Element simetric

În algebra abstractă, ideea de element simetric generalizează noțiunile de opus (în raport cu adunarea) și invers (în raport cu înmulțirea) pentru o operație binară oarecare. Intuitiv, el reprezintă un element care poate „anula” efectul combinării cu un alt element dat. Deși definiția precisă a elementului simetric variază în funcție de structura algebrică implicată, toate definițiile coincid într-un grup.

Definiții formale

Într-un grupoid unital

Fie Format:Math fi o mulțime închisă în raport cu o operație binară $*$ (adică un Format:Ill-wd). Dacă $e$ este un element neutru al lui Format:Math (adică S este grupoid unital) și $a*b=e$, atunci Format:Math se numește simetricul la stânga al lui și Format:Math se numește simetricul la dreapta al lui Format:Math. Dacă un element Format:Math este atât element simetric la dreapta cât și la stânga al lui Format:Math, atunci Format:Math se numește simetric bidirecțional sau pur și simplu simetric al lui Format:Math. Un element care are simetric bidirecțional în Format:Math se numește simetrizabil în Format:Math. Un element care are simetric doar într-o parte este simetrizabil la stânga, respectiv la dreapta. Un grupoid unital în care toate elementele sunt simetrizabile se numește Format:Ill-wd. O buclă a cărei operație binară satisface condiția de asociativitate este un grup.

La fel cum Format:Math poate avea mai multe elemente neutre la stânga sau mai multe elemente neutre la dreapta, este posibil ca un element să aibă mai multe simetrice la stânga sau mai multe simetrice la dreapta (dar definiția lor de mai sus utilizează un element neutru bilateral Format:Math). Poate avea chiar mai multe simetrice la stânga și mai multe simetrice la dreapta.

Dacă operația Format:Math este asociativă, atunci dacă un element are atât simetric la stânga, cât și simetric la dreapta, atunci simetricele sunt egale. Cu alte cuvinte, într-un monoid (un grupoid unital asociativ) fiecare element are cel mult un simetric (așa cum este definit în această secțiune). Într-un monoid, mulțimea elementelor simetrizabile (la stânga și la dreapta) este un grup, numit Format:Ill-wd al lui Format:Math, și se notează cu Format:Math sau Format:Math.

Un element simetrizabil la stânga este Format:Ill-wd la stânga, și în mod analog pentru la dreapta și bilateral.

Într-un semigrup

Definiția din secțiunea anterioară generalizează noțiunea de simetric în grup relativ la noțiunea de element identic. Este, de asemenea, posibil, chiar dacă este mai puțin evident, să se generalizeze noțiunea de simetric prin renunțarea la elementul neutru, dar păstrând asociativitatea, adică într-un semigrup.

Într-un semigrup Format:Math, un element Format:Math se numește regulat (von Neumann) dacă există un element Format:Math în Format:Math astfel încât Format:Math ; Format:Math este uneori numit pseudosimetric. Un element Format:Math este numit (pur și simplu) simetric al lui Format:Math dacă Format:Math și Format:Math. Orice element regulat are cel puțin un simetric: dacă Format:Math este ușor de verificat că Format:Math este un simetric al lui Format:Math așa cum este definit în această secțiune. Un alt fapt ușor de demonstrat: dacă Format:Math este inversul lui Format:Math, atunci Format:Math și Format:Math sunt idempotente, adică Format:Math și Format:Math. Astfel, orice pereche de elemente simetrice dă naștere la două idempotente și Format:Math, Format:Math și Format:Math acționează ca element neutru la stânga față de Format:Math, în timp ce Format:Math acționează ca element neutru la dreapta, iar rolurile stânga/dreapta sunt inversate pentru Format:Math. Această observație simplă poate fi generalizată folosind Format:Ill-wd: orice idempotent Format:Math dintr-un semigrup arbitrar este un element neutru la stânga pentru Format:Math și element simetric la dreapta pentru Format:Math. O descriere intuitivă a acestui fapt este că fiecare pereche de elemente simetrice reciproce produce un neutru local la stânga și, respectiv, un neutru local la dreapta.

Într-un monoid, noțiunea de simetric definită în secțiunea anterioară este strict mai restrânsă decât definiția dată în această secțiune. Numai elementele din clasa Green au un element simetric din perspectiva unui grupoid unital, în timp ce pentru orice idempotent Format:Math, elementele Format:Math au un simetric așa cum este definit în această secțiune. Sub această definiție mai generală, simetricele nu sunt obligate să fie unice (sau să existe) într-un semigrup arbitrar sau monoid. Dacă toate elementele sunt regulate, atunci semigrupul (sau monoidul) se numește regulat și fiecare element are cel puțin un invers. Dacă orice element are exact un invers așa cum este definit în această secțiune, atunci semigrupul se numește Format:Ill-wd. În cele din urmă, un semigrup simetric cu un singur idempotent este un grup. Un semigrup simetric poate avea un element absorbant 0 deoarece 000 = 0, în timp ce un grup nu poate.

În afara teoriei semigrupurilor, un simetric unic așa cum este definit în această secțiune este numit uneori cvasisimetric. Aceasta se justifică în general, deoarece în majoritatea aplicațiilor (de exemplu, toate exemplele din acest articol) este valabilă asociativitatea, ceea ce face ca această noțiune să fie o generalizare a inversului la stânga/la dreapta relativ la un element neutru.

U-semigrupuri

O generalizare naturală a semigrupului invers este definirea unei operații unare (arbitrare) ° astfel încât Format:Math pentru orice Format:Math din S; acesta dotează Format:Math cu o algebră de tip Format:Math. Un semigrup dotat cu o astfel de operație se numește U-semigrup. Deși poate părea că Format:Math va fi simetricul lui Format:Math, nu este neapărat cazul. Pentru a obține noțiuni interesante, operația unară trebuie să interacționeze cumva cu operația semigrupului. S-au studiat două clase de U-semigrupuri:

• I- semigrupuri, în care axioma de interacțiune este Format:Math
• Format:Ill-wd, în care axioma de interacțiune este Format:Math. O astfel de operație se numește involuție, și de obicei se notează cu *

În mod evident, un grup este atât un I-semigrup, cât și un *-semigrup. O clasă de semigrupuri importante în teoria semigrupurilor sunt Format:Ill-wd; acestea sunt I-semigrupuri în care există în plus Format:Math ; cu alte cuvinte, orice element are un pseudosimetric comutativ Format:Math. Există însă puține exemple concrete de astfel de semigrupuri; majoritatea sunt Format:Ill-wd. În schimb, o subclasă de *-semigrupuri, Format:Ill-wd (în sensul lui Drazin), dau unul dintre cele mai cunoscute exemple de pseudosimetric (unic), Format:Ill-wd. În acest caz însă involuția Format:Math nu este pseudosimetric. Mai degrabă, pseudosimetricul lui Format:Math este elementul unic Format:Math astfel încât Format:Math, Format:Math, Format:Math, Format:Math . Deoarece *-semigrupurile regulate generează semigrupuri inverse, elementul unic definit în acest mod într-un *-semigrup regulat se numește simetric generalizat sau simetric Penrose-Moore.

Exemple

Toate exemplele din această secțiune implică operatori asociativi, prin urmare termenii de simetric la stânga/la dreapta se folosesc pentru definiția bazată pe grupoid unital și cea de cvasisimetric pentru versiunea mai generală.

Numerele reale

Orice număr real Format:Math are un opus (adică un element simetric în raport cu adunarea) dat de Format:Math. Orice număr real nenul Format:Math are un invers (adică un element simetric în raport cu înmulțirea) dat de $\frac{1}{x}$ (sau Format:Math). Prin contrast, zero nu are un invers, dar este propriul său cvasisimetric unic.

Numerele întregi nu au elemente simetrice la operația de înmulțire.

Funcții și funcții parțiale

O funcție Format:Math este inversă la stânga (respectiv la dreapta) a unei funcții Format:Math (în raport cu Format:Ill-wd), dacă și numai dacă $g\circ f$(respectiv $f\circ g$) este funcția identitate a domeniului (respectiv codomeniului) lui Format:Math. Inversa unei funcții Format:Math se notează adesea cu Format:Mathdar această notație este uneori ambiguă. Numai bijecțiile au inverse bidirecționale, dar orice funcție are o cvasisimetrică, adică Format:Ill-wd este regulat. Monoidul Format:Ill-wd este, de asemenea, regulat, în timp ce Format:Ill-wd este prototipul de semigrup simetric.

Conexiuni Galois

Adjunctele inferioară și superioară într-o Format:Ill-wd (monotonă), L și G sunt cvasisimetrice unele față de altele, adică LGL = L și GLG = G și una o determină în mod unic pe cealaltă. Nu sunt totuși simetrice la stânga sau la dreapta.

Matrice

O matrice pătrată Format:Math cu elemente dintr-un corp Format:Math este inversabilă (în mulțimea tuturor matricelor pătrate de aceeași mărime, în raport înmulțirea matricelor) dacă și numai dacă determinantul său este diferit de zero. Dacă determinantul lui Format:Math este zero, este imposibil ca aceasta să aibă o un element simetric unilateral; prin urmare, existența unei matrice simetrice la dreapta sau la stânga implică existența celeilalte. Vedeți matrice inversibilă pentru mai multe detalii.

Mai general, o matrice pătrată peste un inel comutativ Format:Math este inversabilă dacă și numai dacă determinantul său este inversabil în Format:Math.

Matricile nepătrate de rang maxim au mai multe inverse unilaterale:

• Pentru $A:m\times n\mid m>n$ există o inversă la stânga: $\underset{A_{\text{stanga}}^{-1}}{\underbrace{{\left(A^{\text{T}}A\right)}^{-1}{A}^{\text{T}}}}A=I_n$
• Pentru $A:m\times n\mid m<n$ există o inversă la dreapta: $A\underset{A_{\text{dreapta}}^{-1}}{\underbrace{A^{\text{T}}{\left(A{A}^{\text{T}}\right)}^{-1}}}=I_m$

Inversa la stânga poate fi utilizată pentru a determina soluția cu normă minimă a ecuației $Ax=b$, care este și formula celor mai mici pătrate pentru regresie și este dată de $x={\left(A^{\text{T}}A\right)}^{-1}{A}^{\text{T}}b.$

Nicio matrice cu deficiență de rang nu are vreo inversă (chiar și unilaterală). Totuși, există Format:Ill-wd pentru toate matricele și coincide cu inversa la stânga sau la dreapta atunci când acesta există.

Ca exemplu de inversare a matricei, se consideră:

$A:2\times 3=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]$

Deci, întrucât m < n, avem o inversă la dreapta, $A_{\text{dreapta}}^{-1}=A^{\text{T}}{\left(A{A}^{\text{T}}\right)}^{-1}.$ Pe componente, ea se calculează prin:

$\begin{array}{cc}A{A}^{\text{T}}& =\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}14& 32\\ 32& 77\end{array}\right]\\ {\left(A{A}^{\text{T}}\right)}^{-1}& ={\left[\begin{array}{cc}14& 32\\ 32& 77\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{54}\left[\begin{array}{cc}77& -32\\ -32& 14\end{array}\right]\\ A^{\text{T}}{\left(A{A}^{\text{T}}\right)}^{-1}& =\frac{1}{54}\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}77& -32\\ -32& 14\end{array}\right]=\frac{1}{18}\left[\begin{array}{cc}-17& 8\\ -2& 2\\ 13& -4\end{array}\right]=A_{\text{dreapta}}^{-1}\end{array}$

Inversa la stânga nu există, deoarece

$A^{\text{T}}A=\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}17& 22& 27\\ 22& 29& 36\\ 27& 36& 45\end{array}\right]$

care este matrice singulară și nu poate fi inversată.

Bibliografie

• M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, Format:ISBN
• Format:Citat carte Format:Citat carte Format:Citat carte Format:Citat carte conține toate semigrupurile de aici, cu excepția *-semigrupurilor regulate.
• Drazin, M.P., Regular semigroups with involution, Proc. Symp. on Regular Semigroups (DeKalb, 1979), 29–46
• Miyuki Yamada, P-systems in regular semigroups, Semigroup Forum, 24(1), December 1982, pp. 173–187
• Nordahl, T.E., and H.E. Scheiblich, Regular * Semigroups, Semigroup Forum, 16(1978), 369–377.