Metrică

O ilustrație care compară metrica taximetristului cu metrica euclidiană în plan: Conform metricii taximetristului toate cele trei căi imaginate (roșu, galben și albastru) au aceeași Format:Ill-wd (12). Conform metricii euclidiene, drumul verde are lungime, și este unicul drum cel mai scurt.

În matematică, o metrică sau funcție distanță este o funcție care definește o Format:Ill-wd între fiecare pereche de elemente ale unei mulțimi. O mulțime împreună cu o metrică asociată formează un spațiu metric. Metrica induce o topologie pe mulțime, dar nu toate topologiile pot fi generate de o metrică. Un spațiu topologic a cărui topologie poate fi descrisă de o metrică se numește Format:Ill-wd.

O sursă importantă de metrici în geometria diferențială o constituie Format:Ill-wd, forme biliniare care pot fi definite pe Format:Ill-wd ai unei Format:Ill-wd, pe un scalar. Un tensor metric permite ca distanțele de-a lungul curbelor să fie determinate prin integrare și determină astfel o metrică. Cu toate acestea, nu orice metrică provine de la un tensor metric în acest fel.

Definiție

O metrică pe o mulțime Format:Mvar este o funcție (numită funcție distanță sau pur și simplu distanță)

$d:X\times X\to [0,\mathrm{\infty })$

Unde $[0,\mathrm{\infty })$ este mulțimea numerelor reale nenegative și pentru orice $x,y,z\in X$, sunt îndeplinite următoarele condiții:

1. $d(x,y)=0$ dacă și numai dacă $x=y$
2. $d(x,y)=d(y,x),\mathrm{\forall }x,y\in X$
3. $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z),\mathrm{\forall }x,y,z\in X$

Condiția 1, împreună cu faptul că d are valoare nenegative, definește o funcție Format:Ill-wd; condiția 2 definește o funcție simetrică; Condiția 3 se numește inegalitatea triunghiului.

O metrică se numește Format:Ill-wd dacă satisface următoarea versiune mai puternică a inegalității triunghiului în care punctele nu pot cădea niciodată „între” alte puncte:

$d(x,z)\le \max (d(x,y),d(y,z))$

pentru orice $x,y,z\in X$

O metrică Format:Mvar peste Format:Mvar se numește Format:Ill-wd dacă oricare două puncte Format:Mvar și Format:Mvar din Format:Mvar pot fi unite printr-o curbă cu lungime arbitrar apropiată de Format:Math .

Pentru mulțimile pe care se definește o adunare +  : Format:Math, Format:Mvar se numește metrică invariantă la translație dacă

$d(x,y)=d(x+a,y+a)$

pentru orice Format:Mvar , Format:Mvar și Format:Mvar din Format:Mvar

Observații

Aceste condiții exprimă noțiuni intuitive despre conceptul de Format:Ill-wd. De exemplu, distanța dintre două puncte distincte este pozitivă, iar distanța de la x la y este aceeași cu distanța de la y la x. Inegalitatea triunghiului înseamnă că distanța de la x la z prin y este cel puțin la fel de mare ca de la x la z direct. Euclid, în lucrarea sa, afirma că cea mai mică distanță între două puncte este o linie; aceasta era inegalitatea triunghiului pentru geometria sa.

Exemple

• Format:Ill-wd: dacă x = y atunci d(x,y ) = 0. În caz contrar, d(x,y) = 1.
• Metrica euclidiană este invariantă la translație și rotație.
• Metrica taximetristului este invariantă la translație.
• Mai general, orice metrică indusă de o normă este invariantă la translație.
• Dacă $(p_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ este un șir de seminorme care definesc un Format:Ill-wd (Format:Ill-wd) E , atunci

$d(x,y)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}\frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}$

este o metrică care definește aceeași topologie. (Se poate înlocui $\frac{1}{2^n}$cu orice Format:Ill-wd $(a_n)$$(a_n)$ de Format:Ill-wd.)

• Format:Ill-wd, o metrică definită în termeni de distanțe într-un anumit graf.
• Distanța Hamming în teoria codării.
• Format:Ill-wd, un tip de funcție metrică adecvată spre aplicarea în orice Format:Ill-wd. Pentru orice astfel de varietate, se alege în fiecare punct p o forma biliniară simetrică, pozitiv definită L: T _p × T _p → ℝ pe Format:Ill-wd T_p în p, făcând acest lucru într-o manieră continuă. Această formă determină lungimea oricărui vector tangent Format:Math pe varietate, prin definiția || v || = Format:Radic . Apoi, pentru orice drum diferențiabil pe varietate, lungimea sa este definită ca integrală a lungimii vectorului tangent la drum în orice punct, unde integrarea se face în raport cu parametrul drumului. În cele din urmă, pentru a obține o valoare definită pe orice pereche {x, y} de puncte din varietate, se ia infimum din toate drumurile de la x la y, din mulțimea de lungimi ale drumurilor. O varietate netedă echipată cu o metrică riemanniană se numește Format:Ill-wd.
• Format:Ill-wd pe un Format:Ill-wd. Acesta este un exemplu de metrică riemanniană.
• Format:Ill-wd, cum ar fi Format:Ill-wd și alte Format:Ill-wd, definesc o metrică peste Format:Ill-wd.
• Format:Ill-wd definește o funcție de distanță între grafuri.
• Format:Ill-wd este o funcție de distanță definită între două distribuții de probabilități.
• Format:Ill-wd este o funcție nenegativă continuă F: TM → [0, + ∞) definită pe mănunchiul tangent.

Echivalența metricilor

Pentru o mulțime dată X, două metrici d₁ și d₂ se numesc echivalente topologic (uniform echivalente) dacă aplicația identitate

id: (X, d ₁₎ → (X, d ₂₎

este un Format:Ill-wd (Format:Ill-wd).

De exemplu, dacă Format:Math este o metrică, atunci Format:Math și $\frac{d}{1+d}$ sunt metrici echivalente cu Format:Math.

Metrici pe spații vectoriale

Normele spațiilor vectoriale sunt echivalente cu anumite metrici, și anume cele omogene, invariante la translație. Cu alte cuvinte, orice normă determină o metrică, și unele metrici determină norme.

Dat fiind un spațiu vectorial normat $(X,||\cdot ||)$se poate defini o metrică pe X prin

$d(x,y):=||x-y||$.

Metrica Format:Math se spune că este indusă de norma $||\cdot ||$.

În schimb, dacă o metrică Format:Math pe un spațiu vectorial X satisface proprietățile

• $d(x,y)=d(x+a,y+a)$ (invarianță la translație)
• $d(\alpha x,\alpha y)=\alpha d(x,y)$ (omogenitate)

atunci putem defini o normă pe X prin

$$||x||:=d(x,0)$$

Analog, o seminormă induce o pseudometrică (vezi mai jos), iar o pseudometrică omogenă și invariabilă la translație induce o seminormă.

Metrici pe multimulțimi

Se poate generaliza noțiunea de metrică de la o distanță între două elemente la o distanță între două multimulțimi finite nevide de elemente. O multimulțime este o generalizare a noțiunii de mulțime astfel încât un element să poată apărea de mai multe ori. Se definește $Z=XY$dacă Format:Math este multimulțimea formată din elementele multimulțimilor Format:Math și Format:Math, adică dacă Format:Math apare o dată în Format:Math și o dată în Format:Math, atunci apare de două ori în Format:Math. O funcție distanță Format:Math pe mulțimea de multimulțimi finite este o metrică dacă

1. $d(X)=0$dacă toate elementele lui Format:Math sunt egale și $d(X)>0$ altfel (Format:Ill-wd), adică (Format:Ill-wd plus Format:Ill-wd)
2. Format:Matheste invariabilă în toate permutațiile lui Format:Math (simetrie)
3. $d(XY)\le d(XZ)+d(ZY)$ (inegalitatea triunghiului)

Se observă că metrica familiară dintre două elemente rezultă dacă multimulțimea Format:Math are două elemente în 1 și 2 și mulțimile Format:Math au fiecare câte un element în 3. De exemplu, dacă Format:Math este formată din două apariții ale lui Format:Math, atunci $d(X)=0$ conform punctului 1.

Un exemplu simplu este mulțimea tuturor multimulțimilor finite nevide Format:Math de numere întregi cu $d(X)=max(x:x\in X)-min(x:x\in X)$. Exemple mai complexe sunt Format:Ill-wd în multimulțimi; și Format:Ill-wd (NCD) în multimulțimi.

Metrici generalizate

Există numeroase moduri de a relaxa axiomele metricilor, dând naștere la diferite noțiuni de spații metrice generalizate. Aceste generalizări pot fi și combinate. Terminologia utilizată pentru a le descrie nu este însă complet standardizată. Mai ales, în Format:Ill-wd, pseudometricile provin adesea din seminorme pe spații vectoriale, deci este natural să fie numite „semimetrici”. Acest lucru este în conflict cu utilizarea termenului în topologie.

Metrici extinse

Unii autori permitca funcția distanță Format:Math să atingă valoarea ∞, adică distanțele să fie numere nenegative axa numerelor reale extinsă. O astfel de funcție se numește metrică extinsă sau „∞-metrică”. Fiecare metrică extinsă poate fi transformată într-o metrică finită astfel încât spațiile metrice să fie echivalente în ceea ce privește noțiunile de topologie (cum ar fi continuitatea sau convergența). Acest lucru se poate face cu ajutorul unei funcții Format:Ill-wd monoton crescătoare mărginită care este zero în zero, de exemplu $d^{\prime }(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$ sau $d^{\prime }(x,y)=min(1,d(x,y))$.

Cerința ca valorile metrice să ia valori în Format:Math poate fi chiar relaxată pentru a lua în considerare valorile măsurate în alte Format:Ill-wd. Reformularea axiomelor în acest caz conduce la construirea unor Format:Ill-wd: spații topologice cu o structură abstractă care să permită compararea topologiilor locale ale diferitelor puncte.

Pseudometrici

O pseudometrică pe X este o funcție $d:X\times X\to ℝ$ care satisface axiomele unei metrici, cu excepția faptului că în locul celei de a doua (identitatea indiscernibilelor) este obligatoriu numai ca Format:Math pentru orice Format:Math. Cu alte cuvinte, axiomele unei pseudometrici sunt:

1. Format:Math
2. Format:Math (dar posibil Format:Math și pentru unele valori distincte Format:Math)
3. Format:Math
4. Format:Math

În unele contexte, pseudometricile sunt denumite semimetrici din cauza relației lor cu seminormele.

Cvasimetrici

Ocazional, o cvasimetrică este definită ca o funcție care satisface toate axiomele unei metrici cu o eventuală excepție a simetriei. Numele acestei generalizări nu este complet standardizat.

1. Format:Math (pozitivitate)
2. Format:Math   dacă și numai dacă Format:Math (pozitiv-definitudine)
3. Format:Math (simetrie , abandonată)
4. Format:Math (inegalitatea triunghiului)

Cvasimetricile sunt obișnuite în viața reală. De exemplu, dată fiind o mulțime Format:Math de sate de munte, timpii tipici de mers pe jos între elementele lui X formează o cvasi-metrică, deoarece călătoria ka vale durează mai mult decât călătoria la deal. Un alt exemplu este reprezentat de o topologie a geometriei taximetristului, cu străzi cu sens unic, unde un drum de la punctul A la punctul B cuprinde o mulțime diferită de străzi decât un drum de la B la A.

O cvasimetrică pe numerele reale se poate defini fixând

Format:Math dacă Format:Math și

Format:Math altfel. Format:Math poate fi înlocuit cu infinit sau cu Format:Math.

Spațiul topologic care stă la baza acestui spațiu cvasimetric este Format:Ill-wd. Acest spațiu descrie procesul de Format:Ill-wd a unui baston metalic: este ușor de redus dimensiunea, dar este dificil sau imposibil de crescut.

Dacă d este o cvasimetrică pe Format:Math, o metrică Format:Math pe X poate fi formată luând

$d^{\prime }(x,y)=\frac{d(x,y)+d(y,x)}{2}$

Metametrici

Într-o metametrică, toate axiomele unei metrici sunt îndeplinite, cu excepția faptului că distanța dintre punctele identice nu este neapărat zero. Cu alte cuvinte, axiomele unei metametrici sunt:

1. Format:Math
2. Format:Math implică Format:Math (dar nu și invers)
3. Format:Math
4. Format:Math

Metametricile apar în studiul Format:Ill-wd și al frontierelor lor. Metametrica vizuală pe un astfel de spațiu satisface condiția Format:Math pentru punctele Format:Math de pe frontieră, dar în caz contrar Format:Math este aproximativ distanța de la Format:Math la frontieră. Metametricile au fost definite pentru prima dată de Jussi Väisälä.

Semimetricile

O semimetrică pe Format:Math este o funcție $d:X\times X\to ℝ$ care satisface primele trei axiome, dar nu neapărat și inegalitatea triunghiului:

1. Format:Math
2. Format:Math   dacă și numai dacă Format:Math
3. Format:Math

Unii autori lucrează cu o formă mai relaxată a inegalității triunghiului, cum ar fi:

$d(x,z)\le \rho (d(x,y)+d(y,z))$     (inegalitatea triunghiului ρ-relaxată)

$d(x,z)\le \rho max(d(x,y),d(y,z))$     (inegalitate ρ-inframetrică).

Inegalitatea ρ-inframetrică implică inegalitatea triunghiului ρ-relaxată (presupunând prima axiomă), iar inegalitatea trianghiului ρ-relaxată implică inegalitatea 2ρ-inframetrică. Semimetrica care satisface aceste condiții echivalente a fost uneori denumită „cvasimetrică, „aproape-metrică” sau inframetrică.

Inegalitățile ρ-inframetrice au fost introduse pentru a modela Format:Ill-wd pe Internet. Inegalitatea triunghiului implică inegalitatea 2-inframetrică, iar Format:Ill-wd este exact Format:Ill-wd 1-inframetrică.

Premetrici

Relaxarea ultimelor trei axiome duce la noțiunea de premetrică, adică o funcție care îndeplinește următoarele condiții:

1. $d(x,y)\ge 0$
2. $d(x,x)=0$

Acesta nu este un termen standard. Uneori este folosit pentru a se referi la alte generalizări de metrici, cum ar fi pseudosemimetrica sau pseudometrica; în traducerile cărților rusești uneori apare menționată drept „prametrică”.

Orice premetrică dă naștere la o topologie după cum urmează. Pentru un Format:Math real pozitiv, Format:Math-bila cu centrul într-un punct Format:Math este definită ca

$B_r(p)=\{x|d(x,p)<r\}.$

O mulțime se numește deschisă dacă pentru orice punct p din mulțime există o Format:Math-bilă centrată în p care este conținută în mulțime. Orice spațiu premetric este un spațiu topologic și, de fapt, un Format:Ill-wd. În general, Format:Math-bilele nu trebuie să fie mulțimi deschise în raport cu această topologie. În ceea ce privește metricile, distanța dintre două mulțimi A și B este definită ca

$d(A,B)=\underset{x\in A,y\in B}{\inf }d(x,y).$

Aceasta definește o premetrică asupra Format:Ill-wd a unui spațiu premetric. Dacă începem cu un spațiu (pseudosemi-)metric, obținem o pseudosemimetrică, adică o premetrică simetrică. Orice premetrică dă naștere unui Format:Ill-wd cl după cum urmează:

$cl(A)=\{x|d(x,A)=0\}.$

Pseudocvasimetrici

Prefixele pseudo-, cvasi- și semi- pot fi de asemenea combinate, de exemplu, o pseudocvasimetrică (uneori numită hemimetrică) relaxează atât axioma indiscernibilității cât și axioma simetriei și este pur și simplu o premetrică care satisface inegalitatea triunghiului. Pentru spațiile pseudocvasimetrice, r-bilele deschise formează o bază de mulțimi deschise. Un exemplu foarte simplu de spațiu pseudocvasimetric este mulțimea {0,1} cu premetrica dată de Format:Math și Format:Math. Spațiul topologic asociat este Format:Ill-wd.

Mulțimile echipate cu o pseudocvasimetrică extinsă au fost studiate de William Lawvere ca „spații metrice generalizate”. Din punct de vedere categoric, spațiile pseudometrice extinse și spațiile extinse pseudocvasimetrice, împreună cu aplicațiile lor neexpansive corespunzătoare, au cele mai bune comportamente dintre categoriile spațiului metric. Se pot lua produse și coproduse arbitrare și se pot forma obiecte în cadrul categoriei date. Dacă se renunță la „extins”, se pot lua numai produse și coproduse finite. Dacă se renunță la „pseudo”, nu se mai pot forma obiecte. Format:Ill-wd reprezintă o generalizare a spațiilor metrice care păstrează aceste proprietăți categorice bune.

Cazuri importante de metrici generalizate

În geometria diferențială, se consideră un Format:Ill-wd, care poate fi văzut ca o funcție metrică „infinitezimală” pătratică. Aceasta este definită ca o formă bilineară simetrică nedegenerată pe Format:Ill-wd al unei varietăți cu o cerință adecvată de diferențiabilitate. Deși acestea nu sunt funcții metrice așa cum sunt definite în acest articol, ele induc ceea ce se numește o funcție pseudo-semimetrică prin integrarea rădăcinii pătrate de-a lungul unui drum prin varietate. Dacă se impune cerința de pozitiv-definitudine a unui produs scalar pe tensorul metric, acest lucru se limitează la cazul unei Format:Ill-wd, iar integrarea pe drum produce o metrică.

În relativitatea generală, conceptul conex este de tensor metric (relativitatea generală) care exprimă structura unei Format:Ill-wd. Deși termenul „metrică” este folosit în cosmologie, ideea fundamentală este diferită deoarece există vectori nuli ne-zero în spațiul tangent al acestor varietăți. Această viziune generalizată a „metricilor” în care distanța zero nu implică identitate, s-a strecurat și în scrierea matematică.

Bibliografie

• Format:Citation
• Format:Citation

Legături externe

• Format:Planetmath reference
• Format:Planetmath reference