Transformare Legendre

Diagramă ce prezintă transformarea lui Legendre pentru funcţia $f(x)$. Funcţia e marcată cu roşu, iar tangenta în punctul $(x_0,f(x_0))$ e trasată cu albastru. Tangenta intersectează axa verticală în $(0,-f^{*})$ iar $f^{*}$ este valoarea transformatei Legendre $f^{*}(p_0)$, unde $p_0=\dot{f}(x_0)$ .

Transformarea lui Legendre este o metodă de transformare a variabilelor. Permite trecerea de la o funcție de stare a unui sistem la o altă funcție, adaptată configurației sistemului. Are aplicații în special în termodinamică.

Preliminarii

În calcule, în locul unei funcții $f(x)$ este mai util de utilizat o transformată a acesteia, al cărei argument să fie chiar derivata funcției inițiale p = df/dx.

Prin transformarea indicată de Legendre se obține funcția:

$f^{\star }(p)={\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}_x(px-f(x)).$

Definiții

Pentru a obține maximul lui $px-f(x)$ se pune condiția ca derivata acesteia să fie zero:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(px-f(x))=p-\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}=0.(1)$

Așadar maximul este atins când:

$p=\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}(2)$.

Acesta este un maxim deoarece a doua derivată este negativă:

$\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}(xp-f(x))=-\frac{{\mathrm{d}}^{2}f(x)}{\mathrm{d}{x}^2}<0,$

deoarece s-a presupus că $f$ este convexă.

Mai departe, din (2) se obține $x$ ca o funcție de $p$ și se introduce în (1). Se obține o formă mai utilă:

$f^{\star }(p)=px(p)-f(x(p)).$