Spațiu funcțional

În matematică, un spațiu funcțional este o mulțime de funcții cu același domeniu și codomeniu fixe. Adesea, domeniul și/sau codomeniul vor avea o structură suplimentară care este moștenită de spațiul funcțional. De exemplu, funcțiile definite pe orice mulțime X cu valori într-un spațiu vectorial au o structură naturală de spațiu vectorial, dată de adunarea pe puncte și de înmulțirea cu un scalar. În alte scenarii, spațiul funcțional ar putea moșteni o structură topologică sau metrică, prin urmare, de unde denumirea de spațiu funcțional.

În algebra liniară

Adunarea funcțiilor: Suma funcției sinus cu exponențiala este $sin+exp:ℝ\to ℝ$cu $(sin+exp)(x)=sin(x)+exp(x)$

Fie Format:Math un spatiu vectorial peste un corp Format:Math și fie Format:Math o mulțime. Funcțiile definite pe Format:Math cu valori în Format:Math pot primi structura de spațiu vectorial peste Format:Math unde operațiile sunt definite pe puncte, adică pentru orice Format:Math , orice Format:Math din Format:Math și orice Format:Math din Format:Math, se definește

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

$(c\cdot f)(x)=c\cdot f(x)$

Atunci când domeniul Format:Math are o structură suplimentară, s-ar putea lua în considerare în schimb submulțimea (sau Format:Ill-wd) tuturor acestor funcții care respectă structura respectivă. De exemplu, dacă Format:Math este și spațiu vectorial peste Format:Math, mulțimea aplicațiilor liniare Format:Math formează un spațiu vectorial peste Format:Math cu operații pe puncte (adesea notate Hom(Format:Math)). Un astfel de spațiu este spațiul Format:Ill-wd al lui V: mulțimea Format:Ill-wd Format:Math cu adunarea și înmulțirea cu scalar definite pe puncte.

Exemple

Spațiile funcționale apar în diferite domenii ale matematicii:

• În teoria mulțimilor, mulțimea funcțiilor definite pe X cu valori în Y poate fi notată X → Y sau Y ^X.
  • Ca un caz special, Format:Ill-wd unei mulțimi X poate fi identificată cu mulțimea tuturor funcțiilor de la X la {0, 1}, notată 2^X.
• Mulțimea bijecțiilor de la X la Y este notată cu $X\leftrightarrow Y$. Notatia factorial Format:Math poate fi utilizată pentru permutările unei singure mulțimi Format:Math.
• În Format:Ill-wd se observă aceleași lucru pentru transformări liniare continue, incluzând Format:Ill-wd, iar multe dintre exemplele majore sunt spații funcționale care au o topologie; cele mai cunoscute exemple sunt spațiile Hilbert și spațiile Banach.
• În Format:Ill-wd mulțimea tuturor funcțiilor definite pe numerele naturale cu valori într-o anumită mulțime X se numesc Format:Ill-wd. Se compune din mulțimea tuturor șirurilor posibile ale elementelor lui X.
• În topologie, se poate încerca să se aplice o topologie pe spațiul funcțiilor continue definite pe un spațiu topologic X cu valori în altul Y, utilitatea depinzând de natura spațiilor. Un exemplu utilizat în mod obișnuit este Format:Ill-wd, cum ar fi Format:Ill-wd. Există și Format:Ill-wd pe spațiul funcțiilor din teoria mulțimilor (adică nu neapărat funcții continue) Y^X. În acest context, această topologie este denumită și topologia convergenței punctuale.
• În Format:Ill-wd, studiul Format:Ill-wd este în esență cel al invarianților discreți ai spațiilor funcționale;
• În teoria proceselor stohastice, problema tehnică de bază este cum să se construiască o Format:Ill-wd pe un spațiu funcțional al căilor procesului (funcții de timp);
• În teoria categoriilor, spațiul funcțional se numește Format:Ill-wd sau Format:Ill-wd. Apare într-un fel ca reprezentare a Format:Ill-wd; dar și ca functor (simplu), de tip [ X , -], apare ca Format:Ill-wd al unui functor de tip (-×X) pe obiecte;
• În programarea funcțională și Format:Ill-wd, Format:Ill-wd sunt folosite pentru a exprima ideea de Format:Ill-wd.
• În Format:Ill-wd, ideea de bază este de a găsi construcții din Format:Ill-wd care pot să modeleze calculul lambda, creând o Format:Ill-wd cu comportament favorabil.
• În Format:Ill-wd, date fiind două reprezentări finit-dimensionale V și W ale unui grup G, se poate forma o reprezentare a lui G peste spațiul vectorial al aplicațiilor liniare Hom(V,W), numită Format:Ill-wd.

Analiza funcțională

Format:Ill-wd este organizată în jurul tehnicilor adecvate pentru a aduce spațiile de funcții ca Format:Ill-wd la îndemâna ideilor care se vor aplica spațiilor normate de dimensiune finită.

• Format:Ill-wd de funcții indefinit derivabile rapid descrescătoare și Format:Ill-wd duale
• Spațiul Lp
• $C(𝐑)$$C(𝐑)$ funcții continue înzestrate cu topologia normei uniforme
• $C_C(𝐑)$funcții continue pe Format:Ill-wd
• $B(𝐑)$$B(𝐑)$ funcții mărginite
• $C_0(𝐑)$ funcții continue care dispar la infinit
• $C^r(𝐑)$ funcții continue cu primele Format:Math derivate continue.
• $C^{\mathrm{\infty }}(𝐑)$ funcții indefinit derivabile
• $C_C^{\mathrm{\infty }}(𝐑)$ funcții indefinit derivabile cu Format:Ill-wd
• $D(𝐑)$ suport compact pe topologia marginii
• $W^{k,p}$ Format:Ill-wd
• ${𝒪}_U$funcții olomorfe
• funcții liniare
• funcții liniare pe porțiuni
• funcții continue, topologie compactă deschisă
• toate funcțiile, spațiul convergenței punctuale
• Format:Ill-wd
• Format:Ill-wd
• funcțiile Format:Ill-wd, cunoscute și sub numele de spațiul Format:Ill-wd

Normă

Dacă Format:Math este un element al spațiului funcțional $𝒞(a,b)$ al tuturor funcțiile continue care sunt definite pe un interval închis [a, b], norma $\Vert y{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$definită pe $𝒞(a,b)$ este valoarea absolută maximă a lui Format:Math pentru Format:Math ,

$\Vert y{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\equiv \underset{a\le x\le b}{\max }|y(x)|\text{unde}y\in 𝒞(a,b).$

Bibliografie

• Kolmogorov, AN, și Fomin, SV (1967). Elemente ale teoriei funcțiilor și analizei funcționale. Curierul Dover Publicații.
• Stein, Elias; Shakarchi, R. (2011). Analiza funcțională: o introducere în alte subiecte în analiză. Princeton University Press.