Convoluție

Comparație vizuală între convoluție, Format:Ill-wd, și Format:Ill-wd. Pentru operațiile ce implică funcția Format:Mvar, și presupunând că înălțimea lui Format:Mvar este 1, valoarea rezultatului în 5 puncte diferite este indicață prin aria umbrită de sub fiecare punct. Simetria lui Format:Mvar este motivul pentru care $f\star g$ și $g*f$ sunt identice în acest exemplu.

În matematică (mai precis în analiza funcțională), convoluția este o operație matematică pe două funcții (Format:Mvar și Format:Mvar) care produce o a treia funcție ($f*g$) numită produs de convoluție care exprimă modul în care forma uneia este modificată de cealaltă. Este definită ca integrala produsului dintre cele două funcții după ce una este reflectată în jurul axei y și deplasată. Alegerea funcției care este reflectată și deplasată înainte de integrală nu modifică rezultatul integralei (vezi comutativitate). Integrala este evaluată pentru toate valorile deplasării, producând funcția de convoluție.

Unele caracteristici ale convoluției sunt similare cu corelarea încrucișată: pentru funcțiile cu valori reale, ale unei variabile continue sau discrete, convoluția ($f*g$) diferă de corelare încrucișată ($f\star g$) numai prin aceea că fie Format:Math fie Format:Math se reflectă în jurul axei y în convoluție; deci este o corelație încrucișată între Format:Math și Format:Math, sau Format:Math și Format:Math.Format:Efn-ua Pentru funcțiile cu valori complexe, operatorul de corelare încrucișată este adjunctul operatorului de convoluție.

Convoluția are domenii de aplicabilitate care includ probabilitățile, statistica, acustica, spectroscopia, procesarea semnalelor și Format:Ill-wd, geofizica, ingineria, fizica, Format:Ill-wd și ecuațiile diferențiale.

Convoluția poate fi definită pentru funcții din spațiul euclidian și alte grupuri (ca structuri algebrice).  De exemplu, funcțiile periodice, cum ar fi Format:Ill-wd, pot fi definite pe un cerc și convolutate prin Format:Ill-wd. O convoluție discretă poate fi definită pentru funcții din mulțimea numerelor întregi.

Generalizările convoluției au aplicații în domeniul analizei numerice și al Format:Ill-wd, precum și în proiectarea și implementarea filtrelor de Format:Ill-wd în prelucrarea semnalelor.

Calculul inversului operației de convoluție este cunoscut sub numele de Format:Ill-wd.

Definiție

Operația de convoluție a lui Format:Mvar și Format:Mvar se scrie Format:Math, notând operatorul cu simbolul Format:Math.Format:Efn-ua Este definită ca integrala produsului dintre cele două funcții după ce una este reflectată în jurul axei y și deplasată. Ca atare, ea este un tip de Format:Ill-wd:

$(f*g)(t):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\tau )g(t-\tau )d\tau .$

O definiție echivalentă este (vezi comutativitatea):

$(f*g)(t):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t-\tau )g(\tau )d\tau .$

Mai sus se folosește simbolul Format:Mvar , dar nu este neapărat nevoie ca variabila să reprezinte domeniul timp. În fiecare t, formula de convoluție poate fi descrisă ca aria de sub funcția Format:Math ponderată de funcția Format:Math deplasată cu cantitatea Format:Mvar. Pe măsură ce Format:Mvar se modifică, funcția de ponderare Format:Math pune accentul pe diferite părți ale funcției de intrare Format:Math; Dacă Format:Mvar este o valoare pozitivă, atunci Format:Math este egal cu Format:Math care alunecă sau este deplasat de-a lungul axei $\tau$ spre dreapta (spre Format:Math ) cu cantitatea Format:Mvar, în timp ce dacă Format:Mvar este o valoare negativă, atunci Format:Math este egal cu Format:Math care alunecă sau este deplasat spre stânga (spre Format:Math ) cu cantitatea Format:Mvar.

Pentru funcțiile Format:Mvar, Format:Mvar cu Format:Ill-wd numai pe Format:Math (adică zero pentru argumente negative), limitele de integrare pot fi trunchiate, rezultând:

$(f*g)(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )g(t-\tau )d\tau \text{pentru }f,g:[0,\mathrm{\infty })\to ℝ.$

Pentru formularea multidimensională a convoluției, vezi domeniul de definiție (mai jos).

Notație

O convenție de notație inginerească comună este:

$f(t)*g(t):=\underset{(f*g)(t)}{\underbrace{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\tau )g(t-\tau )d\tau }},$

care trebuie interpretat cu atenție pentru a evita confuzia. De exemplu, Format:Math este echivalent cu Format:Math, dar Format:Math este de fapt echivalent cu Format:Math.

Relațiile cu alte transformări

Date două funcții $f(t)$ și $g(t)$ cu Format:Ill-wd (transformată Laplace cu două părți)

$F(s)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-su}f(u)\text{d}u$

și

$G(s)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-sv}g(v)\text{d}v$

respectiv operația de convoluție $(f*g)(t)$ poate fi definită ca transformata Laplace inversă a produsului lui $F(s)$ și $G(s)$. Mai precis,

$\begin{array}{cc}F(s)\cdot G(s)& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-su}f(u)\text{d}u\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-sv}g(v)\text{d}v\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-s(u+v)}f(u)g(v)\text{d}u\text{d}v\end{array}$

Lăsa $t=u+v$ astfel încât

$\begin{array}{cc}F(s)\cdot G(s)& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(u)g(t-u)\text{d}u\text{d}t\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}\underset{(f*g)(t)}{\underbrace{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(u)g(t-u)\text{d}u}}\text{d}t\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}(f*g)(t)\text{d}t\end{array}$

Se observă că $F(s)\cdot G(s)$ este transformata Laplace bilaterală a lui $(f*g)(t)$. O derivare similară se poate face folosind transformata Laplace unilaterală.

Operația de convoluție descrie și ieșirea (în raport cu intrarea) unei clase importante de operații cunoscute sub numele de invariante liniare în timp (LTI). În ceea ce privește transformatele Fourier ale intrării și ieșirii unei operațiuni LTI, nu sunt create noi componente de frecvență. Cele existente sunt doar modificate (amplitudinea și/sau faza). Cu alte cuvinte, transformata de ieșire este produsul punctual al transformării de intrare cu o a treia transformare (cunoscută sub numele de funcție de transfer). Vezi Format:Ill-wd pentru o derivare a acelei proprietăți de convoluție. În schimb, convoluția poate fi derivată ca transformată Fourier inversă a produsului pe puncte a două transformări Fourier.

Explicație vizuală

Format:Ordered list Forma de undă rezultată (nu este prezentată aici) este convoluția funcțiilor Format:Mvar și Format:Mvar. Dacă Format:Math este un impuls unitar, rezultatul acestui proces este pur și simplu Format:Math. Formal: $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (\tau )g(t-\tau )d\tau =g(t)$
În acest exemplu, „imulsul” de culoare roșie $g(\tau ),$ este o funcție uniformă $(g(-\tau )=g(\tau )),$ deci convoluția este echivalentă cu corelația. Un instantaneu al acestui „film” arată funcțiile $g(t-\tau )$ și $f(\tau )$ (în albastru) pentru o anumită valoare a parametrului $t,$ care este definită în mod arbitrar ca distanța de-a lungul axei $\tau$ din punctul $\tau =0$ până la centrul impulsului roșu. Cantitatea de galben este aria produsului $f(\tau )\cdot g(t-\tau ),$ calculat prin integrala de convoluție/corelație. Filmul este creat prin schimbarea continuă a lui $t$ și recalcularea integralei. Rezultatul (afisat cu negru) este o functie de $t,$ dar este trasat pe aceeași axă ca $\tau ,$ pentru comoditate și comparație.
În această reprezentare, $f(\tau )$ ar putea reprezenta răspunsul unui circuit RC la un impuls îngust care apare la $\tau =0.$ Cu alte cuvinte, dacă $g(\tau )=\delta (\tau ),$ rezultatul convoluției este doar $f(t).$ Dar când $g(\tau )$ este impulsul mai larg (în roșu), răspunsul este o versiune „rotunjită” a lui $f(t).$ Începe la $t=-0.5,$ pentru că s-a definit $t$ ca distanța de la axa $\tau =0$ spre centrul impulsului larg (și nu până la marginea anterioară).

Evoluție istorică

Una dintre cele mai vechi utilizări ale integralei de convoluție a apărut în calculul efectuat de către D'Alembert al Format:Ill-wd în Format:Lang, publicată în 1754.

De asemenea, o expresie de tipul:

$\int f(u)\cdot g(x-u)du$

este folosită de Format:Ill-wd la pagina 505 a cărții sale intitulată Tratat despre diferențe și serii, care este ultimul dintre cele 3 volume ale seriei enciclopedice: Format:Lang, Format:Lang, Paris, 1797–1800. Curând după aceea, operația de convoluție apare în lucrările lui Pierre Simon Laplace, Jean-Baptiste Joseph Fourier, Siméon Denis Poisson și alții. Termenul în sine a intrat în uz pe scară largă abia în anii 1950 sau 60. Înainte de aceasta, era uneori cunoscut sub numele de Format:Lang (care înseamnă pliere în germană), produs de compoziție, integrală de superpoziție și integrală a lui Carson. Apare încă din 1903, deși definiția este destul de necunoscută în utilizările mai vechi.

Operația:

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}\phi (s)\psi (t-s)ds,0\le t<\mathrm{\infty },$

este un caz particular al produselor de compoziție analizate de matematicianul italian Vito Volterra în 1913.

Convoluția circulară

Când o funcție Format:Math este periodică, cu perioadă Format:Mvar, atunci pentru funcțiile Format:Mvar, pentru care există Format:Math, convoluția este și periodică și identică cu:

$(f*g_T)(t)\equiv \underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\int }}[\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(\tau +kT)]g_T(t-\tau )d\tau ,$

unde Format:Math este ales arbitrar. Suma se numește Format:Ill-wd a funcției Format:Mvar.

Când Format:Math este o sumă periodică a unei alte funcții, Format:Mvar, atunci Format:Math se numește convoluție circulară sau ciclică a lui Format:Mvar cu Format:Mvar.

Mai mult, dacă suma periodică de mai sus este înlocuită cu Format:Math, operația se numește convoluție periodică a lui Format:Math și Format:Math.

Convoluție discretă

Animație cu convoluția 2D discretă

Pentru funcțiile cu valori complexe Format:Math definite pe mulțimea Z a numerelor întregi, convoluția discretă a lui Format:Mvar cu Format:Mvar este dată de:

$(f*g)[n]=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f[m]g[n-m],$

sau echivalent prin:

$(f*g)[n]=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f[n-m]g[m].$

Convoluția a două șiruri finite este definită prin extinderea șirurilor la funcții cu suport finit pe mulțimea numerelor întregi. Când șirurile sunt coeficienții a două polinoame, atunci coeficienții produsului obișnuit al celor două polinoame sunt convoluția celor două șiruri inițiale. Acesta este cunoscut ca Format:Ill-wd al coeficienților șirurilor.

Astfel, atunci când Format:Mvar are suport finit în mulțimea $\{-M,-M+1,\dots ,M-1,M\}$ (reprezentând, de exemplu, un Format:Ill-wd), poate fi utilizată o sumă finită:

$(f*g)[n]=\sum _{m=-M}^{M}f[n-m]g[m].$

Convoluție circulară discretă

Când o funcție Format:Math este periodică, cu perioadă Format:Mvar, atunci pentru funcțiile Format:Mvar, pentru care există Format:Math, convoluția este și periodică și identică cu:

$(f*g_N)[n]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}(\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f[m+kN])g_N[n-m].$

Suma după Format:Mvar se numește Format:Ill-wd a funcției Format:Mvar .

Dacă Format:Math este o sumă periodică a unei alte funcții, Format:Mvar, atunci Format:Math se numește Format:Ill-wd a lui Format:Mvar și Format:Mvar .

Când duratele diferite de zero ale lui Format:Mvar și Format:Mvar sunt limitate la intervalul Format:Math , Format:Math se reduce la aceste forme comune:Format:NumBlkNotația ( Format:Math ) pentru convoluția ciclică reprezintă convoluția peste Format:Ill-wd al [[Modular arithmetic|numerelor întregi modulo Format:Math]] .

Convoluția circulară apare cel mai adesea în contextul convoluției rapide cu un algoritm pentru Format:Ill-wd (FFT).

Algoritmi rapizi de convoluție

În multe situații, convoluțiile discrete pot fi convertite în convoluții circulare, astfel încât transformările rapide care au proprietatea de convoluție să poată fi utilizate pentru a implementa calculul. De exemplu, convoluția șirurilor de cifre este operația centrală din multiplicarea numerelor cu mai multe cifre, care poate fi, prin urmare, implementată eficient cu tehnici de transformare (Format:Harvnb;Format:Harvnb).

Eq.1 necesită Format:Mvar operațiuni aritmetice pentru fiecare valoare produsă și Format:Math operații pentru Format:Mvar valori. Această performanță poate fi redusă semnificativ cu oricare din multiplii algoritmi rapizi. În prelucrarea semnalelor digitale și în alte aplicații, algoritmii rapizi de convoluție sunt folosiți de regulă pentru a reduce costul convoluției la o complexitate de O(Format:Mvar log Format:Mvar).

Cei mai obișnuiți algoritmi rapizi de convoluție folosesc algoritmi de Format:Ill-wd (FFT) prin Format:Ill-wd. Mai exact, Format:Ill-wd a două șiruri de lungime finită se găsește luând FFT a fiecărui șir, înmulțind punctual și apoi efectuând FFT inversă. Convoluțiile de tipul definit mai sus sunt apoi implementate eficient folosind acea tehnică în combinație cu extensia zero și/sau eliminarea unor porțiuni din datele de ieșire. Alți algoritmi rapizi de convoluție, cum ar fi Format:Ill-wd sau transformata Mersenne, folosesc transformări Fourier rapide în alte inele.

Dacă un șir este mult mai lung decât celălalt, extinderea zero a secvenței mai scurte și convoluția circulară rapidă nu sunt metodele cele mai eficiente din punct de vedere computațional. Descompunerea șirului mai lung în blocuri și convoluția fiecărui bloc permite algoritmi mai rapizi, cum ar fi Format:Ill-wd și Format:Ill-wd. O metodă de convoluție hibridă care combină algoritmii pe blocuri și Format:Ill-wd permite o latență de intrare-ieșire zero, care este utilă pentru calculul convoluției în timp real.

Definiție

Convoluția a două funcții cu valori complexe pe Format:Math este ea însăși o funcție cu valori complexe pe Format:Math, definită prin:

$(f*g)(x)=\underset{{𝐑}^d}{\int }f(y)g(x-y)dy=\underset{{𝐑}^d}{\int }f(x-y)g(y)dy,$

și este bine definită numai dacă Format:Mvar și Format:Mvar scad suficient de rapid la infinit pentru ca integrala să existe. Condițiile de existență a convoluției pot fi problematice, deoarece o explozie a lui Format:Mvar la infinit poate fi ușor compensată printr-o scădere suficient de rapidă în Format:Mvar. Problema existenței poate implica astfel diferite condiții pentru Format:Mvar și Format:Mvar:

Funcții cu suport compact

Dacă Format:Mvar și Format:Mvar sunt funcții continue cu Format:Ill-wd, atunci produsul lor de convoluție lor există și are și el suport compact și este continuu Format:Harvard citation. Mai general, dacă oricare dintre funcții (să zicem Format:Mvar ) are suport compact și cealaltă este Format:Ill-wd, atunci produsul de convoluție Format:Math este bine definit și continuu.

Produsul de convoluție între Format:Mvar și Format:Mvar este bine definit și atunci când ambele funcții sunt local integrabile la pătrat pe Format:Math și cu suport pe un interval de forma Format:Math (sau ambele cu suport pe Format:Math).

Funcții integrabile

Produsul de convoluție al lui Format:Mvar și Format:Mvar există dacă Format:Mvar și Format:Mvar sunt ambele Format:Ill-wd în [[Spațiu Lp|Format:Math(Format:Math)]], iar în acest caz Format:Math este și ea integrabilă Format:Harvard citation. Aceasta este o consecință a Format:Ill-wd. Aceasta este valabilă și pentru funcțiile din Format:Math, în raport cu convoluția discretă sau, mai general, pentru convoluția pe orice grup.

La fel, dacă Format:Math ( Format:Math ) și Format:Math ( Format:Math ) unde Format:Math , apoi Format:Math ( Format:Math ), și

$\Vert f*g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_1\Vert g{\Vert }_p.$

În cazul particular Format:Math, aceasta arată că Format:Math este o Format:Ill-wd în raport cu operația de convoluție (și egalitatea celor două părți este valabilă dacă Format:Mvar și Format:Mvar sunt nenegative Format:Ill-wd).

Mai general, Format:Ill-wd implică faptul că convoluția este o aplicație biliniară continuă între spații Format:Math adecvate. Mai exact, dacă Format:Math satisfac:

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}+1,$

Când o funcție Format:Math este periodică, cu perioadă Format:Mvar, atunci pentru funcții, Format:Mvar, astfel încât Format:Math există, și convoluția este periodică și identică cu:

${\Vert f*g\Vert }_r\le {\Vert f\Vert }_p{\Vert g\Vert }_q,f\in {ℒ}^p,g\in {ℒ}^q,$

astfel încât convoluția să fie o aplicație biliniară continuă de la Format:Math la Format:Math. Inegalitatea Young pentru convoluție este adevărată și în alte contexte (grup circular, convoluție pe Format:Math). Inegalitatea anterioară nu este strictă pe dreapta reală: când Format:Math, există o constantă Format:Math astfel încât:

${\Vert f*g\Vert }_r\le B_{p,q}{\Vert f\Vert }_p{\Vert g\Vert }_q,f\in {ℒ}^p,g\in {ℒ}^q.$

Valoarea optimă a lui Format:Math a fost descoperită în 1975 și independent în 1976, vezi Format:Ill-wd.

O estimare mai puternică este adevărată cu condiția ca Format:Math :

$\Vert f*g{\Vert }_r\le C_{p,q}\Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_{q,w}$

Unde $\Vert g{\Vert }_{q,w}$ este norma [[Spațiu Lp|slabă Format:Math]]. Convoluția definește și o aplicație biliniară continuă $L^{p,w}\times L^{q,w}\to L^{r,w}$ pentru $1<p,q,r<\mathrm{\infty }$, din cauza inegalității Young slabe:

$\Vert f*g{\Vert }_{r,w}\le C_{p,q}\Vert f{\Vert }_{p,w}\Vert g{\Vert }_{r,w}.$

Funcții cu scădere rapidă

atunci

Distribuții

Dacă f este o funcție indefinit derivabilă cu Format:Ill-wd și g este o distribuție, atunci f ∗ g este o funcție indefinit derivabilă definită prin

$\underset{{ℝ}^d}{\int }f(y)g(x-y)dy=(f*g)(x)\in C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^d).$

Mai general, se poate extinde definiția convoluției într-un mod unic cu $\phi$ la fel ca f mai sus, astfel încât proprietatea de asociativitate

$f*(g*\phi )=(f*g)*\phi$

să rămână valabilă în cazul în care f este o distribuție, iar g o distribuție cu suport compact Format:Harvard citation.

Măsuri

Convoluția oricăror două Format:Ill-wd μ și ν de Format:Ill-wd este măsura $\mu *\nu$ definită de Format:Harvard citation

$\underset{{𝐑}^d}{\int }f(x)d(\mu *\nu )(x)=\underset{{𝐑}^d}{\int }\underset{{𝐑}^d}{\int }f(x+y)d\mu (x)d\nu (y).$

Pe lângă funcțiile cu suport compact și funcțiile integrabile, funcțiile care au o scădere suficient de rapidă la infinit pot fi, de asemenea, convolutate. O caracteristică importantă a convoluției este că, dacă f și g scad rapid, atunci și f ∗ g scade rapid. În special, dacă f și g sunt Format:Ill-wd, atunci la fel este și produsul de convoluție f ∗ g. Combinat cu faptul că convoluția comută cu diferențierea (vezi #Proprietăți), rezultă că clasa Format:Ill-wd este închisă în raport cu convoluția Format:Harvard citation.

$(\mu *\nu )(A)=\underset{{𝐑}^d\times {𝐑}^d}{\int }{1}_A(x+y)d(\mu \times \nu )(x,y),$

unde $A\subset {𝐑}^d$ este o mulțime măsurabilă și $1_A$ este Format:Ill-wd a lui $A$.

Aceasta este în conformitate cu convoluția definită mai sus când μ și ν sunt considerate distribuții, precum și cu convoluția funcțiilor Format:Math când μ și ν sunt absolut continue în raport cu măsura Lebesgue.

Convoluția măsurilor satisface și următoarea versiune a inegalității lui Young

$\Vert \mu *\nu \Vert \le \Vert \mu \Vert \Vert \nu \Vert$

unde norma este Format:Ill-wd a unei măsuri. Deoarece spațiul măsurilor de variație mărginită este un spațiu Banach, convoluția măsurilor poate fi tratată cu metodele standard ale analizei funcționale care nu se aplică neapărat și pentru convoluția distribuțiilor.

Proprietăți

Proprietăți algebrice

Convoluția definește un produs pe spațiul vectorial al funcțiilor integrabile. Acest produs satisface următoarele proprietăți algebrice, ceea ce înseamnă formal că spațiul funcțiilor integrabile împreună cu produsul de convoluție dat este o Format:Ill-wd comutativă fără element neutru Format:Harvard citation. Alte spații vectoriale de funcții, cum ar fi spațiul funcțiilor continue cu suport compact, sunt închise în raport cu convoluția și astfel formează și algebre asociative comutative.

Comutativitatea

$$f*g=g*f$$

Asociativitatea

$$f*(g*h)=(f*g)*h$$

Distributivitatea

$$f*(g+h)=(f*g)+(f*h)$$

Asociativitatea în raport cu înmulțirea cu un scalar

$$a(f*g)=(af)*g$$

Element neutru

Nicio algebră de funcții nu posedă un element neutru pentru convoluție. Lipsa elementului neutru nu este de obicei un inconvenient major, deoarece majoritatea colecțiilor de funcții pe care se realizează convoluția pot fi convolutate cu o distribuție delta (un impuls unitar, centrat în zero) sau, cel puțin (cum este cazul L¹) admit aproximări ale identității. Spațiul vectorial al distribuțiilor cu suport compact admite totuși o identitate în raport cu convoluția. Anume,$$f*\delta =f$$

Element invers

Unele distribuții S au un element invers S⁻¹ pentru convoluție care atunci trebuie să satisfacă$$S^{-1}*S=\delta$$

Conjugata complexă

$$\overline{f*g}=\bar{f}*\bar{g}$$

Relația cu diferențierea

$$(f*g{)}^{\prime }=f^{\prime }*g=f*g^{\prime }$$

$\begin{array}{cc}(f*g{)}^{\prime }& =\frac{d}{dt}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\tau )g(t-\tau )d\tau \\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\tau )\frac{\partial }{\partial t}g(t-\tau )d\tau \\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\tau )g^{\prime }(t-\tau )d\tau =f*g^{\prime }.\end{array}$

Relația cu integrarea

Dacă $F(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}f(\tau )d\tau ,$ și $G(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}g(\tau )d\tau ,$ apoi $$(F*g)(t)=(f*G)(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}(f*g)(\tau )d\tau .$$

Integrarea

Dacă f și g sunt funcții integrabile, atunci integrala convoluției lor pe întreg spațiul se obține pur și simplu ca produs al integralelor lor:

$\underset{{𝐑}^d}{\int }(f*g)(x)dx=(\underset{{𝐑}^d}{\int }f(x)dx)(\underset{{𝐑}^d}{\int }g(x)dx).$

Aceasta rezultă din Format:Ill-wd. Același rezultat este valabil dacă se presupune că f și g sunt doar funcții măsurabile nenegative, prin teorema lui Tonelli.

Diferențierea

În cazul unei singure variabile,

$\frac{d}{dx}(f*g)=\frac{df}{dx}*g=f*\frac{dg}{dx}$

unde d/dx este derivata. Mai general, în cazul funcțiilor cu mai multe variabile, o formulă analogă este valabilă pentru derivata parțială:

$\frac{\partial }{\partial x_i}(f*g)=\frac{\partial f}{\partial x_i}*g=f*\frac{\partial g}{\partial x_i}.$

O consecință particulară a acestui lucru este că convoluția poate fi privită ca o operație de „netezire”: convoluția lui f cu g este diferențiabilă de câte ori sunt f și g în total.

Aceste identități rămân valabile cu condiția exactă ca f și g să fie absolut integrabile și cel puțin una dintre ele să aibă o derivată slabă (L¹) absolut integrabilă, ca o consecință a Format:Ill-wd. De exemplu, când f este continuu diferențiabilă cu suport compact și g este o funcție integrabilă local arbitrară,

$\frac{d}{dx}(f*g)=\frac{df}{dx}*g.$

Aceste identități sunt valabile și în sensul mult mai larg al distribuțiilor temperate, dacă una dintre f sau g este o Format:Ill-wd, o distribuție temperată cu suport compact sau o funcție Schwartz, iar cealaltă este o distribuție temperată. Pe de altă parte, două funcții pozitive integrabile și indefinit diferențiabile pot să aibă un produs de convoluție care nu este continuu nicăieri.

În cazul discret, operatorul de diferență D f(n) = f (n + 1) − f (n) satisface o relație analogă:

$D(f*g)=(Df)*g=f*(Dg).$

Teorema de convoluție

Format:Ill-wd afirmă că

$ℱ\{f*g\}=k\cdot ℱ\{f\}\cdot ℱ\{g\}$

Unde cu $ℱ\{f\}$ se notează transformata Fourier a lui $f$, iar $k$ este o constantă care depinde de Format:Ill-wd specifică a transformării Fourier. Versiunile acestei teoreme sunt valabile și pentru transformarea Laplace, Format:Ill-wd, transformarea Z și Format:Ill-wd.

Pe de altă parte, dacă $𝒲$ este Format:Ill-wd, atunci

$𝒲(C^{(1)}x\ast C^{(2)}y)=(𝒲C^{(1)}\bullet 𝒲C^{(2)})(x\otimes y)=𝒲C^{(1)}x\circ 𝒲C^{(2)}y$ ,

Unde $\bullet$ este un produs Khatri–Rao, cu $\otimes$ se notează produsul Kronecker, cu $\circ$ se notează produsul Hadamard (acest rezultat este o evoluție a proprietăților de Format:Ill-wd ).

Echivarianță translațională

Convoluția comută cu translația, adică

${\tau }_x(f*g)=({\tau }_{x}f)*g=f*({\tau }_{x}g)$

unde τ _x f este translația funcției f prin x definită de

$({\tau }_{x}f)(y)=f(y-x).$

Dacă f este o Format:Ill-wd, atunci τ_xf este convoluția cu o funcție delta Dirac translatată τ_xf = f ∗ τ_xδ. Deci invarianța de translație a convoluției funcțiilor Schwartz este o consecință a asociativității convoluției.

Mai mult, în anumite condiții, convoluția este cea mai generală operație invariantă la translație. Informal vorbind, este valabilă afirmația

Presupunând că S este un operator liniar mărginit care acționează asupra funcțiilor care comută în raport cu translația: S(τ_xf) = τ_x(Sf) pentru orice x, atunci S este dat drept produs de convoluție cu o funcție (sau distribuție) g_S; adică Sf = g_S ∗ f .

Astfel, unele operații invariante la translație pot fi reprezentate drept convoluții. Convoluțiile joacă un rol important în studiul sistemelor invariante în timp și în special în Format:Ill-wd. Funcția reprezentativă g_S este Format:Ill-wd al transformării S.

O versiune mai precisă a teoremei citate mai sus necesită specificarea clasei de funcții pe care este definită convoluția și necesită și presupunerea că S trebuie să fie un Format:Ill-wd în raport cu topologia corespunzătoare. Se știe, de exemplu, că orice operator liniar continuu invariant la translația continuă pe L¹ este convoluția cu o Format:Ill-wd finită. Mai general, orice operator liniar continuu invariant la translația continuă pe L^p pentru 1 ≤ p < ∞ este convoluția cu o Format:Ill-wd a cărei transformată Fourier este mărginită. Cu alte cuvinte, toate sunt date de Format:Ill-wd mărginiți.

Convoluții pe grupuri

Dacă G este un grup adecvat dotat cu o măsură λ, și dacă f și g sunt funcții Format:Ill-wd cu valori reale sau complexe pe G, atunci putem defini convoluția lor prin

$(f*g)(x)=\underset{G}{\int }f(y)g\left(y^{-1}x\right)d\lambda (y).$

În general, convoluția aceasta nu este comutativă. În cazuri tipice de interes, G este un Format:Ill-wd Hausdorff Format:Ill-wd și λ este o Format:Ill-wd (la stânga). În acest caz, cu excepția cazului în care G este Format:Ill-wd, convoluția definită în acest fel nu este aceeași cu $\int f\left(x{y}^{-1}\right)g(y)d\lambda (y)$ . Preferința pentru unul față de celălalt se face astfel încât convoluția cu o funcție fixă g să comute cu translația la stânga în grup:

$L_h(f*g)=(L_{h}f)*g.$

În plus, convenția este necesară și pentru coerență cu definiția circumvoluției măsurilor prezentată mai jos. Totuși, cu o măsură Haar la dreapta în loc de la stânga, integrala din urmă este preferată față de prima.

Pe grupurile abeliene local compacte, este valabilă o versiune a Format:Ill-wd: transformata Fourier a unei convoluții este produsul punctual al transformărilor Fourier. Format:Ill-wd T cu măsura Lebesgue este un exemplu imediat. Pentru un g fix din L¹(T), avem următorul operator familiar care acționează asupra spațiului Hilbert L²(T):

$Tf(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{𝐓}{\int }f(y)g(x-y)dy.$

Operatorul T este Format:Ill-wd. Un calcul direct arată că adjunctul lui T* este convoluția cu

$\overline{g}(-y).$

Conform proprietății de comutativitate menționate mai sus, T este Format:Ill-wd : T* T = TT*. De asemenea, T comută cu operatorii de translație. Fie familia S de operatori formată din toate aceste convoluții și din operatorii de translație. Atunci S este o familie comutativă de operatori normali. Conform Format:Ill-wd, există o bază ortonormală {h_k} care diagonalizează simultan S. Aceasta caracterizează convoluțiile pe cerc. Mai exact, avem

$h_k(x)=e^{ikx},k\in \mathbb{Z},$

care sunt tocmai Format:Ill-wd lui T. Orice convoluție este un Format:Ill-wd compact în această bază. Aceasta poate fi privită ca o versiune a teoremei de convoluție discutată mai sus.

Un exemplu discret este un Format:Ill-wd finit de ordinul n. Operatorii de convoluție sunt reprezentați aici prin Format:Ill-wd și pot fi diagonalizați prin Format:Ill-wd.

Un rezultat similar este valabil și pentru grupurile compacte (nu neapărat abeliene): coeficienții matriceali ai Format:Ill-wd finit-dimensionale formează o bază ortonormală în L² conform Format:Ill-wd, și continuă să fie valabil un analog al teoremei de convoluție, împreună cu multe alte aspecte ale analizei armonice care depind de transformata Fourier.

Convoluția măsurilor

Fie G un grup topologic (scris multiplicativ). Dacă μ și ν sunt Format:Ill-wd pe G, atunci convoluția lor μ ∗ ν este definită ca Format:Ill-wd a Format:Ill-wd și poate fi scrisă sub forma:

$(\mu *\nu )(E)=\iint 1_E(xy)d\mu (x)d\nu (y)$

pentru orice submulțime măsurabilă E a lui G. Convoluția este și măsură finită, a cărei Format:Ill-wd satisface

$\Vert \mu *\nu \Vert \le \Vert \mu \Vert \Vert \nu \Vert .$

În cazul în care G este Format:Ill-wd cu Format:Ill-wd (la stânga) λ, iar μ și ν sunt Format:Ill-wd în raport cu un λ, Format:Ill-wd, atunci produsul de convoluție μ∗ν este și el absolut continuu și funcția sa de densitate este doar convoluția celor două funcții de densitate separate.

Dacă μ și ν sunt Format:Ill-wd pe grupul topologic Format:Nowrap atunci convoluția μ ∗ ν este distribuția de probabilitate a sumei X + Y a două variabile aleatoare Format:Ill-wd X și Y ale căror distribuții respective sunt μ și ν.

Convoluția infimală

În Format:Ill-wd, convoluția infimală a funcțiilor convexe proprii (neidentic $+\mathrm{\infty }$) $f_1,\dots ,f_m$ pe ${ℝ}^n$ este definită ca:$$(f_1*\cdots *f_m)(x)=\underset{x}{\inf }\{f_1(x_1)+\cdots +f_m(x_m)|x_1+\cdots +x_m=x\}.$$Se poate arăta că convoluția infimală a funcțiilor convexe este convexă. În plus, satisface o identitate analogă cu cea a transformării Fourier a unei convoluții tradiționale, rolul transformării Fourier fiind jucat în schimb de transformarea Legendre:$${\phi }^{*}(x)=\underset{y}{\sup }(x\cdot y-\phi (y)).$$Avem:$$(f_1*\cdots *f_m{)}^{*}(x)=f_1^{*}(x)+\cdots +f_m^{*}(x).$$

Bialgebre

Fie ( X, Δ, ∇, ε, η ) o bialgebră cu comultiplicarea Δ, multiplicarea ∇, unitatea η și counitatea ε. Convoluția este un produs definit pe Format:Ill-wd End(X) după cum urmează. Fie φ, ψ ∈ End(X), adică φ, ψ : X → X sunt funcții care respectă toată structura algebrică a lui X, atunci convoluția φ ∗ ψ este definită drept compoziția

$X\stackrel{\mathrm{\Delta }}{\to }X\otimes X\stackrel{\varphi \otimes \psi }{\to }X\otimes X\stackrel{\mathrm{\nabla }}{\to }X.$

Convoluția apare în special în definiția Format:Ill-wd Format:Harvard citation. O bialgebră este o algebră Hopf dacă și numai dacă are un antipod: un endomorfism S astfel încât

$S*{\mathrm{id}}_X={\mathrm{id}}_X*S=\eta \circ \epsilon .$

Aplicații

Format:Ill-wd este un filtru ce poate fi utilizat pentru a obține o imagine digitală continuă în tonuri de gri dintr-o imprimare în Format:Ill-wd.

Convoluția și operațiile aferente se regăsesc în multe aplicații din știință, inginerie și matematică.

• În Format:Ill-wd
  • În prelucrarea digitală a imaginilor, filtrele convoluționale joacă un rol important în mulți algoritmi importanți în Format:Ill-wd și procesele conexe
  • În optică, o fotografie nefocalizată este o convoluție a imaginii clare cu o funcție a obiectivului. Termenul fotografic pentru aceasta este Format:Ill-wd.
  • În aplicațiile de procesare a imaginii, cum ar fi adăugarea de estompare.
• În prelucrarea digitală a datelor
  • În chimia analitică, Format:Ill-wd sunt utilizate pentru analiza datelor spectroscopice. Ele pot îmbunătăți raportul semnal-zgomot cu o distorsiune minimă a spectrelor
  • În statistică, o Format:Ill-wd ponderată este o convoluție.
• În acustică, Format:Ill-wd este convoluția sunetului original cu ecouri de la obiectele din jurul sursei de sunet.
  • În procesarea semnalului digital, convoluția este utilizată pentru a mapa Format:Ill-wd al unei încăperi reale pe un semnal audio digital.
  • În muzica electronică, convoluția este impunerea unei structuri spectrale sau ritmice asupra unui sunet. Adesea, această anvelopă sau structură este preluată dintr-un alt sunet. Convoluția a două semnale este filtrarea unuia prin celălalt.
• În ingineria electrică, convoluția unei funcții (semnalul de intrare) cu o a doua funcție (răspunsul la impuls) dă ieșirea unui Format:Ill-wd (LTI). La orice moment dat, rezultatul este un efect cumulat al tuturor valorilor anterioare ale funcției de intrare, cele mai recente valori având de obicei cea mai mare influență (exprimată ca factor multiplicativ). Funcția de răspuns la impuls furnizează acel factor ca o funcție a timpului scurs de când a apărut fiecare valoare de intrare.
• În fizică, oriunde există un Format:Ill-wd cu un „principiu de superpoziție”, apare o operație de convoluție. De exemplu, în spectroscopie, lărgirea unei benzi cauzată de efectul Doppler în sine dă o Format:Ill-wd gaussiană, iar lărgirea prin coliziune dă ea singură o formă de linie lorentziană. Când operează ambele efecte, forma liniei este o convoluție între gaussiană și lorentziană, o Format:Ill-wd.
  • În Format:Ill-wd, semnalul de excitație poate fi tratat ca un lanț de impulsuri delta, iar fluorescența măsurată este o sumă a degradărilor exponențiale de la fiecare impuls delta.
  • În dinamica computațională a fluidelor, Format:Ill-wd Format:Ill-wd (LES) utilizează operația de convoluție pentru a reduce intervalul de scală de lungime necesar în calcul, reducând astfel costul de calcul.
• În teoria probabilității, distribuția de probabilitate a sumei a două variabile aleatoare Format:Ill-wd este convoluția distribuțiilor lor individuale.
  • În Format:Ill-wd, o distribuție este estimată din puncte de eșantion prin convoluție cu un nucleu, cum ar fi un gaussian izotrop.Format:Sfn 
• În fiabilitatea structurală, indicele de fiabilitate poate fi definit pe baza teoremei de convoluție.
  • Definiția indicelui de fiabilitate pentru funcțiile de stare limită cu distribuții nenormale poate fi stabilită corespunzător Format:Ill-wd. De fapt, funcția de distribuție comună poate fi obținută folosind teoria convoluției.Format:Sfn
• Format:Ill-wd aplică mai multe nuclee de convoluție în cascadă cu aplicații în Format:Ill-wd și inteligența artificială. Deși acestea sunt de fapt mai degrabă corelații încrucișate decât convoluții în majoritatea cazurilor.
• În Format:Ill-wd, simulările dinamicii fluidelor sunt calculate folosind particule, fiecare cu nuclee înconjurătoare. Pentru orice particulă dată $i$, o cantitate fizică $A_i$ se calculează ca o convoluție a lui $A_j$ cu o funcție de ponderare, unde cu $j$ se notează vecinii particulei $i$: cele care se află în interiorul nucleului său. Convoluția este aproximată ca o sumă peste toți vecinii.
• În Format:Ill-wd convoluția este esențială în diferite definiții ale integralei fracționare și derivatei fracționare.

Lectură suplimentară

• Format:Citation.
• Format:Citation
• Format:Citation
• Dominguez-Torres, Alejandro (Nov 2, 2010). "Origin and history of convolution". 41 pgs. http://www.slideshare.net/Alexdfar/origin-adn-history-of-convolution. Cranfield, Bedford MK43 OAL, UK. Retrieved Mar 13, 2013.
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation.
• Format:Citation.
• Format:Citation.
• Format:Citation.
• Format:Citation.
• Format:Narici Beckenstein Topological Vector Spaces 
• Format:Citation
• Format:Citation.
• Format:Schaefer Wolff Topological Vector Spaces
• Format:Citation.
•  Format:Springer.
• Format:Citation.
• Format:Citation.
•  Format:Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels
• Format:Citation
• Format:Citation.