Limită a unui șir

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

Pe masură ce n crește, valoarea n sin(1/n) devine tot mai apropiată de 1. Spunem că limita acestui șir este 1.

Termenul de limită a unui șir este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice reale, fiind un caz particular al conceptului de limită. Acesta oferă definiția riguroasă a faptului că un șir converge spre un anumit punct numit limită.

Istoric

Conceptul are ca punct de plecare probleme practice de calcul, de exemplu al dobânzii cu capitalizare.

Definiție

• Pentru un șir de numere reale $\{x_n|n\in \mathbb{N}\}$

Un număr real L se numește limita șirului x_n, notându-se sub forma:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=L,$

dacă și numai dacă pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N avem |x_n−L| < ε.

• Pentru un șir de puncte $\{x_n|n\in \mathbb{N}\}$ într-un spațiu metric M, cu funcția-distanță d (cum ar fi un șir de numere raționale, numere reale, numere complexe, puncte într-un spațiu normat):

Un element $L\in M$ este numit limita șirului și se notează:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=L,$

dacă și numai dacă, pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N, d(x_n,L) < ε.

Exemple

• Șirul 1, -1, 1, -1, 1, ... este divergent.
• Șirul 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... are limita 1. Acesta este un exemplu de serie infinită.
• Dacă a este un număr real cu modul|a| < 1, atunci șirul aⁿ are limita zero. Dacă 0 < a, atunci șirul a^1/n are limita 1.

De asemenea:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^p}=0\text{, dacă }p>0$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^n=0\text{, dacă }|a|<1$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{n}^{\frac{1}{n}}=1$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{\frac{1}{n}}=1\text{, dacă }a>0$

Cazul șirurilor de funcții

Format:Articol principal Definiție. Fie $(f_n{)}_n$ un șir de funcții, $f_n:[a,b]\to ℝ.$ Se spune că șirul $(f_n{)}_n$ este punctual convergent pe $[a,b]$ către f pentru $n\to \mathrm{\infty }$ și se scrie $f_n\stackrel{PC}{⟶}f$ dacă $f_n(x_0)\to f(x_0)$ (în $ℝ$) pentru $\mathrm{\forall }x\in [a,b].$

Definiție. Un șir $(f_n{)}_n$ de funcții $f_n:[a,b]\to ℝ.$ se numește uniform convergent pe $[a,b]$ către o funcție $f:[a,b]\to ℝ.$ și se scrie $f_n\stackrel{UC}{⟶}f$  dacă este îndeplinită următoarea condiție:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N(\epsilon )$ natural astfel încât $\mathrm{\forall }n\ge N(\epsilon )$ să existe relația $|f_n(x)-f(x)|<\epsilon ,$ pentru $\mathrm{\forall }x\in [a,b].$

Teoremă.

(a) Un șir $(f_n{)}_n$ de funcții mărginite, $f_n:[a,b]\to ℝ$ (adică: $f_n\in ℳ,\mathrm{\forall }n\ge 0$) este uniform convergent către o funcție $f\in ℳ$ dacă și numai dacă $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert f_n-f\Vert =0.$

(b) Orice șir de funcții $f_n:[a,b]\to ℝ$ uniform convergent pe $[a,b]$ este punctual convergent pe $[a,b];$ reciproca este falsă.

Exemplu

Fie $[a,b]=[0,1]$ și $f_n(x)=x^n,n\ge 1.$ Evident $\mathrm{\forall }x\in [a,b]:$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }=\{\begin{array}{cc}0,& dacax\in [0,1)\\ 1,& dacax=1\end{array}$

adică $f_n\stackrel{PC}{⟶}f,$ unde:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}0,& dacax\in [0,1)\\ 1,& dacax=1\end{array}$

Dar $\Vert f_n-f\Vert =\underset{x\in [0,1)}{\sup }|f_n(x)-f(x)|=\max (\underset{x\in [0,1)}{\sup }{f}_n(x)-f(x),f_n(1)-f(1)|)=\max (\underset{x\in [0,1)}{\sup }{x}^n,0)=1,$ deci $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert f_n-f\Vert =1\ne 0.$ Așadar, șirul $f_n$ este $PC,$ dar nu este $UC$ pe $[0,1).$

Vezi și

• Șir convergent
• Limită a unei funcții
• Funcție exponențială
• Dobândă

Legături externe

• Format:En icon Exemple de șiruri Format:Webarchive
• Format:En icon A history of the calculus Format:Webarchive