Aplicație biliniară

În matematică o aplicație biliniară este o funcție care combină elemente a două spații vectoriale pentru a produce un element al unui al treilea spațiu vectorial și este liniară în funcție de fiecare dintre argumentele sale. Un exemplu de aplicație biliniară este înmulțirea matricilor.

Definiție

Spații vectoriale

Fie $V,W$ și $X$ trei spații vectoriale peste aceeași bază, corpul $F$. O aplicație biliniară este o funcție

$B:V\times W\to X$

Astfel încât pentru orice $w\in W$, aplicația $B_w$

$v\mapsto B(v,w)$

este o aplicație liniară din $V$ pe $X,$ și pentru orice $v\in V$, aplicația $B_v$

$w\mapsto B(v,w)$

este o formă de aplicație liniară din $W$ pe $X.$ Cu alte cuvinte, când se menține fix primul argument al aplicației biliniare în timp ce se permite celui de al doilea să varieze, rezultatul este un operator liniar, și la fel atunci când se menține fix al doilea argument.

O astfel de aplicație $B$ satisface următoarele proprietăți.

• Pentru orice $\lambda \in F$, $B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w).$
• Aplicația $B$ este aditivă pentru ambele componente: dacă $v_1,v_2\in V$ și $w_1,w_2\in W,$ atunci $B(v_1+v_2,w)=B(v_1,w)+B(v_2,w)$ și $B(v,w_1+w_2)=B(v,w_1)+B(v,w_2).$

Dacă $V=W$ și există $B(v,w)=B(w,v)$ pentru orice $v,w\in V,$ atunci se spune că Format:Mvar este simetrică. Dacă Format:Mvar este corpul Format:Mvar al bazei, atunci aplicația este o formă biliniară, care este binecunoscută (de exemplu: produsul scalar, produsul interior și forma pătratică).

Module

Definiția funcționează fără nicio modificare dacă în loc de spații vectoriale peste un corp Format:Mvar se folosesc Format:Ill-wd peste un inel comutativ Format:Mvar. Se generalizează la funcții Format:Mvar-are, unde termenul potrivit este multiliniar.

Pentru inelele necomutative Format:Mvar și Format:Mvar, un Format:Mvar-modul din stânga, Format:Mvar, și un Format:Mvar-modul din dreapta, Format:Mvar, o aplicație biliniară este o aplicație Format:Mvar cu Format:Mvar un {Format:Mvar)-bimodul și pentru care orice Format:Mvar din Format:Mvar, Format:Mvar(Format:Mvar) este un homomorfism al modulului Format:Mvar, iar pentru orice Format:Mvar din Format:Mvar, Format:Mvar(Format:Mvar) este homomorf cu modulul Format:Mvar. Acest lucru satisface

$B(r\cdot m,n)=B(m,n)$

$B(m,n\cdot s)=B(m,n)\cdot s$

pentru toate Format:Mvar din Format:Mvar, Format:Mvar din Format:Mvar, Format:Mvar din Format:Mvar și Format:Mvar din Format:Mvar, precum și că Format:Mvar este aditiv pentru fiecare argument.

Proprietăți

O consecință imediată a definiției este că Format:Nowrap ori de câte ori Format:Nowrap sau Format:Nowrap. Acest lucru poate fi văzut scriind vectorul zero, 0_V, sub forma Format:Nowrap (și similar pentru 0_W) și mutarea scalarului 0 „în afară”, în fața lui Format:Mvar.

Mulțimea Format:Nowrap tuturor aplicațiilor biliniare este un Format:Ill-wd al spațiului (adică un spațiu vectorial, modul) al tuturor aplicațiilor din Format:Nowrap în X.

Dacă V, W, X sunt finite dimensional, atunci la fel este Format:Nowrap. Pentru $X=F$, adică formele biliniare, dimensiunea acestui spațiu este Format:Nowrap (în timp ce spațiul Format:Nowrap din formele liniare are dimensiunea Format:Nowrap). Pentru a vedea acest lucru, se alege o bază pentru V și W; atunci fiecare aplicație biliniară poate fi reprezentată în mod unic prin matricea Format:Nowrap și invers.

Acum, dacă X este un spațiu de dimensiune mai mare, este evident că Format:Nowrap.

Exemple

• Înmulțirea matricilor este o aplicație biliniară Format:Nowrap.
• Dacă un spațiu vectorial Format:Mvar peste numerele reale $ℝ$ are un spațiu prehilbertian, atunci produsul interior este o aplicație biliniară $V\times V\to ℝ.$ Spațiul vectorial al produsului are o singură dimensiune.
• În general, la un spațiu vectorial Format:Mvar peste corpul Format:Mvar, o formă biliniară pe Format:Mvar este aceeași cu aplicația biliniară Format:Nowrap.
• Dacă Format:Mvar are spațiu vectorial Format:Ill-wd Format:Mvar^∗, atunci operatorul aplicației Format:Nowrap este o aplicație biliniară Format:Nowrap pe corpul bazei.
• Fie Format:Mvar și Format:Mvar spații vectoriale pe bază a corpului Format:Mvar. facă Format:Mvar este un element al lui Format:Mvar^∗ iar Format:Mvar un element al lui Format:Mvar^∗, atunci Format:Nowrap definește aplicația biliniară Format:Nowrap.
• Produsul vectorial din ${ℝ}^3$ este o aplicație biliniară ${ℝ}^3\times {ℝ}^3\to {ℝ}^3.$
• Fie $B:V\times W\to X$ o aplicație biliniară, iar $L:U\to W$ o aplicație liniară, atunci Format:Nowrap este o aplicație biliniară pe Format:Nowrap.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book

Legături externe

• Format:En icon Format:Springer