ definită prin:

$\sigma (v_1,v_2,\cdots ,v_p):=f(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\cdots ,v_{\sigma (p)})$

pentru orice $p-$uplu de vectori $v_1,v_2,\cdots ,v_p\in V.$ Un $p-$tensor covariant $f$ pe spațiul vectorial $V$ se numește alternant (sau exterior) dacă $\sigma f=\epsilon (\sigma )f$ pentru orice $\sigma \in S_p,$ unde $\epsilon (\sigma )$ este semnul permutării $\sigma$ adică $\epsilon (\sigma )=1$ când $\sigma$ este pară și $\epsilon (\sigma )=-1$ când $\sigma$ este impară.

Mulțimea tuturor $p-$tensorilor covarianți alternanți pe $V$ este un subspațiu vectorial al lui $T^p(V^{*})$, care se notează prin ${\wedge }^p(V^{*})$ și se numește puterea exterioară de grad $p$ al lui $V^{*}$. Există relația: ${\wedge }^1(V^{*})=T^1(V^{*})=V^{*}$ și se pune, prin definiție, ${\wedge }^0(V^{*}):=T^0(V^{*})=ℝ.$ În fine, se pune:

$\wedge (V^{*})=\underset{p\ge 0}{⨁}{\wedge }^p(V^{*})$ (sumă directă de spații vectoriale).

Definiție. Pentru orice număr natural $p$ se definește o aplicație liniară $Alt:T^p(V^{*})\to T^p(V^{*})$, numită aplicația de alternare, definită prin:

$Alt(𝑓):=\frac{1}{p!}\sum _{\sigma \in S_p}\epsilon (\sigma )\sigma f.$

Această aplicație posedă proprietățile:

1. Pentru orice $f\in T^p(V^{*}),$ rezultă $Alt(f)\in \mathrm{\Lambda }{}^p(V^{*});$
2. Dacă $f\in \mathrm{\Lambda }{}^p(V^{*}),$ atunci $Alt(f)=f;$
3. $Alt(\sigma f)=\epsilon (\sigma )Alt(f);$
4. $Alt(Alt(f)\otimes g)=Alt(f\otimes Alt(g))=Alt(f\otimes g)$ pentru $f\in T^p(V^{*})$ și $g\in T^q(V^{*});$
5. $Alt(g\otimes f)=(-1{)}^{pq}Alt(f\otimes g)$ pentru $f\in T^p(V^{*})$ și $g\in T^q(V^{*}).$

Definiție. Dacă $p,q\in \mathbb{N},$ produsul exterior a doi tensori alternați $f\in {\mathrm{\Lambda }}^p(V^{*})$ și $g\in {\mathrm{\Lambda }}^q(V^{*})$ este tensorul alternat $f\wedge g\in {\mathrm{\Lambda }}^{p+q}(V^{*})$ definit prin:

$f\wedge g=\frac{(p+q)!}{p!q!}\cdot Alt(f\otimes g)=\frac{1}{p!q!}\sum _{\sigma \in S_{p+q}}\epsilon (\sigma )\sigma (f\otimes g).$

Când $p=0,f=c\in ℝ$ și se pune $c\wedge g=cg;$ în mod similar se tratează cazul $q=0.$ Produsul exterior este o operație biliniară, asociativă și, în plus, anticomutativă, adică $f\wedge g=(-1{)}^{pq}g\wedge p$ dacă $f$ este de grad $p$ și $g$ de grad $q;$ în particular, $f\wedge f=0$ când $f$ este de grad impar. Se observă că dacă $f_1,f_2,\cdots ,f_N$ sunt tensori alternați pe $V$ de grade $p_1,p_2,\cdots ,p_N$ respectiv, atunci:

$f_1\wedge f_2\wedge \cdots \wedge f_N=\frac{(p_1+p_2+\cdots +p_N)!}{p_1!p_2!\cdots p_N!}\cdot Alt(f_1\otimes f_2\otimes \cdots \otimes f_N).$

Produsul exterior se extinde prin liniaritate la o înmulțire pe spațiul vectorial $\mathrm{\Lambda }(V^{*})$ și face din acest spațiu vectorial o $ℝ$-algebră, numită algebra Grassmann a lui $V^{*}.$

Teoreme

Teorema bazei. Dacă $f_1,f_2,\cdots ,f_n$ este un reper al lui $V^{*}$, atunci produsele exterioare de forma $f_{i_1}\wedge f_{i_2}\wedge \cdots \wedge f_{i_p}$ cu $1\le i_1\le i_2\le \cdots \le i_p\le n$ formează un reper în spațiul vectorial ${\mathrm{\Lambda }}^p(V^{*})$; în particular acest spațiu vectorial are dimensiunea $C_n^p=\frac{n!}{p!(n-p)!}$ când $0\le p\le n$ și $C_n^p:=0$ când $p>n$, deci spațiul vectorial $\mathrm{\Lambda }(V^{*})$ este de dimensiune $2^n.$

Dacă $W$ este un alt spațiu vectorial de dimensiune finită, se asociază fiecărei aplicații liniare $A:W\to V$ un morfism de $ℝ-$algebre $A^{*}:\mathrm{\Lambda }(V^{*})\to \mathrm{\Lambda }(W^{*})$ definit, pentru orice $f\in {\mathrm{\Lambda }}^p(V^{*})$, prin $A^{*}(f):=f\circ A^p$, unde $A^p:=A\times A\times \cdots \times A$ (de p ori), când $pge1$ și $A^{*}(f):=f$ când $p=0$; tensorul alternant $A^{*}(f)$ are același grad cu $f$ și se numește imaginea inversă a lui f prin aplicația liniară $A.$ Aplicațiile $V\mapsto \mathrm{\Lambda }(V^{*})$ și $\mapsto A^{*}$ definesc un vector contravariant de la spații vectoriale de dimensiune finită la $ℝ-$algebre.

Teorema determinantului'. Dacă $A$ este un endomorfism al lui $V,$ atunci pentru orice n-tensor alternant f pe $V,$ unde n este dimensiunea lui $V$, există relația: $A^{*}(f)=det(A)f.$

Având în vedere că determinantul $detA$ al unui endomorfism $A$ al lui $V$ se definește folosind un reper al lui $V$ care identifică $V$ cu ${ℝ}^n$ (definiție care nu depinde de alegerea acestui reper), se poate realiza o construcție a algebrei exterioare a lui $V$ astfel:

Fie $V^{**}:=Hom(V^{*},ℝ)$ dualul lui $V^{*}$; aplicația $V\ni v\mapsto v^{**}\in V^{**}$, definită prin $v^{**}(f):=f(v)$ pentru $f\in V^{*}$, este un izomorfism de spații vectoriale. Acest izomorfism se utilizează pentru a identifica spațiile vectoriale $V$ și $V^{**}$.

Vom defini deci algebra exterioară a lui $V$ punând ${\mathrm{\Lambda }}^p(V):={\mathrm{\Lambda }}^p(V^{**})$ pentru orice $p\ge 0$ și deci $\mathrm{\Lambda }(V):=\mathrm{\Lambda }(V^{**})$. Aplicația canonică $\theta :V^{*p}\to {\mathrm{\Lambda }}^p(V^{*})$ definită prin $\theta (f_1,f_2,\cdots ,f_p)=f_1\wedge f_2\wedge \cdots \wedge f_p$ este p-liniară alternantă, adică:

$\theta (f_{\sigma (1)},f_{\sigma (2)},\cdots ,f_{\sigma (p)})=\epsilon (\sigma )\theta (f_1,f_2,\cdots ,f_p),$

pentru orice $f_1,f_2,\cdots ,f_p\in V^{*}$ și $\sigma \in S_p$, iar aplicația ${\theta }^{*}:{\mathrm{\Lambda }}^p(V^{*}{)}^{*}\to {\mathrm{\Lambda }}^p(\dot{V}),$ definită prin ${\phi }^{\prime }\mapsto \phi \circ \theta ,\phi \in {\mathrm{\Lambda }}^p(V^{*}{)}^{*}$, este un izomorfism de spații vectoriale. Astfel spațiul vectorial ${\mathrm{\Lambda }}^p(V)$ cu canonic izomorf cu dualul spațiului vectorial ${\mathrm{\Lambda }}^p(V^{*}).$

Există construcții mai generale care permit definirea algebrei tensoriale $T(M)$ și a algebrei exterioare $\mathrm{\Lambda }(M)$ pentru orice $A-$ modul $M,$ unde $A$ este un inel comutativ cu element unitate, în rest arbitrar.

Se pot construi puterea exterioară ${\mathrm{\Lambda }}^p(V)$ și algebra exterioară $\mathrm{\Lambda }(V)$ pentru un spațiu vectorial complex finit dimensional $V$ după modelul prezentat anterior în cazul real.

Bibliografie

• Romulus Cristescu, Dicționar de analiză matematică, Editura Științifică și Enciclopedică, 1989