Polinom minimal

Format:Note de subsol2 În teoria corpurilor, o ramură a matematicii, polinomul minimal al unei valori Format:Mvar este, într-o exprimare neformală, polinomul cu cel mai mic grad având coeficienți de un tip specificat, astfel încât Format:Mvar este o rădăcină a polinomului. Dacă polinomul minimal al lui Format:Mvar există, acesta este unic. Coeficientul termenului de cel mai înalt grad din polinom trebuie să fie 1, iar coeficienții rămași ar putea fi de tip numere întregi, numere raționale, numere reale sau de alte tipuri.

Formal, un polinom minimal este definit în raport cu o extindere de corp E/F, ca element al extinderii de corp E. Polinomul minimal al unui element, dacă există, este un membru al F[x], Format:Ill-wd, având variabila x și coeficienți în F. Având în vedere un element Format:Mvar din E, fie Format:Mvar mulțimea tuturor polinoamelor f(x) în F[x] astfel încât $f^{\prime }(\alpha )=0.$ Elementul Format:Mvar se numește rădăcină sau zero al fiecărui polinom din Format:Mvar. Mulțimea Format:Mvar este un ideal al F[x]. Polinomul zero, ai cărui coeficienți sunt 0, este în fiecare Format:Mvar deoarece $0{\alpha }^i=0$ pentru orice Format:Mvar și Format:Mvar. Acest lucru face ca polinomul zero să fie inutil pentru clasificarea diferitelor valori ale Format:Mvar în tipuri, deci este exceptat. Dacă există polinoame diferite de zero în Format:Mvar, atunci Format:Mvar se numește element algebric peste F, și există un polinom monic de cel mai mic grad în Format:Mvar. Acesta este polinomul minimal al Format:Mvar în raport cu E/F. Este unic și ireductibil peste F. Dacă polinomul zero este singurul membru al Format:Mvar, atunci Format:Mvar se numește element transcendent peste F și nu are polinom minimal în E/F.

Polinoamele minimale se folosesc la construirea și analiza extinderilor de corp. Când Format:Mvar este algebric cu un polinom minimal a(x), cel mai mic corp care conține atât F, cât și Format:Mvar este izomorf cu inelul factor F[x]/⟨a(x)⟩, unde ⟨a(x)⟩ este idealul lui F[x] generat de a(x). Polinoamele minimale sunt, de asemenea, utilizate pentru a defini elementele conjugate.

Definiție

Fie E/F o extindere de corp, Format:Mvar un element din E, și F[x] inelul polinoamelor în x peste F. Elementul Format:Mvar are un polinom minimal atunci când Format:Mvar este algebric peste F, adică când $f(\alpha )=0$ pentru un polinom diferit de zero f(x) în F[x]. Apoi, polinomul minimal al Format:Mvar este definit ca polinomul monic de cel mai mic grad dintre toate polinoamele din F[x] având ca rădăcină Format:Mvar.

Unicitate

Fie a(x) polinomul minimal al lui Format:Mvar în raport cu E/F. Unicitatea lui a(x) se stabilește luând în considerare Format:Ill-wd sub_Format:Mvar din F[x] pe E care înlocuiește Format:Mvar cu x, adică sub_{Format:Mvar(f(x)) = f(Format:Mvar). Nucleul subFormat:Mvar, Ker(subFormat:Mvar), este mulțimea tuturor polinoamelor din F[x] care au ca rădăcină Format:Mvar. Adică, Ker(subFormat:Mvar) = JFormat:Mvar de mai sus. Deoarece subFormat:Mvar este un omomorfism de inele, Ker(subFormat:Mvar) este un ideal al lui F[x]. Deoarece F[x] este un inel principal ori de câte ori F este un corp, există cel puțin un polinom în Ker(subFormat:Mvar) care generează Ker(subFormat:Mvar). Un astfel de polinom va avea cel mai mic grad dintre toate polinoamele diferite de zero din Ker(subFormat:Mvar), iar a(x) este considerat ca fiind polinom monic unic printre acestea.}

Unicitatea polinomului monic

Se presupune că p și q sunt polinoame monice în J_Format:Mvar de grad minim n > 0. Deoarece p – q ∈ J _Format:Mvar și grad(p – q) < n rezultă că p – q = 0, adică p = q.

Proprietăți

Un polinom minimal este ireductibil. Fie E/F o extindere de corp peste F ca mai sus, Format:Mvar ∈ E și f ∈ F[x] un polinom minimal pentru Format:Mvar. Se presupune că f = gh, unde g, h ∈ F[x] sunt de grad mai mic decât f. Acum f(α) = 0. Deoarece corpurile sunt, de asemenea, domenii de integritate, g(α) = 0 sau h(α) = 0. Acest lucru contrazice minimalitatea gradului lui f. Ca urmare, polinoamele minimale sunt ireductibile.

Exemple

Polinomul minimal al unei extinderi de corp Galois

Fiind dată o Format:Ill-wd

$L/K$

polinomul minimal al oricărui

$\alpha \in L$

nu în

$K$

poate fi calculat prin

$f(x)=\prod _{\sigma \in \text{Gal}(L/K)}(x-\sigma (\alpha ))$

dacă

$\alpha$

nu are stabilizatori în acțiunea Galois. Deoarece este ireductibil, lucru care poate fi dedus privind rădăcinile

$f^{\prime }$

, este polinomul minimal. De reținut că același tip de formulă poate fi găsită prin înlocuirea

$G=\text{Gal}(L/K)$

cu

$G/N$

unde

$N=\text{Stab}(\alpha )$

este grupul de stabilizare al

$\alpha$

. De exemplu, dacă

$\alpha \in K$

atunci stabilizatorul său este

$G$

, deoarece

$(x-\alpha )$

este polinomul său minimal.

Extinderi de corp pătratice

Q(Format:Radic)

Dacă F = Q, E = R, α = Format:Radic, polinomul minimal pentru Format:Mvar este a(x) = x² − 2. Corpul de bază F este important deoarece determină posibilitățile pentru coeficienții lui a(x). De exemplu, dacă se ia F = R, atunci polinomul minimal pentru Format:Mvar = Format:Radic este a(x) = x − Format:Radic.

Q(Format:Radic)

În general, pentru extinderea pătratică liberă de pătrate

$d$

, calculul polinomului minimal al unui element

$a+b\sqrt{d}$

poate fi făcut folosind teoria lui Galois. Atunci

$\begin{array}{cc}f(x)& =(x-(a+b\sqrt{d}))(x-(a-b\sqrt{d}))\\ & =x^2-2ax+(a^2-b^{2}d)\end{array}$

în particular aste implică

$2a\in \mathbb{Z}$

și

$a^2-b^{2}d\in \mathbb{Z}$

. Acestea pot fi folosite pentru a determina

${𝒪}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}$

cu o serie de relații folosind aritmetica modulară.

Extinderi de corp bipătratice

Dacă Format:Mvar = Format:Radic + Format:Radic, atunci polinomul minimal în Q[x] este a(x) = x⁴ − 10x² + 1 = (x − Format:Radic − Format:Radic)(x + Format:Radic − Format:Radic)(x − Format:Radic + Format:Radic)(x + Format:Radic + Format:Radic).

De notat că dacă $\alpha =\sqrt{2}$ atunci acțiunea Galois pe $\sqrt{3}$ stabilizează $\alpha$. Prin urmare, polinomul minimal poate fi obținut folosind grupul de coeficienți $\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q})/\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{3})/\mathbb{Q})$.

Rădăcini ale unității

Polinoamele minimale din Q[x] ale rădăcinilor unității sunt Format:Ill-wd.

Polinoame Swinnerton–Dyer

Polinomul minimal din Q[x] al sumei rădăcinilor pătrate ale primelor n numere prime este construit în mod analog și se numește polinom Swinnerton–Dyer.

Bibliografie

• Format:En icon Format:MathWorld
• Format:En icon Format:PlanetMath
• Format:En icon Pinter, Charles C. A Book of Abstract Algebra. Dover Books on Mathematics Series. Dover Publications, 2010, p. 270–273. Format:Isbn