Operator adjunct

În matematică, în special în Format:Ill-wd, fiecare operator liniar $A$ peste un spațiu vectorial euclidian definește un operator adjunct $A^{*}$ peste acel spațiu conform regulii:

$⟨Ax,y⟩=⟨x,A^{*}y⟩,$

Unde $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ este produsul scalar al spațiului vectorial.

Adjunctul mai poate fi numit și conjugat, iar cei care sunt propriul adjunct se numesc hermitici, după Charles Hermite. Adjunctul se notează adesea cu Format:Math în domenii precum fizica, mai ales atunci când este utilizat împreună cu notația bra-ket în mecanica cuantică. În dimensiunile finite în care operatorii sunt reprezentați prin matrice, adjunctul este dat de conjugata transpusă.

Definiția de mai sus a unui operator adjunct se extinde verbatim la Format:Ill-wd peste spațiile Hilbert $H$. Definiția a fost extinsă în continuare pentru a include operatori nemărginiți Format:Ill-wd al căror domeniu este dens din punct de vedere topologic înFormat:Mdash dar nu neapărat egal cuFormat:Mdash $H.$

Definiție informală

Fie o aplicație liniară $A:H_1\to H_2$ între două spații Hilbert. Făcând abstracție de detalii, operatorul adjunct este operatorul liniar (în cele mai multe cazuri definit în mod unic). $A^{*}:H_2\to H_1$ care îndeplinește condiția

${⟨A{h}_1,h_2⟩}_{H_2}={⟨h_1,A^{*}{h}_2⟩}_{H_1},$

Unde $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{H_i}$ este produsul scalar din spațiul Hilbert $H_i$, care este liniar în prima coordonată și Format:Ill-wd în a doua coordonată. Se observă cazul special în care ambele spații Hilbert sunt identice și $A$ este un operator pe acel spațiu Hilbert.

Când se produsul scalar este înlocuit cu împerecherea duală, se poate defini adjunctul, numit și Format:Ill-wd, al unui operator $A:E\to F$, Unde $E,F$ sunt spatii Banach cu norme corespunzatoare $\Vert \cdot {\Vert }_E,\Vert \cdot {\Vert }_F$ . Aici (din nou, fără a lua în considerare detaliile), operatorul său adjunct este definit ca $A^{*}:F^{*}\to E^{*}$ cu

$A^{*}f=f\circ A:u\mapsto f(Au),$

adica $\left(A^{*}f\right)(u)=f(Au)$ pentru $f\in F^{*},u\in E$ .

Definiția de mai sus în contextul spațiului Hilbert este de fapt doar o aplicație a cazului spațiului Banach atunci când se identifică un spațiu Hilbert cu dualul său. Atunci este firesc să se poată obține și adjunctul unui operator $A:H\to E$, Unde $H$ este un spațiu Hilbert și $E$ este un spațiu Banach. Dualul este atunci definit ca $A^{*}:E^{*}\to H$ cu $A^{*}f=h_f$ astfel încât

$⟨h_f,h{⟩}_H=f(Ah).$

Definiție pentru operatori nemărginiți între spații Banach

Fie spațiile Banach $(E,\Vert \cdot {\Vert }_E),(F,\Vert \cdot {\Vert }_F)$. Fie $A:D(A)\to F$ și $D(A)\subset E$, cu $A$ un operator liniar (posibil nemărginit) Format:Ill-wd (adică, $D(A)$ este dens în $E$). Atunci adjunctul său $A^{*}$ este definit după cum urmează. Domeniul este

$D\left(A^{*}\right):=\{g\in F^{*}:\mathrm{\exists }c\ge 0:\text{ for all }u\in D(A):|g(Au)|\le c\cdot \Vert u{\Vert }_E\}$ .

Acum, pentru un $g\in D(A^{*})$ arbitrar, dar fix, se stabilește $f:D(A)\to ℝ$ cu $f(u)=g(Au)$ . Prin alegerea lui $g$ și definiția lui $D(A^{*})$, Format:Math este (uniform) continuă pe $D(A)$ deoarece $|f(u)|=|g(Au)|\le c\cdot \Vert u{\Vert }_E$ . Atunci, prin Format:Ill-wd sau, alternativ, prin extensie prin continuitate, rezultă o extensie a lui $f$, numită $\hat{f}$ definită pe tot $E$. Această tehnică este necesară pentru a se obține ulterior $A^{*}$ ca operator $D\left(A^{*}\right)\to E^{*}$ în loc de $D\left(A^{*}\right)\to (D(A){)}^{*}.$ Se observă și că aceasta nu înseamnă că $A$ poate fi extinsă pe orice $E$ dar extensia funcționează doar pentru anumite elemente $g\in D\left(A^{*}\right)$.

Acum se poate defini adjunctul lui $A$ drept

$\begin{array}{cc}{A}^{*}:F^{*}\supset D(A^{*})& \to E^{*}\\ g& \mapsto A^{*}g=\hat{f}\end{array}$

Identitatea fundamentală definitorie este astfel

$g(Au)=\left(A^{*}g\right)(u)$ pentru $u\in D(A).$

Definiția pentru operatori mărginiți între spații Hilbert

Presupunem că Format:Mvar este un spațiu Hilbert complex, cu produs scalar $⟨\cdot ,\cdot ⟩$. Considerăm un operator liniar continuu Format:Math (pentru operatorii liniari, continuitatea este echivalentă cu Format:Ill-wd). Atunci adjunctul lui Format:Mvar este operatorul liniar continuu Format:Math care satisface condiția

$⟨Ax,y⟩=⟨x,A^{*}y⟩\text{oricare ar fi }x,y\in H.$

Existența și unicitatea acestui operator rezultă din Format:Ill-wd.

Aceasta poate fi văzută ca o generalizare a matricei adjuncte a unei matrice pătrate care are o proprietate similară care implică produsul interior complex standard.

Proprietăți

Următoarele proprietăți ale adjunctului de Format:Ill-wd sunt imediate:

1. Involutivitate : Format:Math
2. Dacă Format:Mvar este inversabilă, atunci la fel este Format:Math, cu ${\left(A^{*}\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^{*}$
3. Format:Ill-wd :
   • Format:Math
   • Format:Math, unde cu Format:Math se notează conjugatul complex al numărului complex Format:Math
4. „Anti-distributivitate”: Format:Math

Dacă definim Format:Ill-wd Format:Mvar prin

$\Vert A{\Vert }_{\text{op}}:=\sup \{\Vert Ax\Vert :\Vert x\Vert \le 1\}$

atunci

${\Vert A^{*}\Vert }_{\text{op}}=\Vert A{\Vert }_{\text{op}}.$

Mai mult,

${\Vert A^{*}A\Vert }_{\text{op}}=\Vert A{\Vert }_{\text{op}}^2.$

Se spune că o normă care satisface această condiție se comportă ca „valoarea cea mai mare”, extrapolând din cazul operatorilor autoadjuncți.

Mulțimea operatorilor liniari mărginiți pe un spațiu Hilbert complex Format:Mvar împreună cu operația adjunctă și norma operatorului formează prototipul unei Format:Ill-wd .

Adjunctul de operatori nemărginiți dens definiți între spațiile Hilbert

Definiție

Fie produsul scalar $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ liniar în primul argument. Un operator Format:Mvar Format:Ill-wd între un spațiu Hilbert complex Format:Mvar și el însuși este un operator liniar al cărui domeniu Format:Math este un Format:Ill-wd dens al lui Format:Mvar și ale cărui valori se află în Format:Mvar. Prin definiție, domeniul Format:Math al adjunctului său Format:Math este mulțimea tuturor Format:Math pentru care există un Format:Math care satisface condiția

$⟨Ax,y⟩=⟨x,z⟩\text{pentru orice }x\in D(A).$

Datorită densității lui $D(A)$ și Format:Ill-wd, $z$ este definit în mod unic și, prin definiție, $A^{*}y=z.$

Proprietăți 1.–5. rămân valabile cu clauze adecvate despre domenii și codomenii.  De exemplu, ultima proprietate afirmă acum că Format:Math este o extensie a lui Format:Math dacă Format:Mvar, Format:Mvar și Format:Mvar sunt operatori dens definiți.

ker AFormat:Sup = (im A) Format:Sup

Pentru orice $y\in \ker A^{*},$ funcționala liniară $x\mapsto ⟨Ax,y⟩=⟨x,A^{*}y⟩$ este identic zero și, prin urmare $y\in (\mathrm{im}A{)}^{\perp }.$

Reciproc, presupunerea că dacă $y\in (\mathrm{im}A{)}^{\perp }$ rezultă că funcționala $x\mapsto ⟨Ax,y⟩$ este identic zero. Deoarece funcționala este în mod evident mărginită, definiția lui $A^{*}$ asigură că $y\in D(A^{*}).$ Faptul că, pentru fiecare $x\in D(A),$$⟨Ax,y⟩=⟨x,A^{*}y⟩=0$ demonstrează că $A^{*}y\in D(A{)}^{\perp }=\stackrel{\perp }{\overline{D(A)}}=\{0\},$ dat fiind că $D(A)$ este dens.

Această proprietate arată că $\ker A^{*}$ este un subspațiu închis topologic chiar și atunci când $D(A^{*})$ nu este.

Interpretare geometrică

Dacă $H_1$ și $H_2$ sunt spații Hilbert, atunci $H_1\oplus H_2$ este un spațiu Hilbert cu produsul scalar

$⟨(a,b),(c,d){⟩}_{H_1\oplus H_2}\stackrel{\text{def}}{=}⟨a,c{⟩}_{H_1}+⟨b,d{⟩}_{H_2},$

Unde $a,c\in H_1$ și $b,d\in H_2.$

Fie $J:H\oplus H\to H\oplus H$ Format:Ill-wd, de exemplu $J(\xi ,\eta )=(-\eta ,\xi ).$ Atunci graficul

$G(A^{*})=\{(x,y)\mid x\in D(A^{*}),y=A^{*}x\}\subseteq H\oplus H$

al lui $A^{*}$ este complementul ortogonal al lui $JG(A):$

$G(A^{*})=(JG(A){)}^{\perp }=\{(x,y)\in H\oplus H:⟨(x,y),(-A\xi ,\xi ){⟩}_{H\oplus H}=0\mathrm{\forall }\xi \in D(A)\}.$

Afirmația rezultă din echivalențele

$⟨(x,y),(-A\xi ,\xi )⟩=0\iff ⟨A\xi ,x⟩=⟨\xi ,y⟩,$

și

$[\mathrm{\forall }\xi \in D(A)⟨A\xi ,x⟩=⟨\xi ,y⟩]\iff x\in D(A^{*})\mathrm{\&}y=A^{*}x.$

Corolare

AFormat:Sup este închis

Un operator $A$ este închis dacă graficul $G(A)$ este închis topologic în $H\oplus H.$ Graficul $G(A^{*})$ al operatorului adjunct $A^{*}$ este complementul ortogonal al unui subspațiu și, prin urmare, este închis.

AFormat:Sup este dens definit ⇔ A este nemărginit

Un operator $A$ este nemărginit dacă închiderea topologică $G^{\text{cl}}(A)\subseteq H\oplus H$ a graficului $G(A)$ este graficul unei funcții. Întrucât $G^{\text{cl}}(A)$ este un subspațiu liniar (închis), cuvântul „funcție” poate fi înlocuit cu „operator liniar”. Pentru același motiv, $A$ este nemărginit dacă și numai dacă $(0,v)\notin G^{\text{cl}}(A)$ cu condiția $v\ne 0.$

Adjunctul $A^{*}$ este dens definit dacă și numai dacă $A$ este nemărginit. Aceasta rezultă din faptul că, pentru orice $v\in H,$

$v\in D(A^{*}{)}^{\perp }\iff (0,v)\in G^{\text{cl}}(A),$

ceea ce, la rândul său, se demonstrează prin următorul lanț de echivalențe:

$\begin{array}{cc}v\in D(A^{*}{)}^{\perp }& ⟺(v,0)\in G(A^{*}{)}^{\perp }⟺(v,0)\in (JG(A){)}^{\text{cl}}=J{G}^{\text{cl}}(A)\\ & ⟺(0,-v)=J^{-1}(v,0)\in G^{\text{cl}}(A)\\ & ⟺(0,v)\in G^{\text{cl}}(A).\end{array}$

AFormat:Sup = AFormat:Sup

Închiderea $A^{\text{cl}}$ a unui operator $A$ este operatorul al cărui grafic este $G^{\text{cl}}(A)$ dacă acest grafic reprezintă o funcție. Ca mai sus, cuvântul „funcție” poate fi înlocuit cu „operator”. În plus, $A^{**}=A^{\text{cl}},$ ceea ce înseamnă că $G(A^{**})=G^{\text{cl}}(A).$

Pentru a demonstra acest lucru, se observă că $J^{*}=-J,$ adică $⟨Jx,y{⟩}_{H\oplus H}=-⟨x,Jy{⟩}_{H\oplus H},$ pentru orice $x,y\in H\oplus H.$ Într-adevăr,

$\begin{array}{cc}⟨J(x_1,x_2),(y_1,y_2){⟩}_{H\oplus H}& =⟨(-x_2,x_1),(y_1,y_2){⟩}_{H\oplus H}=⟨-x_2,y_1{⟩}_H+⟨x_1,y_2{⟩}_H\\ & =⟨x_1,y_2{⟩}_H+⟨x_2,-y_1{⟩}_H=⟨(x_1,x_2),-J(y_1,y_2){⟩}_{H\oplus H}.\end{array}$

În special, pentru orice $y\in H\oplus H$ și orice subspațiu $V\subseteq H\oplus H,$$y\in (JV{)}^{\perp }$ dacă și numai dacă $Jy\in V^{\perp }.$ Prin urmare, $J[(JV{)}^{\perp }]=V^{\perp }$ și $[J[(JV{)}^{\perp }]{]}^{\perp }=V^{\text{cl}}.$ Înlocuind $V=G(A),$ se obține $G^{\text{cl}}(A)=G(A^{**}).$

AFormat:Sup = (AFormat:Sup)Format:Sup

Pentru un operator nemărginit $A,$$A^{*}={\left(A^{\text{cl}}\right)}^{*},$ ceea ce înseamnă că $G(A^{*})=G\left({\left(A^{\text{cl}}\right)}^{*}\right).$ Într-adevăr,

$G\left({\left(A^{\text{cl}}\right)}^{*}\right)={(J{G}^{\text{cl}}(A))}^{\perp }={\left({(JG(A))}^{\text{cl}}\right)}^{\perp }=(JG(A){)}^{\perp }=G(A^{*}).$

Contraexemplu în care adjunctul nu este dens definit

Fie $H=L^2(ℝ,l),$ unde $l$ este măsura liniară. Se alege o funcție măsurabilă, mărginită, neidentic zero $f\notin L^2,$ și ${\phi }_0\in L^2\setminus \{0\}.$ Se definește

$A\phi =⟨f,\phi ⟩{\phi }_0.$

Rezultă că $D(A)=\{\phi \in L^2\mid ⟨f,\phi ⟩\ne \mathrm{\infty }\}.$ Subspațiul $D(A)$ conține toate funcțiile $L^2$ cu suport compact. Întrucât ${\mathrm{𝟏}}_{[-n,n]}\cdot \phi \stackrel{L^2}{\to }\phi ,$$A$ este dens definit. Pentru orice $\phi \in D(A)$ și $\psi \in D(A^{*}),$

$⟨\phi ,A^{*}\psi ⟩=⟨A\phi ,\psi ⟩=⟨⟨f,\phi ⟩{\phi }_0,\psi ⟩=⟨f,\phi ⟩\cdot ⟨{\phi }_0,\psi ⟩=⟨\phi ,⟨{\phi }_0,\psi ⟩f⟩.$

Prin urmare, $A^{*}\psi =⟨{\phi }_0,\psi ⟩f.$ Definiția operatorului adjunct necesită ca $\text{Im}{A}^{*}\subseteq H=L^2.$ Întrucât $f\notin L^2,$ acest lucru este posibil numai dacă $⟨{\phi }_0,\psi ⟩=0.$ Din acest motiv, $D(A^{*})=\{{\phi }_0{\}}^{\perp }.$ Prin urmare, $A^{*}$ nu este dens definit și este identic zero pe $D(A^{*}).$ Ca urmare, $A$ este nemărginit și nu are al doilea adjunct $A^{**}.$

Operatori hermitici

Un Format:Ill-wd Format:Math se numește hermitic sau Format:Ill-wd dacă

$A=A^{*}$

care este echivalent cu

$⟨Ax,y⟩=⟨x,Ay⟩\text{ pentru orice }x,y\in H.$

Într-un anumit sens, acești operatori joacă rolul numerelor reale (sunt egali cu propriul lor „conjugat complex”) și formează un spațiu vectorial real. Ei servesc drept model de Format:Ill-wd cu valori reale în mecanica cuantică.

Adjuncții operatorilor antiliniari

Pentru un Format:Ill-wd, definiția adjunctului trebuie ajustată pentru a compensa conjugarea complexă. Un operator adjunct al operatorului antiliniar Format:Mvar pe un spațiu Hilbert complex Format:Mvar este un operator antiliniar Format:Math cu proprietatea:

$⟨Ax,y⟩=\overline{⟨x,A^{*}y⟩}\text{pentru orice }x,y\in H.$

Alți adjuncți

Ecuația

$⟨Ax,y⟩=⟨x,A^{*}y⟩$

este formal similară cu proprietățile definitorii ale perechilor de Format:Ill-wd din teoria categoriilor, care de aici și-au luat și numele.

Bibliografie

• Format:Citation.
• Format:Citation.
• Format:Rudin Walter Functional Analysis