Identitate (matematică)

Graficul funcției identitate pe numerele reale

În matematică funcția identitate, sau aplicația identitate, sau transformarea identică, este o funcție a cărei valoare este egală cu cea a argumentului. Adică, pentru ca Format:Mvar să fie funcția identitate, egalitatea $f(X)=X$ trebuie să fie valabilă pentru orice Format:Mvar.

Definiție

Formal, dacă Format:Mvar este o mulțime, funcția identitate Format:Mvar pe Format:Mvar este definită ca fiind funcția cu domeniul și codomeniul Format:Mvar care satisface

$f(X)=X$     pentru toate elementele Format:Mvar din Format:Mvar.

În alte cuvinte, valorile funcției Format:Mvar în Format:Mvar (codomeniul) sunt întotdeauna aceleași cu a elementului de intrare Format:Mvar din Format:Mvar (acum considerat domeniul de definiție). Funcția identitate pe Format:Mvar este evident o funcție injectivă, precum și o funcție surjectivă, ca urmare este o funcție bijectivă.

Funcția identitate Format:Mvar pe Format:Mvar adesea este notată Format:Mvar.

În teoria mulțimilor, unde o funcție este definită ca un anumit tip de relație binară, funcția identitate este dată de relația de identitate, sau diagonala lui Format:Mvar.

Proprietăți algebrice

Dacă Format:Mvar este o funcție oarecare, atunci $f\circ i{d}_M=f=i{d}_N\circ f$ exprimă o Format:Ill-wd. În particular, Format:Mvar este elementul neutru al monoidului tuturor funcțiilor din Format:Mvar pe Format:Mvar.

Deoarece elementul neutru al monoidului este unic, alternativ se poate defini funcția identitate pe Format:Mvar ca fiind acest element neutru. O astfel de definiție se generalizează în teoria categoriilor la conceptul unui morfism identitate, unde endomorfismul lui Format:Mvar nu este necesar să fie funcții.

Proprietăți

• În teoria numerelor funcția identitate pe mulțimea numerelor întregi pozitive este o funcție complet multiplicativă (înmulțirea cu 1).
• Când se aplică spațiilor vectoriale, funcția identitate este o transformare liniară.
• Într-un spațiu vectorial Format:Mvar-dimensional, funcția identitate este reprezentată de matricea unitate Format:Mvar, indiferent de bază.
• Într-un spațiu metric identitatea este o Izometrie trivială. Un obiect fără nici o simetrie are ca grup de simetrie grupul trivial care conține doar această izometrie (tip de simetrie Format:Mvar₁).
• Într-un spațiu topologic funcția identitate este întotdeauna continuă.
• Funcția identitate este Format:Ill-wd.