Spațiu topologic

Un spațiu topologic este o mulțime pe care s-a definit o structură pe baza căreia se definesc noțiunile de vecinătate, convergență și limită.

Ca definiție formală, un spațiu topologic este o pereche $(X,𝒯)$, cu $𝒯\subseteq 𝒫(X)$ ($𝒫(X)$ desemnează mulțimea submulțimilor lui X), satisfăcând simultan următoarele proprietăți:

1. $\mathrm{\varnothing }\in 𝒯$ și $X\in 𝒯$
2. dacă $A,B\in 𝒯$, atunci $A\cap B\in 𝒯$
3. dacă $𝒜\subseteq 𝒯$, atunci $\bigcup 𝒜\in 𝒯$

Mulțimile din $𝒯$ se numesc mulțimi deschise. Proprietatea 1 spune că mulțimea vidă și spațiul însuși trebuie să fie mulțimi deschise. Proprietatea 2 cere ca orice intersecție de două mulțimi deschise să fie o mulțime deschisă; prin inducție matematică rezultă de aici că intersecția oricărei familii finite de mulțimi deschise este o mulțime deschisă. Proprietatea 3 cere ca reuniunea oricărei familii (nu neapărat finite) de mulțimi deschise să fie o mulțime deschisă.

Exemple

1. $𝒯=\{\mathrm{\varnothing },X\}$ este topologia „cea mai grosieră” ce poate fi definită pe o mulțime.
2. $𝒯=𝒫(X)$ este topologia „cea mai fină” ce poate fi definită, numită topologia discretă.
3. Dacă d este o funcție distanță (o metrică) definită pe X (X este un spațiu metric), topologia indusă de metrica d are ca mulțimi deschise toate mulțimile care satisfac proprietatea că pentru fiecare punct există o bilă de rază nenulă inclusă în acea mulțime:

$𝒯=\{A\in 𝒫(X)|\mathrm{\forall }x\in A,\mathrm{\exists }\epsilon \in (0,\mathrm{\infty }):B(x,\epsilon )\subseteq A\}$

unde $B(x,\epsilon )=\{y\in X|d(x,y)<\epsilon \}$ este bila (deschisă) de centru x și de rază $\epsilon$.

Vecinătăți

Format:Articol principal Se numește vecinătate a unui punct $x\in X$ al unui spațiu topologic orice submulțime $V\subseteq X$ ce conține o mulțime deschisă ce conține punctul $x$: $\mathrm{\exists }D\in 𝒯:x\in D\subseteq V$.

Submulțimi speciale ale unui spațiu topologic

Mulțimi închise

Format:Articol principal O submulțime a unui spațiu topologic X se numește închisă dacă complementul său față de spațiul X este o mulțime deschisă.

Din proprietățile mulțimilor deschisă rezultă că mulțimea vidă, întreg spațiul X, orice reuniune finită de mulțimi închise și orice intersecție (posibil infinită) de mulțimi închise este o mulțime închisă.

Mulțimi conexe

Format:Articol principal O submulțime M a unui spațiu topologic X se numește conexă dacă nu există nici o acoperire a ei prin două mulțimi deschise disjuncte:

$\mathrm{\exists }A,B\in 𝒯,A\cap M\ne \mathrm{\varnothing },B\cap M\ne \mathrm{\varnothing },A\cap B=\mathrm{\varnothing },A\cup B\supseteq M$

Pentru întregul spațiu X, condiția de conexitate este echivalentă cu aceea de-a nu avea altă submulțime simultan închisă și deschisă decât mulțimea vidă și întregul spațiu.

Mulțimi compacte

Format:Articol principal O submulțime M a unui spațiu topologic X se numește compactă dacă din orice acoperire deschisă a ei se poate extrage o acoperire finită. Mai exact, pentru orice familie $ℱ\subseteq 𝒯$ satisfăcând $\bigcup ℱ\supseteq M$, există o subfamilie ${ℱ}_0\subseteq ℱ$ satisfăcând $\bigcup {ℱ}_0\supseteq M$.

Extinderi ale conceptului

Pentru orice structură algebrică se poate introduce o topologie discretă.

Bibliografie

• Andrei Iacob, Metode topologice în mecanica clasică, Editura Academiei RSR, 1973.

Vezi și

• Bază (spațiu topologic)
• Varietate (matematică)
• Spațiu metric