Restricție (matematică)

Funcția x² cu domeniul $ℝ$ nu are inversă. Dacă se restricționează x² la numerele reale nenegative, atunci ea are inversă, cunoscută drept rădăcina pătrată a lui x.

În matematică o restricție a unei funcții $f$ este o funcție nouă, notată $f{|}_A$ sau $f{\upharpoonright }_A$, obținută prin alegerea unui domeniu de definiție mai mic, A, din cel al funcției $f$.

Definiția formală

Fie $f:E\to F$ o funcție pe mulțimea Format:Mvar cu valori în mulțimea Format:Mvar. Dacă mulțimea Format:Mvar este o submulțime a mulțimii Format:Mvar, atunci restricția lui $f$ la $A$ este funcția

${f|}_A:A\to F$

dată de f|_A(x) = f(x) pentru x din A. Informal, restricția lui Format:Mvar la Format:Mvar este aceeași funcție Format:Mvar, dar este definită numai pe $A\cap \mathrm{dom}f$.

Dacă funcția Format:Mvar este înțeleasă ca o Format:Ill-wd $(x,f(x))$ pe produsul cartezian $E\times F$, atunci restricția lui Format:Mvar la Format:Mvar poate fi reprezentată de graficul său Format:Nowrap unde perechile $(x,f(x))$ sunt perechi ordonate în graficul Format:Mvar.

Exemple

1. Restricția unei funcții neinjective $f:ℝ\to ℝ,x\mapsto x^2$ la domeniul ${ℝ}_{+}=[0,\mathrm{\infty })$ este injecția $f:{ℝ}_{+}\to ℝ,x\mapsto x^2$.
2. Funcția factorial este restricția funcției gamma la întregii pozitivi, cu argumentul micșorat cu 1: ${\mathrm{\Gamma }|}_{{\mathbb{Z}}^{+}}(n)=(n-1)!$

Proprietăți ale restricțiilor

• Restricția unei funcții $f:X\to Y$ la întregul său domeniu $X$ este funcția inițială, adică $f{|}_X=f$.
• Restricționarea de două ori este aceeași cu restricționarea o singură dată, adică dacă $A\subseteq B\subseteq \mathrm{dom}f$, atunci $(f{|}_B){|}_A=f{|}_A$.
• Restricționarea funcției identitate pe mulțimea X la o submulțime A din X este tocmai funcția de incluziune din A în X.
• Restricția unei funcții continue este continuă.

Aplicații

Funcții inverse

Format:Articol principal Pentru ca o funcție să aibă inversă, aceasta trebuie să fie injectivă. Dacă o funcție Format:Mvar nu este injectivă, poate fi posibil să se definească o inversă parțială a lui Format:Mvar prin restricționarea domeniului. De exemplu, funcția

$f(x)=x^2$

definită pe tot $ℝ$ nu este una injectivă deoarece x² = (−x)² pentru orice x din $ℝ$. Totuși, funcția devine injectivă dacă se restricționează la domeniul Format:Nowrap (v. imaginea de sus) în care caz

$f^{-1}(y)=\sqrt{y}.$

(Dacă se restricționează la domeniul Format:Nowrap atunci inversa este minus rădăcinia pătrată a lui Format:Mvar.) Alternativ, nu este nevoie de restricționarea domeniului dacă se permite ca inversa să fie o Format:Ill-wd.

Fascicule

Format:Ill-wd oferă o modalitate de generalizare a restricțiilor obiectelor în afară de funcții.

În teoria fasciculelor se atribuie un obiect $F(U)$ dintr-o categorie fiecărei mulțimi deschise Format:Mvar dintr-un spațiu topologic și se cere ca obiectele să îndeplinească anumite condiții. Cea mai importantă condiție este existența restricțiilor de morfisme între fiecare pereche de obiecte asociate mulțimilor deschise imbricate; adică dacă $V\subseteq U$, atunci există un morfism res_V,U : F(U) → F(V) care satisface următoarele proprietăți, care sunt concepute pentru a imita restricția unei funcții:

• Pentru orice mulțime deschisă U din X, restricția de morfism res_U,U : F(U) → F(U) este morfismul identic pe F(U).
• Dacă există trei mulțimi deschise Format:Math, atunci Format:Ill-wd Format:Math.
• (Localizare) Dacă (U_i) este o acoperire deschisă a mulțimii deschise U, și dacă s,t ∈ F(U) sunt astfel încât s|_Ui = t|_Ui pentru orice mulțime U_i a acoperirii, atunci s = t; și
• (Lipire) dacă (U_i) este o acoperire deschisă a mulțimii deschise U, și dacă pentru orice i o secțiune Format:Math este dată astfel încât pentru fiecare pereche U_i,U_j din mulțimile de acoperire restricțiile s_i și s_j pot forma suprapunerea: s_i|_Ui∩Uj = s_j|_Ui∩Uj, atunci există o secțiune Format:Math astfel încât s|_Ui = s_i pentru orice i.

Colecția tuturor acestor obiecte se numește fascicul. Dacă numai primele două proprietăți sunt satisfăcute, este un prefascicul.

Restricții la stânga și la dreapta

Mai general, restricția (sau restricția domeniului sau restricția la stânga) Format:Math a unei relații binare Format:Mvar între Format:Mvar și Format:Mvar poate fi definită ca o relație având domeniul Format:Mvar, codomeniul Format:Mvar și graficul Format:Math. Similar, se poate defini restricția la dreapta sau restricția codomeniului Format:Math. Într-adevăr, s-ar putea defini o restricție la relații [[aritate|Format:Mvar-are]], precum și la submulțimi înțelese ca relații, cum ar fi cele ale Format:Math pentru relații binare.

Antirestricții

Antirestricția domeniului (sau scăderea domeniului) unei funcții sau relații binare Format:Mvar (cu domeniul Format:Mvar și codomeniul Format:Mvar) cu mulțimea Format:Mvar poate fi definită ca Format:Math; ea înlătură toate elementele lui Format:Mvar din domeniul Format:Mvar. Uneori este notată Format:Mvar ⩤ Format:Mvar. Similar, antirestricția codomeniului (sau scăderea codomeniului) unei funcții sau relații binare Format:Mvar cu mulțimea Format:Mvar este definită drept Format:Math; ea înlătură toate elementele lui Format:Mvar din codomeniul Format:Mvar. Uneori este notată Format:Mvar ⩥ Format:Mvar.