Produs Hadamard

Produsul Hadamard operează pe matrici de formă identică și produce o a treia matrice cu aceleași dimensiuni

În matematică produsul Hadamard sau produsul Schur) este o operație binară pe două matrici de aceleași dimensiuni, rezultatul fiind o altă matrice de aceeași dimensiune, în care fiecare element Format:Mvar este produsul elementelor Format:Mvar ale celor două matrici inițiale. Este numit astfel pentru a fi distins de produsul matricial comun. Numele său vine fie de la matematicianul francez Jacques Hadamard, fie de la matematicianul german Issai Schur din Rusia.

Produsul Hadamard este asociativ și distributiv. Spre deosebire de produsul matricial, acesta este, de asemenea, comutativ.

Definiție

Pentru două matrice Format:Mvar și Format:Mvar de aceeași dimensiune Format:Mvar, produsul Hadamard $A\circ B$ (sau $A\odot B$) este o matrice de aceeași dimensiune cu cele care formează operanzii, matrice a cărei elemente sunt date de

$(A\circ B{)}_{ij}=(A\odot B{)}_{ij}=(A{)}_{ij}(B{)}_{ij}.$

Pentru matrici de dimensiuni diferite (Format:Mvar și Format:Mvar, unde Format:Mvar sau Format:Mvar), produsul Hadamard este nedefinit.

Exemplu

De exemplu, produsul Hadamard pentru o matrice Format:Mvar de 3 × 4 cu o matrice Format:Mvar de 3 × 4 este:

$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\end{array}\right]\circ \left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}& b_{14}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}& b_{24}\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}& b_{34}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{12}{b}_{12}& a_{13}{b}_{13}& a_{14}{b}_{14}\\ a_{21}{b}_{21}& a_{22}{b}_{22}& a_{23}{b}_{23}& a_{24}{b}_{24}\\ a_{31}{b}_{31}& a_{32}{b}_{32}& a_{33}{b}_{33}& a_{34}{b}_{34}\end{array}\right].$

Proprietăți

• Produsul Hadamard este comutativ (când se lucrează cu un inel comutativ), asociativ și distributiv peste adunare. Adică dacă Format:Mvar și Format:Mvar sunt matrici de aceeași dimensiune, iar Format:Mvar este un scalar:

$\begin{array}{cc}A\circ B& =B\circ A,\\ A\circ (B\circ C)& =(A\circ B)\circ C,\\ A\circ (B+C)& =A\circ B+A\circ C,\\ \left(kA\right)\circ B& =A\circ \left(kB\right)=k(A\circ B),\\ A\circ 0& =0\circ A=0.\end{array}$

• Matricea unitate pentru înmulțirea Hadamard a două matrice Format:Math este o matrice cu toate elementele 1 Format:Mvar. Aceasta este diferită de matricea unitate pentru produsul matricial obișnuit, unde doar elementele diagonalei principale sunt egale cu 1. În plus, pentru o înmulțire Hadamard o matrice are o matrice inversă dacă și numai dacă niciunul dintre elemente nu este egal cu zero.
• Pentru vectorii Format:Math și Format:Math și matricile diagonale corespunzătoare Format:Math și Format:Math cu acești vectori drept diagonale principale, este valabilă următoarea identitate:Format:Rp

${𝐱}^{*}(A\circ B)𝐲=\mathrm{urma}\left(D_{𝐱}^{*}A{D}_{𝐲}{B}^{𝖳}\right),$

unde cu Format:Math este notată matricea adjunctă a lui Format:Math. În particular, folosind vectori cu toate valorile 1, aceasta arată că suma tuturor elementelor din produsul Hadamard este urma lui Format:Math, unde exponentul Format:Math indică matricea transpusă. Un rezultat înrudit pentru Format:Mvar și Format:Mvar pătrate este că sumele pe linii ale produsului Hadamard sunt elementele diagonale ale lui Format:Math:

$\sum _i(A\circ B{)}_{ij}={\left(B^{𝖳}A\right)}_{jj}={\left(A{B}^{𝖳}\right)}_{ii}.$

Similar,

$\left(𝐲{𝐱}^{*}\right)\circ A=D_{𝐲}A{D}_{𝐱}^{*}.$

Mai mult, un produs Hadamard de matrici-vector poate fi exprimat ca:

$(A\circ B)𝐲=\mathrm{diag}\left(A{D}_{𝐲}{B}^{𝖳}\right)$

unde $\mathrm{diag}(M)$ este vectorul format din diagonalele matricei Format:Mvar.

• Produsul Hadamard este o submatrice principală a produsului Kronecker.
• Produsul Hadamard satisface inegalitatea rangurilor

$\mathrm{rang}(A\circ B)\le \mathrm{rang}(A)\mathrm{rang}(B)$

• Dacă Format:Mvar și Format:Mvar sunt Format:Ill-wd, atunci este valabilă următoarea inegalitate care implică produsul Hadamard: ::$\prod _{i=k}^n{\lambda }_i(A\circ B)\ge \prod _{i=k}^n{\lambda }_i(AB),k=1,\dots ,n,$

unde Format:Math este a Format:Mvar-lea cea mai mare valoare proprie a lui Format:Mvar.

• Dacă Format:Mvar și Format:Mvar sunt matrici diagonale, atunci

$\begin{array}{cc}D(A\circ B)E& =(DAE)\circ B=(DA)\circ (BE)\\ & =(AE)\circ (DB)=A\circ (DBE).\end{array}$

• Produsul Hadamard a doi vectori $𝐚$ și $𝐛$ este același cu înmulțirea matricială a unui vector cu matricea diagonală corespunzătoare a celuilalt vector:

$𝐚\circ 𝐛=D_{𝐚}𝐛=D_{𝐛}𝐚$

• Vectorul matricei diagonale, operatorul $\mathrm{diag}$, poate fi exprimat prin produsul Hadamard ca:

$\mathrm{diag}(𝐚)=(𝐚{\mathrm{𝟏}}^T)\circ I$

unde $\mathrm{𝟏}$ este un vector constant cu toate elementele Format:Math, iar Format:Math este matricea unitate.

Aplicații

Produsul Hadamard apare în algoritmi de Format:Ill-wd, cum ar fi JPEG. Etapa de decodare implică un produs de element cu element, cu alte cuvinte produsul Hadamard.

În Format:Ill-wd, operatorul Hadamard poate fi folosit pentru îmbunătățirea, suprimarea sau mascarea regiunilor imaginii. O matrice conține imaginea inițială, cealaltă acționează ca matrice de ponderare sau de mascare.

Este folosit în literatura de învățare automată, de exemplu, pentru a descrie arhitectura rețelelor neuronale recurente ca Format:Ill-wd sau Format:Ill-wd.

De asemenea, este folosit pentru a studia proprietățile statistice ale vectorilor și matricelor aleatorii.