Spațiu Banach

Spaţiile abstracte ale matematicii superioare. Săgeata indică incluziunea.

În analiza matematică, un spațiu Banach este un spațiu vectorial normat complet, adică în care orice șir Cauchy este convergent.

Spațiile Banach sunt numite după matematicianul polonez Stefan Banach (1892-1945).

Definiție

În teoria spațiilor liniare normate, cele mai importante rezultate se obțin în cazul când este îndeplinită condiția de completitudine.

Noțiunea de completitudine este bazată pe cea de șir Cauchy: un șir $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ de elemente dintr-un spațiu liniar normat $(X,\Vert \cdot \Vert )$ se numește șir Cauchy dacă oricare ar fi $\epsilon >0,$ există un indice $N(\epsilon )$ astfel încât $n,m\ge N(\epsilon )$ implică $\Vert x_n-x_m\Vert <\epsilon .$

Într-un spațiu liniar normat, oricare șir convergent este șir Cauchy, dar reciproc nu este adevărat în general. Spațiile Banach sunt spațiile în care este cazul.

Exemple de spații Banach

Prin echivalența normelor în dimensiune finită, oricare spațiu liniar normat finit-dimensional este spațiu Banach.

Un alt exemplu important de spațiu Banach este [[spațiu ℓp|spațiul Format:Math]] al șirurilor Format:Mvar-absolut sumabile, cu $p\ge 1$.

Mai general, [[Spațiu Lp|spațiul Format:Math]] al funcțiilor Format:Mvar-integrabile este Banach dacă $p\ge 1$.

Serii în spații Banach

O proprietate utilă a seriilor numerice este că orice serie absolut convergentă este convergentă. Deoarece această proprietate se generalizează la spații Banach, aceștia oferă un cadru natural pentru studiul seriilor generale.

Serii convergente și absolut convergente

Fie $(X,\Vert \cdot \Vert )$ un spațiu liniar normat, $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ un șir de elemente din $X$ și, pentru orice $n\ge 1,s_n=x_1+x_2+\cdots +x_n.$ Dacă există $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n=s\in X,$ atunci seria $\sum _n{s}_n$ se numește serie convergentă. Dacă seria numerică $\sum _n\Vert x_n\Vert$ este convergentă, atunci seria $\sum _n{x}_n$ se numește absolut convergentă.

Vezi și

• Spațiu vectorial normat
• Spațiu complet
• Spațiu Lp

Legături externe

• Format:Commonscat-inline
• Format:Springer
• Format:MathWorld