Corp algebric închis

În matematică un corp Format:Mvar este algebric închis dacă orice polinom din Format:Mvar[x] care nu este format doar dintr-o constantă (din inelul polinoamelor cu coeficienți în Format:Mvar) are o rădăcină în Format:Mvar.

Exemple

De exemplu, corpul numerelor reale nu este algebric închis deoarece ecuația polinomială $x^2+1=0$ nu are nicio soluție în numere reale, chiar dacă toți coeficienții săi (1 și 0) sunt reali. Același argument demonstrează că niciun subcorp al corpului real nu este algebric închis; în special, corpul numerelor raționale nu este algebric închis. De asemenea, niciun corp finit Format:Mvar nu este algebric închis, deoarece dacă Format:Mvar₁, Format:Mvar₂, ... , Format:Mvar_n sunt elemente din Format:Mvar, atunci polinomul $(x-a_1)(x-a_2),\dots ,(x-a_n)+1$ nu are rădăcini în Format:Mvar. Prin contrast, teorema fundamentală a algebrei afirmă că corpul numerelor complexe este algebric închis. Un alt exemplu de corp algebric închis este corpul numerelor algebrice (complexe).

Proprietăți echivalente

Fiind dat un corp Format:Mvar, afirmația „Format:Mvar este algebric închis” este echivalentă cu alte afirmații:

Singurele polinoame ireductibile sunt cele de gradul întâi

Corpul Format:Mvar este algebric închis dacă și numai dacă singurele polinoame ireductibile din inelul polinoamelor Format:Mvar[x] sunt cele de gradul întâi.

Afirmația „polinoamele de gradul întâi sunt ireductibile” este trivial adevărată pentru orice domeniu. Dacă Format:Mvar este algebric închis și Format:Mvar(x) este un polinom ireductibil al lui Format:Mvar[x], atunci are o anumită rădăcină Format:Mvar, prin urmare, Format:Mvar(x) este un multiplu al lui $x-a$. Deoarece Format:Mvar(x) este ireductibil, aceasta înseamnă că $p(x)=k(x-a)$, pentru unele $k\in f\setminus \left\{0\right\}.$ Pe de altă parte, dacă Format:Mvar nu este algebric închis, atunci există un polinom neconstant Format:Mvar(x) în Format:Mvar[x] fără rădăcini în Format:Mvar. Fie Format:Mvar(x) un factor ireductibil al Format:Mvar(x). Deoarece Format:Mvar(x) nu are rădăcini în Format:Mvar, Format:Mvar(x) nu are rădăcini în Format:Mvar. Prin urmare, Format:Mvar(x) are un grad mai mare decât unu, deoarece fiecare polinom de gradul întâi are o rădăcină în Format:Mvar.

Orice polinom este un produs de polinoame de gradul întâi

Corpul Format:Mvar este algebric închis dacă și numai dacă fiecare polinom Format:Mvar(x) de grad $n\ge 1$ cu coeficienți în Format:Mvar se descompune în factori liniari. Cu alte cuvinte, există elemente $k,x_1,x_2,\dots ,x_n$din corpul Format:Mvar astfel încât $p(x)=k(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_n).$

Dacă Format:Mvar are această proprietate, atunci în mod clar fiecare polinom neconstant din Format:Mvar[x] are o anumită rădăcină în Format:Mvar; cu alte cuvinte Format:Mvar este algebric închis. Pe de altă parte, faptul că proprietatea menționată aici este valabilă pentru Format:Mvar dacă Format:Mvar este algebric închis rezultă din proprietatea anterioară, împreună cu faptul că pentru orice corp Format:Mvar orice polinom din Format:Mvar[x] poate fi scris ca produs al unor polinoame ireductibile.

Polinoamele de gradul întâi au rădăcini

Dacă fiecare polinom de gradul întâi din Format:Mvar are o rădăcină în Format:Mvar, atunci fiecare polinom care nu este unul constant are o rădăcină în Format:Mvar. Rezultă că un corp este algebric închis dacă și numai dacă fiecare polinom de gradul întâi din Format:Mvar are o rădăcină în Format:Mvar.

Corpul nu are o extindere algebrică proprie

Corpul Format:Mvar este algebric închis dacă și numai dacă nu are o extindere algebrică proprie.

Dacă Format:Mvar nu are o extindere algebrică proprie, fie Format:Mvar(x) un polinom ireductibil în Format:Mvar[x]. Apoi resturile Format:Mvar[x] modulo idealul generat de Format:Mvar(x) este o extindere algebrică a Format:Mvar al cărei grad este egal cu gradul lui Format:Mvar(x). Deoarece nu este o extindere proprie, gradul său este 1, prin urmare gradul lui Format:Mvar(x) este 1.

Pe de altă parte, dacă Format:Mvar are o extindere algebrică proprie Format:Mvar, atunci polinomul minimal al unui element din $K\setminus F$ este ireductibil, iar gradul său este mai mare ca 1.

Corpul nu are o extindere algebrică finită

Corpul Format:Mvar este algebric închis dacă și numai dacă nu are o extindere finită proprie, deoarece dacă în cadrul corpului algebric închis expresia „extindere algebrică” este înlocuită cu „extindere finită”, atunci demonstrația este încă valabilă. (extinderile finite sunt neapărat algebrice.)

Orice endomorfism al Format:Mvarⁿ are vectori proprii

Corpul Format:Mvar este algebric închis dacă și numai dacă, pentru fiecare număr natural Format:Mvar, orice aplicație liniară alui Format:Mvarⁿ peste sine însuși are vectori proprii.

Un endomorfism al Format:Mvarⁿ are vectori proprii dacă și numai dacă polinomul caracteristic are rădăcini. Prin urmare, când Format:Mvar este algebric închis, orice endomorfism al Format:Mvarⁿ are vectori proprii. Pe de altă parte, dacă fiecare endomorfism al Format:Mvarⁿ are vectori proprii, fie Format:Mvar(x) un element al lui Format:Mvar[x]. Împărțind prin coeficientul său principal, obținem un alt polinom Format:Mvar(x) care are rădăcini dacă și numai dacă Format:Mvar(x) are rădăcini. Dar dacă $q(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_0$, atunci Format:Mvar(x) este polinomul caracteristic al matricei companion n × n

$\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -a_0\\ 1& 0& \cdots & 0& -a_1\\ 0& 1& \cdots & 0& -a_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& -a_{n-1}\end{array}\right).$

Descompunerea expresiilor raționale

Corpul Format:Mvar este algebric închis dacă și numai dacă fiecare funcție rațională de o singură variabilă x, cu coeficienți în Format:Mvar, poate fi scriăs ca suma unor funcții polinomiale cu funcții raționale de forma $a/(x-b{)}^n$, unde „n” este un număr natural iar a și b sunt elemente ale Format:Mvar.

Dacă Format:Mvar este algebric închis atunci, deoarece polinoamele ireductibile din Format:Mvar[x] sunt toate de gradul întâi, afirmația menționată mai sus este valabilă datorită teoremei descompunerii fracției parțiale.

Pe de altă parte, să presupunem că proprietatea menționată mai sus este valabilă pentru corpul Format:Mvar. Fie Format:Mvar(x) un element ireductibil în Format:Mvar[x]. Atunci funcția rațională 1/Format:Mvar poate fi scrisă ca suma unei funcții polinomiale Format:Mvar cu funcții raționale de forma $a/(x-b{)}^n$. Prin urmare, expresia rațională

$\frac{1}{p(x)}-q(x)=\frac{1-p(x)q(x)}{p(x)}$

poate fi scrisă ca un raport de două polinoame în care numitorul este un produs al polinoamelor de gradul întâi. Deoarece Format:Mvar(x) este ireductibil, trebuie să fie un divizor al acestui produs, prin urmare trebuie să fie un polinom de gradul întâi.

Polinoame și rădăcini coprime

Pentru orice corp Format:Mvar, dacă două polinoame Format:Mvar(x), Format:Mvar(x) ∈ Format:Mvar[x] sunt coprime atunci nu au o rădăcină comună, pentru că dacă $a\in F$ ar fi o rădăcină comună, atunci Format:Mvar(x) și Format:Mvar(x) ar fi ambii multipli ai lui $x-a,$ prin urmare, nu ar fi coprime. Corpurile pentru care este valabilă implicația inversă (adică corpurile în care oricare două polinoame nu au o rădăcină comună sunt coprime) sunt tocmai corpurile închise algebric.

Dacă corpul Format:Mvar este algebric închis, fie Format:Mvar(x) și Format:Mvar(x) două polinoame care nu sunt coprime și să fie Format:Mvar(x) cel mai mare divizor comun. Apoi, din moment ce Format:Mvar(x) nu este constant, va avea o anumită rădăcină a, care va fi apoi o rădăcină comună a Format:Mvar(x) și Format:Mvar(x).

Dacă Format:Mvar nu este algebric închis, fie Format:Mvar(x) un polinom al cărui grad este cel puțin 1, fără rădăcini. Atunci, deși Format:Mvar(x) și Format:Mvar(x) nu sunt coprime, nu au rădăcini comune (deoarece niciunul din ele nu are rădăcini).

Alte proprietăți

Dacă Format:Mvar este un corp algebric închis și n este un număr natural, atunci Format:Mvar conține toate cele n rădăcini ale unității, deoarece acestea sunt (prin definiție) cele n (nu neapărat distincte) zerouri ale polinomului $x^n-1.$. O extindere a corpului care este conținută într-o extindere generată de rădăcinile unității este o extindere ciclotomică, iar extinderea unui corp generat de toate rădăcinile unității se numește uneori închiderea ciclotomică. Astfel corpurile închise algebric sunt închise ciclotomic. Inversa nu este adevărată. Chiar presupunând că fiecare polinom al formei $x^n-a$ se divide prin factori liniari nu este suficient pentru a se asigura că corpul este algebric închis.

Dacă o propoziție care poate fi exprimată în limbajul logicii de ordinul întâi este adevărată pentru un corp algebric închis, atunci este adevărată pentru orice corp algebric închis cu aceeași caracteristică. Mai mult, dacă o astfel de propoziție este valabilă pentru un corp algebric închis cu caracteristica 0, atunci nu numai că este valabilă pentru toate celelalte corpuri închise algebric cu caracteristică 0, ci există și un număr natural N astfel încât propoziția este valabilă pentru orice corp algebric închis cu caracteristica p când p > N.

Orice corp Format:Mvar are o extindere care este închisă algebric. O astfel de extindere se numește extindere închisă algebric. Dintre toate aceste extinderi există doar una până la izomorfism, dar nu unicul izomorfism care este o extindere algebrică a lui Format:Mvar; se numește închidere algebrică a lui Format:Mvar.

Teoria corpurilor închise algebric are eliminarea cuantificatorilor.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Lang Algebra
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation