Spațiu complet

În analiza matematică, un spațiu metric $(X,d)$ se numește complet dacă oricare șir Cauchy este convergent în Format:Mvar.

Intuitiv vorbind, completitudinea înseamnă că „nu lipsesc niciun punct” din spațiu. Spre exemplu, spațiul $(ℝ\setminus \{0\},d)$, prevăzut cu distanța usuală $d(x,y)=|x-y|$, nu este complet pentru că punctul Format:Math „lipsește” din spațiu: prin urmare, există șiruri Cauchy precum $x_n=1/n$ care nu sunt convergente.

Mereu este posibil de a completa un spațiu prin un proces numit completare Cauchy. De pildă, un mod de a construi spațiul $ℝ$ al numerelor reale este prin completarea Cauchy a spațiului $\mathbb{Q}$ al numerelor raționale.

Noțiunea metrică de completitudine nu trebuie confundată cu noțiunea topologică de închidere.