Câmp vectorial

Câmp vectorial dat de vectori de forma (−y, x)

În matematică un câmp vectorial, sau un câmp de vectori este o construcție din calculul vectorial care asociază un vector fiecărui punct dintr-un spațiu euclidian.

Câmpurile vectoriale sunt adesea utilizate în fizică pentru a modela, de exemplu, viteza și direcția de curgere a unui fluid prin spațiu, sau modulul și direcția unei forțe, cum ar fi forța magnetică sau gravitațională, și variațiile acestora de la punct la punct.

Definiție matematică

Funcția vectorială:

$\overrightarrow{v}(P)=\overrightarrow{v}(x,y,z)$

$(1.1)$

definită pentru punct  $P(x,y,z)\in D$  (unde  $D$  este o submulțime a spațiului euclidian  ${ℰ}_3$ ) se numește câmp vectorial.

Linii și suprafețe de câmp

O curbă  $(\mathrm{\Gamma })$  situată în  $D$  se numește linie de câmp pentru câmpul vectorial  $\overrightarrow{v}(P)$  dacă în fiecare punct  $P$  al său vectorul  $\overrightarrow{v}(P)$  este tangent curbei.

Liniile de câmp sunt soluțiile ecuației diferențale vectoriale:

$\overrightarrow{v}\times d\overrightarrow{r}=0$

$(2.1)$

sau ale sistemului diferențial:

$\frac{dx}{v_1(x,y,z)}=\frac{dy}{v_2(x,y,z)}=\frac{dz}{v_3(x,y,z)}.$

$(2.2)$

O suprafață generată de liniile de câmp e numește suprafață de câmp.

Dacă  $F_1(x,y,z)=C_1,F_2(x,y,z)=C_2,(C_1,C_2=const),$  sunt soluții ale sistemului (2.2), atunci:

$\mathrm{\Phi }(F_1,F_2)=0$

$(2.3)$

este o suprafață de câmp.

Divergență, rotor, gradient

Expresia:

$div\overrightarrow{v}=\overrightarrow{i}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial x}+\overrightarrow{j}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial y}+\overrightarrow{k}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial z}$

$(3.1)$

se numește divergența câmpului vectorial diferențiabil  $\overrightarrow{v}(P).$

Notând  $v_1,v_2,v_3$  componentele câmpului vectorial  $\overrightarrow{v}(P),$  divergența se exprimă prin egalitatea:

$div\overrightarrow{v}=\frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}+\frac{\partial v_3}{\partial z}.$

$(3.2)$

Vectorul de componente:

$\frac{\partial v_3}{\partial y}-\frac{\partial v_2}{\partial z},\frac{\partial v_1}{\partial z}-\frac{\partial v_3}{\partial x},\frac{\partial v_2}{\partial x}-\frac{\partial v_1}{\partial y}$

$(3.3)$

se numește rotorul câmpului vectorial diferențiabil  $\overrightarrow{v}(P)$ și se notează  $rot\overrightarrow{v}.$ 

Există relația:

$rot\overrightarrow{v}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ v_1& v_2& v_3\end{array}\right|$

$(3.4)$

și

$rot\overrightarrow{v}=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v},$

$(3.5)$

unde  $\mathrm{\nabla }$  este operatorul nabla.

Relații între operatori

$grad(\phi +\psi )=grad\phi +grad\psi ,$

$(4.1)$

$grad(\phi \cdot \psi )=\phi \cdot grad\psi +\psi \cdot grad\phi ,$

$(4.2)$

$div(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=div\overrightarrow{u}+div\overrightarrow{v},$

$(4.3)$

$div(\phi \cdot \overrightarrow{v})=\phi \cdot div\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}\cdot grad\phi ,$

$(4.4)$

$div(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})=\overrightarrow{v}\cdot rot\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u}\cdot rot\overrightarrow{v},$

$(4.5)$

$rot(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=rot\overrightarrow{u}+rot\overrightarrow{v},$

$(4.6)$

$rot(\phi \cdot \overrightarrow{v})=\phi \cdot rot\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v}\times grad\phi ,$

$(4.7)$

$grad(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})=\overrightarrow{v}\times rot\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}\times rot\overrightarrow{v}+(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }})\cdot \overrightarrow{u}+(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }})\cdot \overrightarrow{v},$

$(4.8)$

$rot(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})=\overrightarrow{u}\cdot div\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v}\cdot div\overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }})\cdot \overrightarrow{u}-(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }})\cdot \overrightarrow{v},$

$(4.9)$

$div(grad\phi )=\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial z^2}=\mathrm{\Delta }\phi ,$

$(4.10)$

$rot(grad\phi )=0,$

$(4.11)$

$div(rot\overrightarrow{v})=0,$

$(4.12)$

$rot(rot\overrightarrow{v})=grad(div\overrightarrow{v})-\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}.$

$(4.13)$

Exemplu

Să se determine liniile de câmp ale câmpului vectorial definit prin vectorul:

$\overrightarrow{v}=x{y}^2\cdot \overrightarrow{i}+x^{2}y\cdot \overrightarrow{j}+z(x^2+y^2)\cdot \overrightarrow{k}$

$(5.1)$

și suprafața de câmp care trece prin curba:

$x=2y,z=a.$

$(5.2)$

Rezolvare. Sistemul de ecuații diferențiale al liniilor de câmp este:

$\frac{dx}{x{y}^2}=\frac{dy}{y{x}^2}=\frac{dz}{z(x^2+y^2)}$

$(5.3)$

și se reduce la:

$\{\begin{array}{c}x\cdot dx-y\cdot dy=0\\ \frac{dx}{x}+\frac{dy}{y}=\frac{dz}{z}\end{array}$

$(5.4)$

Prin integrare se obțin ecuațiile liniilor de câmp:

$x^2-y^2=C_1$ $\frac{z}{xy}=C_2.$

$(5.5)$

Se pune condiția ca o linie de câmp să intersecteze curba (5.2). Din prima ecuație de la (5.5), folosind ecuația  $x=2y,$  se obține  $y^2=\frac{C_1}{3},$  iar din ecuația a doua de la (5.5), folosind ecuațiile (5.2) se obține  $y^2=\frac{a}{2C_2}.$ 

Din relațiile  $y^2=\frac{C_1}{3}$  și  $y^2=\frac{a}{2C_2}$  se obține relația de condiție  $2C_1{C}_2=3a.$ 

Suprafața de câmp se obține prin eliminarea parametrilor  $C_1$  și  $C_2$  între ecuațiile liniilor de câmp și această relație:

$2z(x^2-y^2)-3axy=0.$

$(5.6)$

Vezi și

• Câmp scalar