Produs Kronecker

În matematică produsul Kronecker, uneori notat cu ⊗, este o operație pe două matrici de dimensiuni arbitrare rezultând o matrice de blocuri. Este o particularizare a Format:Ill-wd (care este notat cu același simbol) de la vectori la matrici, iar rezultatul este matricea aplicației liniare „produs tensorial” în raport cu o alegere standard a bazei. Produsul Kronecker trebuie să fie distins de produsul matricial obișnuit, care este o operație complet diferită. Produsul Kronecker mai este numit uneori „produs direct de matrici”.

Definiție

Dacă Format:Math este o matrice Format:Mvar iar Format:Math o matrice Format:Mvar, atunci produsul Kronecker Format:Math este matricea de blocuri Format:Mvar:

$𝐀\otimes 𝐁=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}𝐁& \cdots & a_{1n}𝐁\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}𝐁& \cdots & a_{mn}𝐁\end{array}\right],$

adică explicit:

$𝐀\otimes 𝐁=\left[\begin{array}{cccccccccc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{11}{b}_{12}& \cdots & a_{11}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{11}& a_{1n}{b}_{12}& \cdots & a_{1n}{b}_{1q}\\ a_{11}{b}_{21}& a_{11}{b}_{22}& \cdots & a_{11}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{21}& a_{1n}{b}_{22}& \cdots & a_{1n}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{11}{b}_{p1}& a_{11}{b}_{p2}& \cdots & a_{11}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{p1}& a_{1n}{b}_{p2}& \cdots & a_{1n}{b}_{pq}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& \ddots & & ⋮& ⋮& & ⋮\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}{b}_{11}& a_{m1}{b}_{12}& \cdots & a_{m1}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{11}& a_{mn}{b}_{12}& \cdots & a_{mn}{b}_{1q}\\ a_{m1}{b}_{21}& a_{m1}{b}_{22}& \cdots & a_{m1}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{21}& a_{mn}{b}_{22}& \cdots & a_{mn}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}{b}_{p1}& a_{m1}{b}_{p2}& \cdots & a_{m1}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{p1}& a_{mn}{b}_{p2}& \cdots & a_{mn}{b}_{pq}\end{array}\right].$

Folosind $//$ și $\mathrm{\%}$ pentru a nota câtul și restul, și numerotând elementele matricei începând de la 0 se obține $(A\otimes B{)}_{pr+v,qs+w}=a_{rs}{b}_{vw}$ și $(A\otimes B{)}_{i,j}=a_{i//p,j//q}{b}_{i\mathrm{\%}p,j\mathrm{\%}q}.$ La numerotarea uzuală, care începe de la 1, se obține $(A\otimes B{)}_{p(r-1)+v,q(s-1)+w}=a_{rs}{b}_{vw}$ și $(A\otimes B{)}_{i,j}=a_{\lceil i/p\rceil ,\lceil j/q\rceil }{b}_{(i-1)\mathrm{\%}p+1,(j-1)\mathrm{\%}q+1}.$

Dacă Format:Math și Format:Math reprezintă transformări liniare Format:Math, respectiv Format:Math, atunci produsul tensorial a două aplicații este reprezentat de Format:Math, care este același cu Format:Math.

Exemple

$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 6& 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1\left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 6& 7\end{array}\right]& 2\left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 6& 7\end{array}\right]\\ 3\left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 6& 7\end{array}\right]& 4\left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 6& 7\end{array}\right]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1\times 0& 1\times 5& 2\times 0& 2\times 5\\ 1\times 6& 1\times 7& 2\times 6& 2\times 7\\ 3\times 0& 3\times 5& 4\times 0& 4\times 5\\ 3\times 6& 3\times 7& 4\times 6& 4\times 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 5& 0& 10\\ 6& 7& 12& 14\\ 0& 15& 0& 20\\ 18& 21& 24& 28\end{array}\right].$

Similar:

$\left[\begin{array}{ccc}1& -4& 7\\ -2& 3& 3\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cccc}8& -9& -6& 5\\ 1& -3& -4& 7\\ 2& 8& -8& -3\\ 1& 2& -5& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccccccccc}8& -9& -6& 5& -32& 36& 24& -20& 56& -63& -42& 35\\ 1& -3& -4& 7& -4& 12& 16& -28& 7& -21& -28& 49\\ 2& 8& -8& -3& -8& -32& 32& 12& 14& 56& -56& -21\\ 1& 2& -5& -1& -4& -8& 20& 4& 7& 14& -35& -7\\ -16& 18& 12& -10& 24& -27& -18& 15& 24& -27& -18& 15\\ -2& 6& 8& -14& 3& -9& -12& 21& 3& -9& -12& 21\\ -4& -16& 16& 6& 6& 24& -24& -9& 6& 24& -24& -9\\ -2& -4& 10& 2& 3& 6& -15& -3& 3& 6& -15& -3\end{array}\right]$

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Citation

Legături externe

• Format:En icon Format:Planetmath reference
• Format:En icon Format:MathWorld
• Format:En icon Format:Cite web
• Format:En icon Format:Cite web The entry on the Kronecker, Zehfuss, or Direct Product of matrices has historical information.
• Format:En icon Format:Cite report
• Format:En icon Format:Cite web Software source in more than 40 languages.