Închidere (matematică)

Format:Altesensuri O mulțime este închisă în raport cu o operație dacă executarea acelei operații asupra membrilor mulțimii produce întotdeauna un membru al acelei mulțimi. De exemplu, mulțimea numerelor întregi pozitive este închisă în raport cu adunarea, dar nu și cu scăderea: $1-2$ nu este un întreg pozitiv, chiar dacă atât 1 cât și 2 sunt numere întregi pozitive. Un alt exemplu este mulțimea care conține numai zero, care este închisă în raport cu adunarea, scăderea și înmulțirea (deoarece $0+0=0$, $0-0=0$ și $0\times 0=0$.

În mod similar, se spune că o mulțime este închisă în raport cu o colecție de operații dacă este închisă în raport cu fiecare dintre operații individual.

Proprietăți de bază

O mulțime care este închisă în raport cu o operație sau cu o colecție de operații se spune că satisface o proprietate de închidere. Adesea, proprietatea de închidere este introdusă ca o axiomă, care este numită atunci axioma de închidere. Definițiile moderne de teoria mulțimilor definesc de obicei operațiile ca aplicații între mulțimi, astfel încât adăugarea închiderii la o structură ca axiomă este superfluă; totuși, în practică operațiile sunt adesea definite inițial pe o supramulțime a mulțimii în cauză și este necesară o demonstrație a închiderii pentru a stabili că operația aplicată perechilor din acea mulțime produce numai membri ai acelei mulțimi. De exemplu, mulțimea numerelor întregi este închisă în raport cu adunarea, dar mulțimea numerelor întregi impare nu este.

Când o mulțime Format:Math nu este închisă în raport cu anumite operații, se poate găsi de obicei că cea mai mică mulțime care conține Format:Math și care este închisă. Cea mai mică mulțime care este închisă în raport cu operația se numește închiderea lui Format:Math (în raport cu acea operație). De exemplu, închiderea in raport cu scăderea a mulțimii numerelor naturale, privită ca o submulțime a numerelor reale, este mulțimea numerelor întregi. Un exemplu important este Format:Ill-wd. Noțiunea de închidere este generalizată de Format:Ill-wd, și mai departe de Format:Ill-wd.

Mulțimea Format:Math trebuie să fie o submulțime a unei mulțimi închise pentru ca operatorul de închidere să fie definit. În exemplul precedent, este important ca mulțimea numerelor reale să fie închisă în raport cu scăderea; în numerelor naturale, scăderea nu este întotdeauna definită.

A nu se confunda cele două utilizări ale cuvântului „închidere”. Prima utilizare se referă la proprietatea de a fi închisă, iar ultima se referă la cea mai mică mulțime închisă care o conține pe una care nu este închisă. Pe scurt, închiderea unei mulțimi satisface proprietatea de închidere.

Mulțimi închise

O mulțime este închisă în raport cu o operație dacă operația returnează un membru al mulțimii atunci când este evaluată pe membri ai mulțimii. Uneori, cerința ca operația să fie evaluată într-o mulțime este specificată explicit, caz în care este cunoscută ca axioma închiderii. De exemplu, se poate defini un grup ca o mulțime împreună cu un operator binare de produs care să respecte mai multe axiome, între care una care impune ca produsul oricăror două elemente din grup să fie tot un element din grup. Totuși, definiția modernă a operației face ca această axiomă să fie superfluă; o operație n-ară pe Format:Math este doar o submulțime a lui Format:Math. Prin definiția sa, un operator pe o mulțime nu poate avea valori în afara mulțimii.

Totuși, proprietatea de închidere a unui operator pe o mulțime încă mai are utilitate. Închiderea pe o mulțime nu implică neapărat închiderea pe toate submulțimile. Astfel, un subgrup al unui grup este o submulțime pe care produsul binar și operația unară de inversiune satisfac axioma închiderii.

O operație diferită este aceea de a găsi punctele limită ale unei submulțimi a unui spațiu topologic (dacă spațiul este Format:Ill-wd, atunci este suficient să se facă restrângerea la limitelor șirurilor, dar în general trebuie să se ia în considerare cel puțin limitele Format:Ill-wd). O mulțime închisă în raport cu această operație este denumită de obicei doar mulțime închisă în contextul topologiei. Fără altă calificare, expresia înseamnă de obicei închisă în acest sens. Intervalele închise cum ar fi Format:Math sunt închise în acest sens.

O mulțime parțial ordonată este închisă inferior (și, de asemenea, numită Format:Ill-wd) dacă pentru orice element al mulțimii, toate elementele mai mici decât el sunt incluse în mulțime; acest lucru se aplică de exemplu pentru intervalele reale Format:Math și Format:Math, și pentru un număr ordinal Format:Math reprezentat ca intervalul Format:Math; orice mulțime de numere ordinale închisă inferior este în sine un număr ordinal. Similar, se definesc mulțimile închise superior.

Exemple

• În topologie și ramurile conexe, operația relevantă este limita de șir. Format:Ill-wd a unei mulțimi este operatorul de închidere corespunzător. Format:Ill-wd caracterizează acest operator.
• În algebra liniară, Format:Ill-wd al unei mulțimi Format:Math de vectori este închiderea acelei mulțimi; este cea mai mică submulțime a spațiului vectorial care include Format:Math și este închisă în raport cu Format:Ill-wd. Această submulțime este un Format:Ill-wd.
• În teoria Format:Ill-wd, închiderea lui Format:Math este cea mai mare supermulțime a lui Format:Math care are același rang cu Format:Math.
• În teoria mulțimilor, Format:Ill-wd a unei mulțimi.
• În teoria mulțimilor, Format:Ill-wd a unei relații binare.
• În algebră, închiderea algebrică a unui corp.
• În algebra comutativă, operațiile de închidere pentru ideale, ca Format:Ill-wd și Format:Ill-wd.
• În geometrie, convex hullul unei mulțimi Format:Math de puncte este cea mai mică Format:Ill-wd căreia Format:Math este o submulțime.
• În limbajele formale, închiderea Kleene a unui limbaj poate fi descrisă ca mulțimea șirurilor care pot fi formate prin concatenarea a două sau mai multe șiruri din acel limbaj.
• În teoria grupurilor, Format:Ill-wd sau închiderea normală a unei mulțimi de elemente din grup este cel mai mic subgrup normal care conține mulțimea.
• În analiza matematică și în teoria probabilităților, închiderea unei colecții de submulțimi ale lui Format:Math în raport cu un număr numărabil de Format:Ill-wd se numește σ-algebra generată de colecție.

Operatorul de închidere

Dată fiind o operație pe o mulțime Format:Math, se poate defini închiderea Format:Math a unei submulțimi Format:Math a lui X ca fiind cea mai mică submulțime închisă în raport cu acea operație care o are pe Format:Math ca submulțime, dacă există astfel de submulțimi. În consecință, Format:Math este intersecția tuturor mulțimilor închise care conțin Format:Math. De exemplu, închiderea unei submulțimi a unui grup este subgrupul Format:Ill-wd de acea mulțime.

Închiderea mulțimilor în raport cu o anumită operație definește un operator de închidere pe submulțimile lui Format:Math. Mulțimile închise pot fi determinate din operatorul de închidere; o mulțime este închisă dacă este egală cu propria închidere. Proprietățile structurale tipice ale tuturor operațiilor de închidere sunt:

• Închiderea este crescătoare sau extinsă: închiderea unui obiect conține obiectul.
• Închiderea este Format:Ill-wd: închiderea închiderii este egală cu închiderea.
• Închiderea este monotonă, adică, dacă Format:Math este conținut în Format:Math, atunci și Format:Math este conținut în Format:Math.

Un obiect care este propria sa închidere se numește închis. Conform idempotenței, un obiect este închis dacă și numai dacă este închiderea unui obiect.

Aceste trei proprietăți definesc un operator de închidere abstractă. De obicei, o închidere abstractă acționează asupra clasei tuturor submulțimilor unei mulțimi.

Dacă Format:Math este conținută într-o mulțime închisă în raport cu operația, orice submulțime a lui Format:Math are o închidere.

Închideri de relații binare

Considerăm întâi relațiile omogene Format:Math. Dacă o relație Format:Math satisface Format:Math, atunci ea este o Format:Ill-wd. O relație omogenă arbitrară R poate să nu fie simetrică, dar este întotdeauna cuprinsă într-o relație simetrică: Format:Math. Operația de găsire a celui mai mic astfel de Format:Math corespunde unui operator de închidere numit Format:Ill-wd.

O Format:Ill-wd Format:Math satisface aTb ∧ bTc ⇒ aTc. O relație omogenă arbitrară Format:Math nu poate fi tranzitivă, dar este întotdeauna cuprinsă într-o relație tranzitivă: Format:Math. Operația găsirii celui mai mic astfel de Format:Math corespunde unui operator de închidere numit Format:Ill-wd.

Printre Format:Ill-wd există proprietăți de difuncționalitate și contact care conduc la închideri difuncționale și închideri de contact. Prezența acestor operatori de închidere în relațiile binare conduce la topologii, deoarece axiomele mulțimilor deschise pot fi înlocuite de axiomele de închidere Kuratowski. Astfel, orice proprietate Format:Math, simetrie, tranzitivitate, difuncționalitate sau contact, corespunde unei topologii relaționale.

În teoria sistemelor de Format:Ill-wd se utilizează deseori noțiuni cu denumiri mai lungi, cum ar fi închiderea reflexivă tranzitivă Format:Math — cea mai mică Format:Ill-wd care îl conține pe Format:Math sau închiderea simetrică reflexivă tranzitivă Format:Math — cea mai mică relație de echivalență care conține pe Format:Math și, prin urmare, cunoscută și ca închidere de echivalență. Atunci când se analizează o anumită Format:Ill-wd, o relație de echivalență compatibilă cu toate operațiile algebrei se numește Format:Ill-wd. Închiderea de congruență a lui Format:Math este definită ca cea mai mică relație de congruență care conține Format:Math.

Pentru Format:Math și Format:Math arbitrare, nu există întotdeauna închiderea Format:Math a lui Format:Math. În exemplele de mai sus, acestea există pentru că reflexivitatea, tranzitivitatea și simetria sunt închise în raport cu intersecții arbitrare. În astfel de cazuri, închiderea Format:Math poate fi definită direct drept intersecția tuturor mulțimilor cu proprietatea Format:Math care conțin Format:Math.

Unele închideri speciale importante pot fi obținute în mod constructiv după cum urmează:

• Format:Math este Format:Ill-wd a lui R ,
• Format:Math este închiderea simetrică,
• Format:Math este Format:Ill-wd,
• Format:Math este închiderea imersantă în raport cu o mulțime dată Σ de operații pe Format:Math, fiecare cu o aritate fixă.

Relația Format:Math se spune că are închidere în raport cu un Format:Math oarecare, dacă Format:Math; de exemplu Format:Math este simetrică dacă Format:Math.

Oricare dintre aceste patru închideri păstrează simetria, adică dacă Format:Math este simetrică, la fel și orice Format:Math. În mod similar, toate cele patru păstrează reflexivitatea. Mai mult decât atât, Format:Math păstrează închiderea sub Format:Math pentru Format:Math arbitrar. În consecință, închiderea de echivalență a unei relații binare arbitrare Format:Math poate fi obținută ca Format:Math, iar închiderea de congruență în ceea ce privește unele Format:Math poate fi obținută ca Format:Math. În ultimul caz, ordinea de imbricare contează; de exemplu, dacă Format:Math este mulțimea termenilor peste Format:Math și Format:Math, atunci perechea Format:Math este conținută în închiderea de congruență Format:Math a lui Format:Math, dar nu și în relația Format:Math.