Ideal prim

Format:Ill-wd a unei porțiuni din Format:Ill-wd de ideale ale numerelor întregi $\mathbb{Z}.$ Nodurile violet și verzi sunt ideale semiprime, cele violet sunt ideale prime, iar cele violet și albastre sunt ideale primare.

În algebră un ideal prim este o submulțime a unui inel care are mai multe proprietăți importante asemănătoare cu cele ale numerelor prime (întregi) din inel. Idealele prime pentru numerele întregi sunt mulțimile care conțin toți multiplii unui număr prim dat, împreună cu idealul nul.

Idealele primitive sunt prime, iar idealele prime sunt atât primare, cât și semiprime.

Ideale prime pentru inele comutative

Definiție

Un ideal Format:Mvar dintr-un inel comutativ Format:Mvar este prim dacă are următoarele două proprietăți:

• dacă Format:Mvar și Format:Mvar sunt două elemente ale lui Format:Mvar, astfel încât produsul lor Format:Mvar este un element al lui Format:Mvar, atunci Format:Mvar este în Format:Mvar sau Format:Mvar este în Format:Mvar;
• Format:Mvar nu este întregul inel Format:Mvar.

Acest lucru generalizează următoarea proprietate a numerelor prime, cunoscută sub numele de Format:Ill-wd: dacă Format:Mvar este un număr prim și dacă Format:Mvar divide un produs Format:Mvar de două numere întregi, atunci Format:Mvar divide pe Format:Mvar sau pe Format:Mvar. Deci se poate spune că un număr întreg pozitiv Format:Mvar este un număr prim dacă și numai dacă $n\mathbb{Z}$ este un ideal prim în $\mathbb{Z}.$

Exemple

• În inelul $R=\mathbb{Z},$ submulțimea numerelor pare este un ideal prim.

• Fiind dat un domeniu de integritate $R$, orice element prim $p\in R$ generează un ideal prim Format:Ill-wd $(p)$. De exemplu, fie un polinom ireductibil $f(x_1,\dots ,x_n)$ într-un inel de polinoame $𝔽[x_1,\dots ,x_n]$ peste un corp $𝔽$. Criteriul lui Eisenstein pentru domeniile de integritate (prin urmare și inelele factoriale) este un instrument eficient pentru a determina dacă un element dintr-un Format:Ill-wd este Format:Ill-wd.

• Dacă Format:Mvar este inelul polinoamelor în două variabile cu coeficienți complecși $ℂ[X,Y]$, atunci idealul generat de polinomul $Y^2-X^3-X-1$ este un ideal prim (v. curbe eliptice).

• În inelul $\mathbb{Z}[X]$ al polinoamelor cu coeficienți întregi, idealul generat de Format:Math și Format:Mvar este un ideal prim. Este format din toate acele polinoame al căror coeficient constant este par.

• În orice inel Format:Mvar, un ideal maximal este un ideal Format:Mvar care este maximal în mulțimea tuturor idealelor proprii al lui Format:Mvar, adică Format:Mvar este conținut în exact două ideale ale lui Format:Mvar și anume Format:Mvar însuși și întregul inel Format:Mvar. Fiecare ideal maximal este de fapt prim. Într-un domeniu cu ideale principale fiecare ideal prim diferit de zero este maximal, dar acest lucru nu este adevărat în general. Pentru inele factoriale $ℂ[x_1,\dots ,x_n],$ Format:Ill-wd afirmă că orice ideal maximal este de forma $(x_1-{\alpha }_1,\dots ,x_n-{\alpha }_n).$

• Dacă Format:Mvar este o varietate netedă, Format:Mvar este inelul funcțiilor reale netede pe Format:Mvar iar Format:Mvar este un punct din Format:Mvar, atunci mulțimea tuturor funcțiilor netede Format:Mvar cu $f(x)=0$ formează un ideal prim (chiar un ideal maximal) din Format:Mvar.

Exemple de ideale care nu sunt prime

• Fie Format:Ill-wd următoarelor două inele factor

$ℂ[x,y]\to \frac{ℂ[x,y]}{(x^2+y^2-1)}\to \frac{ℂ[x,y]}{(x^2+y^2-1,x)}$

Deși primele două inele sunt domenii de integritate (de fapt primul este un inel factorial), ultimul nu este un domeniu de integritate, deoarece este Format:Ill-wd cu

$\frac{ℂ[x,y]}{(x^2+y^2-1,x)}\cong \frac{ℂ[y]}{(y^2-1)}\cong ℂ\times ℂ$

ceea ce arată că idealul $(x^2+y^2-1,x)\subset ℂ[x,y]$ nu este prim. (v. prima proprietate enumerată mai jos.)

• Alt exemplu de ideal care nu este prim este $(2,x^2+5)\subset \mathbb{Z}[x]$ deoarece

$x^2+5-2\cdot 3=(x-1)(x+1)\in (2,x^2+5)$

dar nici $x-1,$ nici $x+1$ nu sunt elemente ale idealului.

Proprietăți

• Un ideal Format:Mvar în inelul Format:Mvar (cu Format:Ill-wd) este prim dacă și numai dacă inelul factor Format:Mvar este un domeniu de integritate. În special, un inel comutativ (cu unitate) este un domeniu de integritate dacă și numai dacă Format:Math este un ideal prim. (De reținut că inelul nul nu are ideale prime, deoarece idealul (0) este întregul inel.)
• Un ideal Format:Mvar este prim dacă și numai dacă complementara sa este o mulțime închisă multiplicativ.
• Orice inel nenul conține cel puțin un ideal prim (de fapt conține cel puțin un ideal maximal), ceea ce este o consecință directă a teoremei lui Krull.
• În general, dacă Format:Mvar este o mulțime închisă multiplicativ din Format:Mvar, atunci o lemă datorată lui Krull arată că în Format:Mvar există un ideal maximal care este disjunct de Format:Mvar; mai mult, idealul trebuie sa fie prim. Acest lucru poate fi generalizat în continuare la inele necomutative (v. mai jos). În cazul Format:Math avem teorema lui Krull, iar aceasta acoperă idealele maximale ale lui Format:Mvar. Un alt m-sistem tipic este mulțimea, Format:Math formată din toate puterile pozitive ale unui element care nu este nilpotent.
• Inversa imaginii unui ideal prim sub un Format:Ill-wd este un ideal prim. Faptul analog nu este întotdeauna adevărat pentru idealele maximale, care este unul dintre motivele pentru care geometrii algebrici definesc Format:Ill-wd ca fiind mai degrabă mulțimea idealelor sale prime decât a celor maximale; se dorește un homomorfism al inelelor pentru a avea o aplicație între spectrele lor.
• Mulțimea tuturor idealelor prime (numită spectrul inelului) conține elemente minimale (numite ideale prime minimale). Din punct de vedere geometric, acestea corespund unor componente ireductibile ale spectrului.
• Suma a două ideale prime nu este neapărat primă. De exemplu, fie inelul $ℂ[x,y]$ cu idealele prime Format:Math și Format:Mvar (idealele generate de Format:Math și respectiv Format:Mvar). Suma lor Format:Math nu este, totuși, primă: Format:Math dar cei doi factori ai săi nu sunt. Alternativ, inelul factor are divizori ai lui zero, deci nu este un domeniu de integritate, prin urmare, Format:Mvar nu poate fi prim.
• Nu orice ideal care nu poate fi factorizat în două ideale este un ideal prim. De exemplu, $(x,y^2)\subset ℝ[x,y]$ nu poate fi factorizat, dar nu este prim.
• Într-un inel comutativ Format:Mvar cu cel puțin două elemente, dacă fiecare ideal propriu este prim, atunci inelul este un corp. (Dacă idealul Format:Math este prim, atunci inelul Format:Mvar este un domeniu de integritate. Dacă Format:Mvar este un element oarecare nenul din Format:Mvar și idealul Format:Math este prim, atunci îl conține pe Format:Mvar și atunci Format:Mvar este Format:Ill-wd.)
• Un ideal principal nenul este prim dacă și numai dacă este generat de un element prim. Într-un inel factorial, orice ideal prim nenul conține un element prim.

Utilizări

O utilizare a idealelor prime apare în geometria algebrică, unde varietățile sunt definite ca mulțimile de zerouri ale idealelor în inele de polinoame. Rezultă că varietățile ireductibile corespund idealelor prime. În abordarea modernă abstractă, se începe cu un inel comutativ arbitrar și se transformă mulțimea idealelor sale prime, numită și spectru, într-un spațiu topologic și astfel se pot defini generalizări ale varietăților numite Format:Ill-wd, care își găsesc aplicații nu numai în geometrie, ci și în teoria numerelor.

Introducerea idealelor prime în Format:Ill-wd a fost un pas important înainte: s-a realizat că proprietatea importantă a factorizării unice exprimată în teorema fundamentală a aritmeticii nu este valabilă în fiecare inel al numerelor întregi algebrice, dar un substitut a fost găsit când Richard Dedekind a înlocuit elementele cu idealei și elementele prime cu idealele prime; v. Format:Ill-wd.

Ideale prime pentru inele necomutative

Noțiunea de ideal prim poate fi generalizată la inele necomutative folosind o definiție comutativă propusă în 1928 de Wolfgang Krull. Următorul conținut poate fi găsit în lucrări precum cele ale lui Goodearl sau Lam. Dacă Format:Mvar este un inel (posibil necomutativ) iar Format:Mvar este un ideal propriu al Format:Mvar, se poate spune că Format:Mvar este prim dacă pentru oricare două ideale Format:Mvar și Format:Mvar din Format:Mvar, dacă produsul idealelor, Format:Mvar, este conținut în Format:Mvar, atunci cel puțin unul dintre Format:Mvar și Format:Mvar este conținut în Format:Mvar.

Se poate arăta că această definiție este echivalentă cu cea comutativă în inele comutative. Este ușor de verificat că dacă un ideal al unui inel necomutativ Format:Mvar satisface definiția comutativă pentru a fi prim, atunci el satisface și versiunea necomutativă. Un ideal Format:Mvar care satisface definiția comutativă a pentru a fi prim este uneori numit ideal prim complet, pentru a-l distinge de alte ideale doar prime din inel. Idealele prime complete sunt ideale prime, dar reciproca nu este adevărată. De exemplu, idealul nul din inelul matricilor Format:Mvar peste un corp este un ideal prim, dar nu este prim complet.

Acest lucru este asemănător cu punctul de vedere istoric al idealelor ca numere ideale, așa cum pentru inelul $\mathbb{Z}$ „Format:Mvar este conținut în Format:Mvar" este un alt mod de a spune că „Format:Mvar divide Format:Mvar”, iar idealul unității Format:Mvar reprezintă unitatea.

Formulările echivalente ale idealului prim Format:Mvar au următoarele proprietăți:

• Pentru oricare elemente Format:Mvar și Format:Mvar din Format:Mvar, Format:Math implică Format:Mvar sau Format:Mvar.
• Pentru oricare două ideale la dreapta din Format:Mvar, Format:Mvar implică Format:Mvar sau Format:Mvar.
• Pentru oricare două ideale la stânga din Format:Mvar, Format:Mvar implică Format:Mvar sau Format:Mvar.
• Pentru oricare elemente Format:Mvar și Format:Mvar din Format:Mvar, dacă Format:Mvar, atunci Format:Mvar sau Format:Mvar.

Idealele prime din inelele comutative sunt caracterizate prin faptul că au complementare închise multiplicativ în Format:Mvar și, cu o ușoară modificare, o caracterizare similară poate fi formulată pentru idealele prime din inelele necomutative. O submulțime vidă Format:Mvar se numește m-sistem dacă pentru orice Format:Mvar și Format:Mvar din Format:Mvar, există Format:Mvar în Format:Mvar, astfel încât Format:Mvar este în Format:Mvar. (Evident, mulțimile închise multiplicativ sunt m-sisteme.) Următoarea afirmație poate fi atunci adăugată la lista de condiții echivalente de mai sus: complementara Format:Mvar este un m-sistem.

Exemple

• Orice ideal primitiv este prim.
• Ca și în cazul inelelor comutative, idealele maximale sunt prime și, de asemenea, idealele prime conțin ideale prime minimale.
• Un inel este un inel prim dacă și numai dacă idealul nul este un ideal prim și, în plus, un inel este un domeniu de integritate dacă și numai dacă idealul nul este un ideal prim complet.
• Un alt fapt din teoria comutativă care se regăsește în teoria necomutativă este că dacă Format:Mvar este un Format:Mvar-Format:Ill-wd nenul, iar Format:Mvar este un element maximal în Format:Ill-wd a idealelor anulatoare ale submodulelor lui Format:Mvar, atunci Format:Mvar este prim.

Aspecte importante

• Lema de evitare a idealelor prime. Dacă Format:Mvar este un inel comutativ și Format:Mvar este un subinel (posibil fără unitate) iar Format:Math este o colecție de ideale ale lui Format:Mvar cu cel mult doi membri neprimi, atunci dacă Format:Mvar nu este conținut în niciun Format:Math, nu este conținut nici în reuniunea a Format:Math.< ref>Jacobson, 1989, p. 390</ref> În particular, Format:Mvar ar putea fi un ideal al lui Format:Mvar.
• Dacă Format:Mvar este un m-sistem din Format:Mvar, atunci o lemă datorată lui Krull arată că există un ideal maximal Format:Mvar din Format:Mvar disjunct de Format:Mvar și, în plus, idealul Format:Mvar trebuie să fie prim. În cazul Format:Math avem Teorema lui Krull, iar aceasta acoperă idealele maximale ale lui Format:Mvar. Un alt m-sistem tipic este mulțimea Format:Math formată din toate puterile pozitive ale unui element care nu este nilpotent.
• Pentru un ideal prim Format:Mvar, complementara Format:Mvar are o altă proprietate în plus față de a fi un m-sistem. Dacă Format:Mvar este în Format:Mvar, atunci atât Format:Mvar, cât și Format:Mvar trebuie să fie în Format:Mvar, întrucât Format:Mvar este un ideal. O mulțime care conține divizorii elementelor sale se numește saturată.
• Pentru un inel comutativ Format:Mvar, există un fel de reciprocă pentru afirmația anterioară: dacă Format:Mvar este orice submulțime nevidă saturată și închisă multiplicativ a lui Format:Mvar, complementara Format:Mvar este o reuniune a idealelor prime ale lui Format:Mvar.
• Intersecția membrilor unui lanț descendent de ideale prime este un ideal prim, iar într-un inel comutativ reuniunea membrilor unui lanț ascendent de ideale prime este un ideal prim. Cu Lema lui Zorn, aceste observații implică faptul că poziția idealelor prime ale unui inel comutativ (ordonat parțial prin includere) are elemente maximale și minimale.

Conexiunea cu maximalitatea

Idealele prime pot fi adesea produse ca elemente maximale ale anumitor colecții de ideale. De exemplu:

• Un ideal maximal în ceea ce privește intersecția vidă cu un m-sistem fix este prim.
• Un ideal maximal dintre anulatorii din submodulele unui Format:Mvar-modul fix Format:Mvar este prim.
• Într-un inel comutativ, un ideal maximal care nu este principal este prim.
• Într-un inel comutativ, un ideal maximal care nu este generat numărabil este prim.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Springer