Integrală Riemann

Interpretarea geometrică a integralei Riemann

În analiza matematică, integrala Riemann constituie prima definiție riguroasă a integralei unei funcții pe un interval. A fost formulată de Bernhard Riemann și se poate aplica pentru funcții continue sau funcții regulate.

Preliminarii

Fie $[a,b]$ un interval (închis și mărginit), $a\le b.$ O familie finită de puncte $d:(x_0,x_1,x_2,\cdots ,x_n),$ astfel că:

$a=x_0\le x_1\le x_2\le \cdots \le x_i\le x_{i+1}\le \cdots \le x_{n-1}\le x_n=b$

se numește diviziune a intervalului $[a,b].$ Fiecare din intervalele $[x_i,x_{i+1}]$ se numește interval parțial al diviziunii d.

Lungimea celui mai mare interval parțial al unei diviziuni $d:(x_0,x_1,\cdots ,x_i,x_{i+1},\cdots ,x_n)$ se numește norma diviziunii d și se notează:

$\nu (d)=\underset{0\le i\le n-1}{\max }(x_{i+1}-x_i).$

Definiție

Se spune că funcția f este integrabilă (în sensul lui Riemann) pe intervalul $[a,b]$, dacă pentru orice șir de diviziuni $(d_n)$ cu norma tinzând către zero și pentru orice alegere a punctelor intermediare ${\xi }_i,$ șirurile corespunzătoare $({\sigma }_{d_n})$ de sume integrale au o limită comună I.

Numărul I se numește integrala funcției f pe intervalul $[a,b]$ (în sensul lui Riemann) și se notează:

$I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

Notația $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ se citește "integrală de la a la b din f(x)dx".

Proprietăți

$1^{\circ }.\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)dx.$

$2^{\circ }.\underset{a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=0.$

$3^{\circ }.\underset{a}{\overset{b}{\int }}mdx=m(b-a).$

$4^{\circ }.\underset{a}{\overset{b}{\int }}[mf(x)+ng(x)]dx=m\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+n\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$   oricare ar fi $m,n\in ℝ.$

$5^{\circ }.$   Dacă f și g sunt integrabile pe [a, b] și dacă $f(x)\le g(x),\mathrm{\forall }x\in [a,b]$   atunci $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx.$