Curbe eliptice

În matematică, o curbă eliptică este o curbă algebrică Format:Ill-wd, Format:Ill-wd, de gen unu, pe care se află un punct Format:Math specificat. O curbă eliptică este definită peste un corp Format:Math și descrie punctele din Format:Math, produsul cartezian al lui Format:Math cu el însuși. Dacă corpul are caracteristica diferită de 2 și 3, atunci curba poate fi descrisă ca o Format:Ill-wd care, după o schimbare liniară de variabile, constă din soluțiile (x, y) ale ecuației:

y^{2} = x^{3} + a x + b

cu coeficienți Format:Math și Format:Math din Format:Math. Curba trebuie să fie nesingulară, adică să nu aibă puncte de întoarcere sau auto-intersecții. (echivalent cu condiția $4 a^{3} + 27 b^{2} \neq 0$ ) Se înțelege întotdeauna că curba se află în Format:Ill-wd, punctul Format:Math fiind unicul punct de la infinit. Multe lucrări surse definesc curba eliptică drept pur și simplu o curbă dată de o ecuație de această formă. (Când Format:Ill-wd are caracteristica 2 sau 3, ecuația de mai sus nu este suficient de generală pentru a include toate Format:Ill-wd nesingulare)

O curbă eliptică este o Format:Ill-wd Format:Mdash adică are o operație de grup definită algebric, în raport cu care este un grup abelian Format:Mdash și Format:Math servește drept element neutru.

Dacă Format:Math, unde Format:Math este orice polinom de grad trei în Format:Math cu rădăcini distincte, mulțimea soluțiilor este o curbă plană nesingulară de genul unu, o curbă eliptică. Dacă Format:Math are gradul patru și este fără pătrate, această ecuație descrie din nou o curbă plană de genul unu. Totuși, nu are o alegere naturală a elementului neutru. Mai general, orice curbă algebrică de gen unu, de exemplu intersecția a două Format:Ill-wd încorporate în spațiul proiectiv tridimensional, se numește curbă eliptică, cu condiția să fie echipată cu un punct marcat care să funcționeze drept element neutru.

Folosind teoria funcțiilor eliptice, se poate arăta că curbele eliptice definite peste numerele complexe corespund încastrărilor torului în planul proiectiv complex. Torul este și el un grup abelian, iar această corespondență este și Format:Ill-wd.

Curbele eliptice sunt deosebit de importante în teoria numerelor și constituie actualmente un domeniu major de cercetare; de exemplu, au fost folosite în Format:Ill-wd. Ele își găsesc aplicații și în Format:Ill-wd (ECC) și la factorizarea numerelor întregi.

O curbă eliptică nu este o elipsă: vezi integrala eliptică pentru originea termenului. Topologic, o curbă eliptică complexă este un tor, în timp ce o elipsă complexă este o sferă.

Curbele eliptice peste numerele reale

Graficele curbelor Format:Math și Format:Math

Deși definiția formală a unei curbe eliptice necesită un anumit fundament în geometria algebrică, unele caracteristici ale curbelor eliptice se pot descrie peste numerele reale folosind doar algebră și geometrie la nivel introductiv.

În acest context, o curbă eliptică este o curbă plană definită de o ecuație de forma

y^{2} = x^{3} + a x + b

după o schimbare liniară de variabile (Format:Math și Format:Math sunt numere reale). Acest tip de ecuație se numește Format:Ill-wd.

Definiția curbelor eliptice necesită și ca această curba să fie nesingulară. Geometric, aceasta înseamnă că graficul nu are puncte de întoarcere, intersecții cu ea însăși sau puncte izolate. Algebric, acest lucru este valabil dacă și numai dacă Format:Ill-wd

Δ = - 16 (4 a^{3} + 27 b^{2})

este diferit de zero. (Deși factorul −16 este irelevant pentru a determina dacă curba este sau nu nesingulară, această definiție a discriminantului este utilă într-un studiu mai avansat al curbelor eliptice.)

Graficul (real) al unei curbe nesingulare are două componente dacă discriminantul său este pozitiv și o singură componentă dacă este negativ. De exemplu, în graficele prezentate în figura din dreapta, discriminantul în primul caz este 64, iar în al doilea caz este −368.

Legea de grup

Când lucrăm în Format:Ill-wd, putem defini o structură de grup pe orice curbă cubică nesingulară. În forma normală Weierstrass, o astfel de curbă va avea un punct suplimentar la infinit, Format:Math, la coordonatele omogene [0:1:0], care servește drept element neutru al grupului.

Deoarece curba este simetrică față de axa Format:Math, dat fiind orice punct Format:Math, se poate lua Format:Math drept punct opus. Format:Math va fi chiar Format:Math.

Dacă Format:Math și Format:Math sunt două puncte pe curbă, atunci putem descrie în mod unic un al treilea punct, Format:Math, în felul următor: mai întâi, se trasează linia care intersectează Format:Math și Format:Math. Ea va intersecta cubica într-un al treilea punct, Format:Math. Se ia apoi Format:Math drept Format:Math, punctul opus lui Format:Math.

Această definiție pentru adunare funcționează cu excepția câtorva cazuri speciale legate de punctul la infinit și de multiplicitatea intersecției. Primul este când unul dintre puncte este Format:Math. Aici, definim Format:Math, făcând din Format:Math elementul neutru al grupului. Apoi, dacă Format:Math și Format:Math sunt opuse unul față de celălalt, definim Format:Math. În cele din urmă, dacă Format:Math, atunci avem doar un punct, deci nu putem defini dreapta dintre ele. În acest caz, se folosește tangenta la curbă în acest punct drept dreapta noastră. În majoritatea cazurilor, tangenta va intersecta un al doilea punct Format:Math și i se va putea lua opusul. gen, dacă Format:Math se întâmplă să fie un punct de inflexiune (un punct în care se modifică concavitatea curbei), luăm Format:Math drept Format:Math însuși și Format:Math este pur și simplu punctul opus.

Pentru o curbă cubică care nu este în forma normală Weierstrass, se poate totuși defini o structură de grup prin desemnarea unuia dintre cele nouă puncte de inflexiune drept elementul neutru Format:Math. În planul proiectiv, fiecare linie va intersecta un cub în trei puncte atunci când se ține cont de multiplicitate. Pentru un punct Format:Math, Format:Math este definit ca al treilea punct unic pe dreapta care trece prin Format:Math și Format:Math. Apoi, pentru orice Format:Math și Format:Math, Format:Math este definit ca Format:Math unde Format:Math este al treilea punct unic pe linia care conține Format:Math și Format:Math.

Fie Format:Math un corp peste care este definită curba (adică, coeficienții ecuației sau ecuațiilor de definiție a curbei sunt în Format:Math) și notăm curba cu Format:Math. Atunci Format:Ill-wd ale lui Format:Math sunt punctele de pe Format:Math ale căror coordonate se află în Format:Math, inclusiv punctul de la infinit. Mulțimea punctelor raționale Format:Math se notează cu Format:Math. Și ea formează un grup, deoarece proprietățile ecuațiilor polinomiale arată că dacă Format:Math este în Format:Math, atunci Format:Math este și el în Format:Math și dacă două dintre Format:Math, Format:Math și Format:Math sunt în Format:Math, atunci și al treilea este. În plus, dacă Format:Math este un subcorp al lui Format:Math, atunci Format:Math este un subgrup al lui Format:Math.

Grupul de mai sus poate fi descris atât algebric cât și geometric. Dată fiind curba Format:Math peste corpul Format:Math (a cărui caracteristică presupunem că nu este nici 2, nici 3) și punctele Format:Math și Format:Math pe curbă, presupunem mai întâi că Format:Math (primul panou de mai jos). Fie Format:Math dreapta care intersectează P și Q, care are următoarea pantă:

s = \frac{y_{P} - y_{Q}}{x_{P} - x_{Q}}

Deoarece Format:Math este un corp, Format:Math este bine definită. Ecuația dreptei și ecuația curbei au un Format:Math identic în punctele Format:Math_, Format:Math _și Format:Math_.

(s x + d)^{2} = x^{3} + a x + b

ceea ce e echivalent cu $0 = x^{3} - s^{2} x^{2} - 2 s d x + a x + b - d^{2}$ . Știm că această ecuație își are rădăcinile în exact aceleași valori Format:Math ca și

(x - x_{P}) (x - x_{Q}) (x - x_{R}) = x^{3} + x^{2} (- x_{P} - x_{Q} - x_{R}) + x (x_{P} x_{Q} + x_{P} x_{R} + x_{Q} x_{R}) - x_{P} x_{Q} x_{R}

Format:Ill-wd pentru Format:Math și rezolvăm pentru Format:Math. Format:Math rezultă din ecuația dreptei. Aceasta definește Format:Math cu

\begin{matrix} x_{R} & = s^{2} - x_{P} - x_{Q} \\ y_{R} & = y_{P} + s (x_{R} - x_{P}) \end{matrix}

Dacă Format:Math, atunci există două opțiuni: dacă Format:Math (al treilea și al patrulea panou de mai jos), inclusiv cazul în care Format:Math (al patrulea panou), atunci suma este definită ca 0; astfel, inversul fiecărui punct de pe curbă se găsește reflectându-l față de axa Format:Math. Dacă Format:Math, atunci Format:Math și Format:Math (al doilea panou de mai jos cu Format:Math indicat pentru Format:Math) este dat de

\begin{matrix} s & = \frac{3 {x_{P}}^{2} + a}{2 y_{P}} \\ x_{R} & = s^{2} - 2 x_{P} \\ y_{R} & = y_{P} + s (x_{R} - x_{P}) \end{matrix}

Curbele eliptice peste numerele complexe

Formularea curbelor eliptice ca încorporarea unui tor în planul proiectiv complex rezultă în mod natural dintr-o curioasă proprietate a Format:Ill-wd. Aceste funcții și prima lor derivată sunt legate prin formula

℘^{'} (z)^{2} = 4 ℘ (z)^{3} - g_{2} ℘ (z) - g_{3}

Aici, Format:Math și Format:Math sunt constante; $℘ (z)$ este funcția eliptică Weierstrass și $℘^{'} (z)$ derivata sa. Devine evident că această relație este sub forma unei curbe eliptice (peste numerele complexe). Funcțiile Weierstrass sunt dublu periodice; adică sunt periodice față de o Format:Ill-wd Λ; în esență, funcțiile Weierstrass sunt definite în mod natural pe un tor T = C/Λ. Acest tor poate fi încorporat în planul proiectiv complex prin intermediul aplicației

z \mapsto [1 : ℘ (z) : ℘^{'} (z) / 2]

Această aplicație este un Format:Ill-wd al torului (considerat cu structura sa naturală de grup) cu legea grupului de corzi și tangente pe curba cubică care este imaginea acestei aplicații. Este, de asemenea, un izomorfism de Format:Ill-wd definit pe tor cu valori pe curba cubică, deci, topologic, o curbă eliptică este un tor. Dacă rețeaua Λ este legată prin multiplicare cu un număr complex nenul Format:Math de o rețea Format:MathΛ, atunci curbele corespunzătoare sunt izomorfe. Clasele de izomorfism ale curbelor eliptice sunt specificate de Format:Ill-wd.

Clasele de izomorfism pot fi înțelese și într-un mod mai simplu. Constantele Format:Math și Format:Math, numite invarianți modulari, sunt determinate în mod unic de rețea, adică de structura torului. Cu toate acestea, toate polinoamele reale se factorizează complet în factori liniari peste numerele complexe, deoarece corpul numerelor complexe este închiderea algebrică a numerelor reale. Deci, curba eliptică poate fi scrisă ca

y^{2} = x (x - 1) (x - λ)

Se găsește că

g_{2} = \frac{\sqrt[3]{4}}{3} (λ^{2} - λ + 1)

și

g_{3} = \frac{1}{27} (λ + 1) (2 λ^{2} - 5 λ + 2)

astfel încât discriminantul modular este

Δ = g_{2}^{3} - 27 g_{3}^{2} = λ^{2} (λ - 1)^{2}

Aici, λ este uneori numită Format:Ill-wd .

Se observă că Format:Ill-wd implică faptul că orice suprafață compactă Riemann de genul unu poate fi reprezentată ca un tor.

Acest lucru permite, de asemenea, o înțelegere ușoară a Format:Ill-wd pe o curbă eliptică: dacă rețeaua Λ este cuprinsă de perioadele fundamentale ω₁ și ω₂, atunci punctele de n-torsiune sunt (clase de echivalență ale) punctelor de forma

\frac{a}{n} ω_{1} + \frac{b}{n} ω_{2}

pentru Format:Math și Format:Math numere întregi cuprinse între Format:Math și Format:Math.

Dacă $E : y^{2} = 4 (x - e_{1}) (x - e_{2}) (x - e_{3})$ este o curbă eliptică peste numerele complexe și $a_{0} = \sqrt{e_{1} - e_{3}}$ , $b_{0} = \sqrt{e_{1} - e_{2}}$ și $c_{0} = \sqrt{e_{2} - e_{3}}$ , apoi o pereche de perioade fundamentale ale lui $E$ poate fi calculată foarte rapid prin $ω_{1} = π / M (a_{0}, b_{0})$ și $ω_{2} = π / M (c_{0}, i b_{0})$ Unde $M (w, z)$ este Format:Ill-wd a lui $w$ și $z$ . La fiecare pas al iterației medii aritmetic-geometrice, semnele lui $z_{n}$ care rezultă din ambiguitatea iterațiilor geometrice medii sunt alese astfel încât $| w_{n} - z_{n} | \leq | w_{n} + z_{n} |$ Unde cu $w_{n}$ și $z_{n}$ se notează iterațiile individuale ale mediei aritmetice și geometrice ale lui $w$ și, respectiv, $z$ . Când $| w_{n} - z_{n} | = | w_{n} + z_{n} |$ , există o condiție suplimentară ca $ℑ (z_{n} / w_{n}) > 0$ .^[1]

Peste numerele complexe, fiecare curbă eliptică are nouă puncte de inflexiune. Fiecare dreaptă ce unește două dintre aceste puncte trece, de asemenea, printr-un al treilea punct de inflexiune; cele nouă puncte și cele 12 drepte formate în acest mod formează o realizare a Format:Ill-wd.

Curbele eliptice peste numerele raționale

O curbă Format:Math definită pe corpul numerelor raționale este definită la fel și peste cel al numerelor reale. Ca urmare, legea de compunere a punctelor cu coordonate reale prin intermediul metodei cu tangentă și secantă se poate aplica și la Format:Math. Formulele explicite arată că compunerea a două puncte Format:Math și Format:Math cu coordonate raționale are tot coordonate raționale, deoarece dreapta care leagă Format:Math de Format:Math are coeficienți raționali. Astfel, se arată că mulțimea punctelor raționale ale lui Format:Math formează un subgrup al grupului punctelor reale ale lui Format:Math. Acest grup este grup abelian, adică Format:Math.

Structura punctelor raționale

Cel mai important rezultat este că toate punctele pot fi construite prin metoda tangentei și secantei începând de la un număr finit de puncte. Mai exact^[2] Format:Ill-wd afirmă că grupul Format:Math este grup abelian finit generat. Conform Format:Ill-wd, este o sumă directă de cópii ale lui Format:Math și a grupurilor ciclice finite.

Demonstrația acelei teoreme^[3] se bazează pe două ingrediente: în primul rând, se arată că pentru orice întreg Format:Math, grupul factor Format:Math este finit (teorema Mordell–Weil slabă). În al doilea rând, introduând o Format:Ill-wd h pe punctele raționale Format:Math definită prin expresia Format:Math și Format:Math dacă P (diferit de punctul de la infinit P₀) are ca abscisă numărul rațional Format:Math (cu Format:Math și Format:Math prime între ele). Această funcție h are proprietatea că Format:Math crește aproximativ ca pătratul lui Format:Math. Mai mult, există pe Format:Math doar un număr finit de puncte raționale cu înălțime mai mică decât orice constantă dată.

Demonstrația teoremei este, deci, o variantă a metodei Format:Ill-wd^[4] și se bazează pe aplicarea repetată a împărțirilor euclidiene pe Format:Math: fie Format:Math un punct rațional pe curbă; scriind Format:Math ca suma Format:Math unde Format:Math este un reprezentant fixat al lui Format:Math din Format:Math, înălțimea lui Format:Math este circa Format:Sfrac din cea a lui Format:Math (mai general, înlocuind 2 cu orice Format:Math, și Format:Sfrac cu Format:Sfrac). Repetând cu Format:Math, rezultă Format:Math, apoi Format:Math etc. , în cele din urmă P este o combinație liniară integrală de puncte Format:Math și de puncte ale căror înălțimi sunt mărginite de o constantă fixă aleasă în prealabil: conform teoremei Mordell–Weil slabe și celei de a doua proprietăți a funcției înălțime, Format:Math este deci exprimat ca o combinație liniară integrală de un număr finit de puncte fixe.

Până acum, teorema nu este efectivă deoarece nu există o procedură generală cunoscută pentru a determina reprezentanții lui Format:Math.

Format:Ill-wd lui Format:Math, adică numărul de cópii ale lui ℤ în Format:Math sau, echivalent, numărul de puncte independente de ordin infinit, se numește rangul lui Format:Math. Format:Ill-wd privește determinarea rangului. Se presupune că el poate fi arbitrar de mare, chiar dacă se cunosc numai exemple cu ranguri relativ mici. Curba eliptică cu cel mai mare rang cunoscut exact este

Format:Math

Ea are rangul 20, găsit de Format:Ill-wd și Zev Klagsbrun în 2020. Curbe de rang mai mare de 20 se știau din 1994, cu limite mai reduse ale rangurilor lor de la cel puțin 21 la cel puțin 28, dar rangurile lor exacte nu sunt actualmente cunoscute și nu s-a demonstrat care dintre ele are rang mai mare ca celelalte sau care este „campioana en-titre”.^[5]

În ce privește grupurile care alcătuiesc Format:Ill-wd al lui Format:Math, se știe că:^[6] grupul de torsiune al lui Format:Math este unul dintre următoarele 15 grupuri (Format:Ill-wd dată de Format:Ill-wd): Z/NZ pentru N = 1, 2, ..., 10, sau 12, sau Z/2Z × Z/2NZ cu N = 1, 2, 3, 4. Se cunosc exemple pentru fiecare caz. Mai mult, curbele eliptice ale căror grupuri Mordell–Weil peste ℚ au aceleași grupuri de torsiune aparțin unei familii parametrizate.^[7]

Conjectura Birch și Swinnerton-Dyer

Conjectura Birch și Swinnerton-Dyer (BSD) este una dintre problemele Mileniului enunțate de Clay Mathematics Institute. Conjectura se bazează pe obiecte analitice și aritmetice definite de curba eliptică în chestiune.

Pe partea analitică, un ingredient important este o funcție de variabilă complexă, Format:Math, funcția zeta Hasse–Weil de Format:Math peste Format:Math. Această funcție este o variantă a funcției zeta Riemann și a L-funcțiilor Dirichlet. Este definită ca produs Euler, cu un factor pentru fiecare număr prim Format:Math.

Pentru o curbă Format:Math peste Format:Math dată de o ecuație minimală

y^{2} + a_{1} x y + a_{3} y = x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{4} x + a_{6}

cu coeficienții întregi $a_{i}$ , reducerea coeficienților modulo Format:Math definește o curbă eliptică peste corpul finit Format:Math (cu excepția unui număr finit de numere prime Format:Math, unde curba redusă are o singularitate și deci nu mai este eliptică, caz în care se spune că Format:Math este de reducere rea la Format:Math).

Funcția zeta a unei curbe eliptice peste un corp finit Format:Math este, într-un anume sens, o funcție generatoare care asamblează informația despre numărul de puncte ale lui Format:Math cu valori în extinderea finită de corp Format:Math a lui Format:Math. Ea este dată de^{[lower-alpha 1]}

Z (E (𝐅_{p})) = \exp (\sum # [E (𝐅_{p^{n}})] \frac{T^{n}}{n})

Suma interioară a exponențialei se aseamănă cu dezvoltarea logaritmului și, de fapt, așa-numita funcție zeta este o funcție rațională:

Z (E (𝐅_{p})) = \frac{1 - a_{p} T + p T^{2}}{(1 - T) (1 - p T)},

unde termenul „urma lui Frobenius”^[8] $a_{p}$ este definită ca minus diferența dintre numărul de puncte de pe curba eliptică $E$ peste $𝔽_{p}$ și numărul „așteptat” $p + 1$ , viz.:

a_{p} = p + 1 - # E (𝔽_{p}) .

Există două aspecte remarcabile la această cantitate. În primul rând, aceste $a_{p}$ nu trebuie confundate cu $a_{i}$ din definiția curbei $E$ de mais us: este doar o notație nefericită care poate produce confuzii. În al doilea rând, se pot defini aceleași cantități și funcții peste un corp finit arbitrar de caracteristică $p$ , cu $q = p^{n}$ înlocuind $p$ .

Funcția zeta Hasse–Weil a lui Format:Math peste Format:Math se definește apoi adunând aceste informații, pentru toate numerele prime Format:Math. Ea este definită prin expresia

L (E (𝐐), s) = \prod_{p} {(1 - a_{p} p^{- s} + ε (p) p^{1 - 2 s})}^{- 1}

unde Format:Math dacă Format:Math are o reducere bună la Format:Math și 0 altfel (caz în care Format:Math se definește altfel decât metoda de mai sus: vezi Silverman (1986)).

Produsul converge doar pentru Format:Math. Conjectura lui Hasse afirmă că L-funcția admite o continuare analitică la întreg planul complex și satisface o ecuație funcțională care leagă, pentru orice Format:Math, Format:Math de Format:Math. În 1999, s-a arătat că aceasta este o consecință a demonstrației conjecturii Shimura–Taniyama–Weil, care afirmă că orice curbă eliptică peste ℚ este o curbă modulară, ceea ce implică faptul că L-funcția este L-funcția unei forme modulare a căror continuare analitică este cunoscută. Se poate vorbi astfel despre valorile lui Format:Math în orice număr complex Format:Math.

Conjectura Birch–Swinnerton-Dyer face legătura între aritmetica curbei și comportamentul L-funcției ei în Format:Math. Ea afirmă că ordinul de dispariție al L-funcției în Format:Math este egală cu rangul lui Format:Math și prezice primul termen al seriei Laurent a lui Format:Math în acel punct în funcție de câteva cantități legate de curba eliptică.

Ca și ipoteza Riemann, valoarea de adevăr a conjecturii BSD ar avea mai multe consecințe, inclusiv următoarele două:

Un număr congruent este definit ca un întreg liber de pătrate impar Format:Math care este aria unui triunghi dreptunghic cu laturile raționale. Se știe că Format:Math este număr congruent dacă și numai dacă curba eliptică $y^{2} = x^{3} - n^{2} x$ are un punct rațional de ordin infinit; presupunând BSD, aceasta este echivalentă cu faptul că L-funcția sa are un zero în Format:Math. Tunnell a arătat un alt rezultat corelat: presupunând BSD, Format:Math este un număr congruent dacă și numai dacă numărul de triplete de numere întregi Format:Math care satisfac condiția $2 x^{2} + y^{2} + 8 z^{2} = n$ să fie dublul numărului tripletelor care satisfac condiția $2 x^{2} + y^{2} + 32 z^{2} = n$ . Interesul față de această afirmație rezidă în faptul că condiția este ușor de verificat.^[9]
Într-o altă direcție, anumite metode analitice permit o estimare a ordiniului lui zero în centrul fâșiei critice pentru anumite L-funcții. Presupunând BSD, aceste estimări corespund unor informații despre rangul familiilor curbelor eliptice corespunzătoare. De exemplu: presupunând ipoteza Riemann generalizată și BSD, rangul mediu al curbelor date de $y^{2} = x^{3} + a x + b$ este mai mic ca 2.^[10]

Curbele eliptice peste un corp general

Curbele eliptice pot fi definite peste orice corp Format:Math; definiția formală a unei curbe eliptice este o curbă algebrică proiectivă nesingulară peste Format:Math de gen 1 și dotată cu un punct distinct definit peste Format:Math.

Dacă caracteristica lui Format:Math nu este nici 2, nici 3, atunci orice curbă eliptică peste Format:Math poate fi scrisă sub forma

y^{2} = x^{3} - p x - q

după o schimbare liniară de variabilă. Aici p și q sunt elemente ale lui Format:Math astfel încât polinomul din dreapta Format:Math să nu aibă rădăcini duble. Dacă caracteristica este 2 sau 3, atunci trebuie păstrați mai mulți termeni: în caracteristica 3, ecuația cea mai generală este de forma

y^{2} = 4 x^{3} + b_{2} x^{2} + 2 b_{4} x + b_{6}

pentru Format:Math, Format:Math și Format:Math constante arbitrare astfel încât polinomul din partea dreaptă are rădăcini distincte (notația este aleasă din motive istorice). În caracteristica 2, nici măcar acest lucru nu este posibil, iar cea mai generală ecuație este

y^{2} + a_{1} x y + a_{3} y = x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{4} x + a_{6}

cu condiția ca varietatea pe care o definește să fie nesingulară. Dacă caracteristica nu ar fi o obstrucție, fiecare ecuație s-ar reduce la cele anterioare printr-o schimbare liniară adecvată de variabile.

De obicei, curba este mulțimea tuturor punctelor Format:Math care satisfac ecuația de mai sus și astfel încât atât Format:Math cât și Format:Math sunt elemente ale închiderii algebrice a lui Format:Math. Punctele curbei ale căror coordonate aparțin ambele lui Format:Math se numesc puncte Format:Math-raționale.

Teorema de modularitate și aplicațiile ei la Ultima Teoremă a lui Fermat

Teorema de modularitate, denumită mai demult conjectura Taniyama–Shimura–Weil, afirmă că orice curbă eliptică Format:Math peste ℚ este o curbă modulară, adică funcția ei zeta Hasse–Weil este L-funcție de o formă modulară de pondere 2 și nivel Format:Math, unde Format:Math este conductor al lui Format:Math (un întreg divizibil cu aceleași numere prime ca discriminantul lui Format:Math, Format:Math). Cu alte cuvinte, dacă se scrie L-funcția pentru Format:Math sub forma

L (E (𝐐), s) = \sum_{n > 0} a (n) n^{- s},

atunci expresia

\sum a (n) q^{n}, q = e^{2 π i z}

definește o formă nouă parabolică modulară de pondere 2 și nivel Format:Math. Pentru numerele prime Format:Math care nu sunt divizibile cu Format:Math, coeficientul Format:Math este egal cu Format:Math minus numărul de soluții al ecuației minimale a curbei modulo Format:Math.

De exemplu,^[11] curba eliptică $y^{2} - y = x^{3} - x$ , cu discriminant (și conductor) 37, este asociată formei

f (z) = q - 2 q^{2} - 3 q^{3} + 2 q^{4} - 2 q^{5} + 6 q^{6} + \dots, q = e^{2 π i z}

Pentru numere prime ℓ diferite de 37, se poate verifica proprietatea despre coeficienți. Astfel, pentru Format:Math, există 6 soluții la ecuația modulo 3: Format:Nowrap, Format:Nowrap, Format:Nowrap, Format:Nowrap, Format:Nowrap, Format:Nowrap; așa că Format:Math.

Conjectura, care datează din anii 1950, a fost complet demonstrată până în 1999 folosind idei ale lui Andrew Wiles, care a demonstrat-o în 1994 pentru o mare familie de curbe eliptice.^[12]

Există mai multe formulări ale conjecturii. Demonstrarea faptului că sunt echivalente a fost o mare provocare a teoriei numerelor în a doua jumătate a secolului al XX-lea. Modularitatea curbei eliptice Format:Math de conductor Format:Math poate fi exprimată și prin a afirma că nu există o aplicație rațională neconstantă definită peste ℚ, de la curba modulară Format:Math la Format:Math. În particular, punctele lui Format:Math pot fi parametrizate de funcții modulare.

De exemplu, o parametrizare modulară a curbei $y^{2} - y = x^{3} - x$ este dată de^[13]

\begin{matrix} x (z) & = q^{- 2} + 2 q^{- 1} + 5 + 9 q + 18 q^{2} + 29 q^{3} + 51 q^{4} + \dots \\ y (z) & = q^{- 3} + 3 q^{- 2} + 9 q^{- 1} + 21 + 46 q + 92 q^{2} + 180 q^{3} + \dots \end{matrix}

unde, ca mai sus, Format:Math. Funcțiile Format:Math și Format:Math sunt modulare de pondere 0 și nivel 37; cu alte cuvinte, ele sunt meromorfe, definite pe semiplanul superior Format:Math și satisfac

x (\frac{a z + b}{c z + d}) = x (z)

și asemenea pentru Format:Math, pentru toți întregii Format:Math cu Format:Math și Format:Math|Format:Math.

O altă formulare depinde de comparația reprezentărilor Galois atașate pe de o parte curbelor eliptice, și pe de altă parte formelor modulare. Această din urmă formulare a fost utilizată în demonstrația conjecturii. Tratarea nivelului formelor (și a legăturii lor cu conductorul curbei) este deosebit de delicată.

Cea mai spectaculoasă aplicație a conjecturii este demonstrația marii teoreme a lui Fermat (UTF). Se presupune că pentru un număr prim Format:Math, ecuația Fermat

a^{p} + b^{p} = c^{p}

are o soluție cu întregi nenuli, deci un contraexemplu pentru UTF. Atunci, după cum Yves Hellegouarch a fost primul care a remarcat,^[14] curba eliptică

y^{2} = x (x - a^{p}) (x + b^{p})

de discriminant

Δ = \frac{1}{256} (a b c)^{2 p}

nu poate fi modulară.^[15] Astfel, demonstrația conjecturii Taniyama–Shimura–Weil pentru această familie de curbe eliptice (denumite curbele Hellegouarch–Frey) implies UTF. Demonstrația între legătura acestor două propoziții, bazată pe o idee a lui Gerhard Frey (1985), este dificilă și tehnică. Ea a fost realizată de Kenneth Ribet în 1987.^[16]

Puncte întregi

Această secțiune se ocupă de punctele Format:Math de pe Format:Math astfel încât Format:Math este întreg.^[17] Următoarea teoremă i se datorează lui C. L. Siegel: mulțimea punctelor Format:Math din Format:Math astfel încât Format:Math să fie întreg este finită. Această teoremă poate fi generalizată la punctele a căror abscisă are un numitor divizibil doar cu o mulțime finită fixată de numere prime.

Teorema se poate formula efectiv. De exemplu,^[18] dacă ecuația Weierstrass a lui Format:Math are coeficienți întregi mărginiți de o constantă Format:Math, coordonatele Format:Math ale unui punct al lui Format:Math cu Format:Math și Format:Math întregi satisfac condiția:

\max (| x |, | y |) < \exp ({[1 0^{6} H]}^{10^{6}})

De exemplu, ecuația Format:Math are opt soluții întregi cu Format:Math :^[19]

Format:Math.

Ca alt exemplu, ecuația lui Ljunggren, o curbă a cărei formă Weierstrass este Format:Math, are doar patru soluții cu Format:Math :^[20]

Format:Math.

Generalizarea la corpuri de numere

Multe din rezultatele anterioare rămân valide când corpul de definiție a lui Format:Math este un corp de numere Format:Math, adică o extindere de corp finită a lui ℚ. În particular, grupul Format:Math de puncte K-raționale de pe o curbă eliptică E definită peste Format:Math este finit generat, ceea ce generalizează teorema Mordell–Weil de mai sus. O teoremă a lui Loïc Merel arată că pentru un întreg dat Format:Math, există (până la izomorfism) doar un număr finit de grupuri care pot apărea ca grupuri de torsiune ale lui Format:Math pentru o curbă eliptică definită peste corpul de numere Format:Math de grad Format:Math. Mai exact,^[21] există un număr Format:Math astfel încât pentru orice curbă eliptică Format:Math definită peste un corp de numere Format:Math de grad Format:Math, orice punct de torsiune al lui Format:Math este de ordin mai mic ca Format:Math. Teorema este efectivă: pentru Format:Math, dacă un punct de torsiune este de ordin Format:Math, cu Format:Math prim, atunci

p < d^{3 d^{2}}

În ce privește punctele întregi, teorema lui Siegel se generalizează la următoarea propoziție: Fie Format:Math o curbă eliptică definită peste un corp de numere Format:Math, Format:Math și Format:Math coordonatele Weierstrass. Atunci există un număr finit de puncte ale lui Format:Math ale căror abscise se află în inelul de întregi Format:Math.

Proprietățile funcției zeta Hasse–Weil și conjectura Birch și Swinnerton-Dyer pot fi și ele extinse la această situație mai generală.

Izogenie

Fie Format:Math și Format:Math curbe eliptice peste un corp Format:Math. O izogenie între Format:Math și Format:Math este un Format:Ill-wd Format:Math de Format:Ill-wd care conservă punctele de bază (cu alte cuvinte, mapează punctul dat de pe Format:Math la cel de pe Format:Math).

Cele două curbe sunt numite izogene dacă există o izogenie între ele. Aceasta este o relație de echivalență, simetria fiind datorată existenței Format:Ill-wd. Orice izogenie este un omomorfism algebric și astfel induce omomorfisme ale grupurilor curbelor eliptice pentru K-valuate.

Curbe eliptice peste corpuri finite

Fie Format:Math corpul finit cu Format:Math elemente și Format:Math o curbă eliptică definită peste Format:Math. Format:Ill-wd Format:Math peste Format:Math este în general destul de dificil de calculat, dar teorema lui Hasse despre curbele eliptice oferă, inclusiv pentru punctul de la infinit, următoarea estimare:

| # E (K) - (q + 1) | \leq 2 \sqrt{q}

Cu alte cuvinte, numărul de puncte ale curbei crește aproximativ ca numărul de elemente din corp. Acest fapt poate fi înțeles și demonstrat cu ajutorul unei teorii generale.

Mulțimea punctelor Format:Math este un grup abelian finit. El este întotdeauna ciclic sau produsul a două grupuri ciclice. De exemplu,^[22] curba definită de

y^{2} = x^{3} - x

peste Format:Math are 72 de puncte (71 de puncte afine, inclusiv (0,0) și un punct la infinit) peste acest câmp, a cărui structură de grup este dată de Z/2Z × Z/36Z. Numărul de puncte pe o curbă specifică poate fi calculat cu algoritmul lui Schoof.

Studiul curbei peste extinderile de corp ale lui Format:Math este facilitat de introducerea funcției zeta locale a lui Format:Math peste Format:Math, definită de o serie generatoare:

Z (E (K), T) \equiv \exp (\sum_{n = 1}^{\infty} # [E (K_{n})] \frac{T^{n}}{n})

unde corpul Format:Math este extinderea (unică până la izomorfism) a lui Format:Math de grad Format:Math (adică Format:Math). Funcția zeta este o funcție rațională în Format:Math. Există un număr întreg Format:Math, astfel încât

Z (E (K), T) = \frac{1 - a T + q T^{2}}{(1 - q T) (1 - T)}

În plus,

\begin{matrix} Z (E (K), \frac{1}{q T}) & = Z (E (K), T) \\ (1 - a T + q T^{2}) & = (1 - α T) (1 - β T) \end{matrix}

cu numere complexe α, β de valoare absolută $\sqrt{q}$ . Acest rezultat este un caz special al conjecturilor Weil. De exemplu,^[23] funcția zeta a lui Format:Math peste corpul F₂ este dată de

\frac{1 + 2 T^{2}}{(1 - T) (1 - 2 T)}

aceasta rezultă din:

| E (𝐅_{2^{r}}) | = {\begin{matrix} 2^{r} + 1 & r impar \\ 2^{r} + 1 - 2 (- 2)^{\frac{r}{2}} & r par \end{matrix}

Format:Ill-wd este o afirmație despre modul în care termenul de eroare $2 \sqrt{q}$ din teorema lui Hasse variază de la un număr prim Format:Math la altul, dacă o curbă eliptică Format:Math peste Q este redusă modulo Format:Math. A fost demonstrată (pentru aproape toate aceste curbe) în 2006, datorită rezultatelor lui Taylor, Harris și Shepherd-Barron,^[24] și afirmă că termenii de eroare sunt echidistribuiți.

Curbele eliptice peste corpurile finite au aplicații în special în criptografie și pentru factorizarea numerelor întregi mari. Acești algoritmi folosesc adesea structura de grup pe punctele lui Format:Math. Algoritmii care se aplică grupurilor generale, de exemplu grupul de elemente inversabile în corpuri finite, Format:Math, pot fi astfel aplicate grupului de puncte de pe o curbă eliptică. De exemplu, logaritmul discret este un astfel de algoritm. Interesul în aceasta este că alegerea unei curbe eliptice permite mai multă flexibilitate decât alegerea lui Format:Math (și, astfel, a grupului de unități din Format:Math). De asemenea, structura de grup a curbelor eliptice este în general mai complicată.

Algoritmi care utilizează curbe eliptice

Curbele eliptice peste corpuri finite sunt utilizate în unele aplicații criptografice, precum și pentru factorizarea numerelor întregi. De obicei, ideea generală din aceste aplicații este că un algoritm cunoscut care folosește anumite grupuri finite este rescris pentru a utiliza grupurile de puncte raționale ale curbelor eliptice.

Note explicative

Format:Notelist

Note

↑ Format:Citat web
↑ Format:Harvard citations
↑ Format:Harvard citations
↑ Vezi și J. W. S. Cassels, Format:Ill-wd's Finite Basis Theorem Revisited, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 100, 3–41 și comentariul lui A. Weil despre geneza lucrării lui: A. Weil, Collected Papers, vol. 1, 520–521.
↑ Format:Cite web
↑ Format:Harvard citations
↑ Format:Harvard citations
↑ vezi de exemplu Format:Cite web
↑ Format:Harvard citations
↑ Format:Cite journal
↑ Pentru calcule, vezi de exemplu Format:Harvnb
↑ O prezentare sintetică (în franceză) a ideilor principale se poate găsi în acest articol din Bourbaki de Jean-Pierre Serre. Pentru mai multe detalii, vezi Format:Harvard citations
↑ Format:Cite book
↑ Format:Cite journal
↑ Format:Cite journal
↑ Vezi studiul din Format:Cite journal
↑ Format:Harvard citations
↑ Format:Harvard citations, datorată lui Baker.
↑ T. Nagell, L'analyse indéterminée de degré supérieur, Mémorial des sciences mathématiques 39, Paris, Gauthier-Villars, 1929, pp. 56–59.
↑ Format:Citation
↑ Format:Cite journal
↑ Vezi Format:Harvard citations
↑ Format:Harvard citations
↑ Format:Citat revistă

Bibliografie

Serge Lang, în introducerea cărții citate mai jos, a declarat că „este posibil să scriem la nesfârșit despre curbele eliptice. (Aceasta nu este o amenințare.)” Următoarea listă scurtă este, în cel mai bun caz, un ghid pentru vasta literatură expozitivă disponibilă cu privire la aspectele teoretice, algoritmice și criptografice ale curbelor eliptice.

Legături externe

Format:Springer
The Mathematical Atlas: 14H52 Elliptic Curves
Format:MathWorld
The Arithmetic of elliptic curves de la PlanetMath
Format:Citation
Cod Matlab pentru trasarea funcțiilor implicite Format:Webarchive – se poate utiliza pentru a trasa curbe eliptice.
Introducere interactivă în curbele eliptice și în criptografia cu curbe eliptice cu Sage de Maike Massierer și echipa CrypTool
Curbă eliptică interactivă peste R și peste Zp – aplicații web.
Amplă bază de date de curbe eliptice peste Q

Format:Portal

Format:Control de autoritate
Eroare la citare: Există etichete <ref> pentru un grup numit „lower-alpha”, dar nu și o etichetă <references group="lower-alpha"/>

[1] Format:Citat web

[2] Format:Harvard citations

[3] Format:Harvard citations

[4] Vezi și J. W. S. Cassels, Format:Ill-wd's Finite Basis Theorem Revisited, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 100, 3–41 și comentariul lui A. Weil despre geneza lucrării lui: A. Weil, Collected Papers, vol. 1, 520–521.

[5] Format:Cite web

[6] Format:Harvard citations

[7] Format:Harvard citations

[9] vezi de exemplu Format:Cite web

[10] Format:Harvard citations

[11] Format:Cite journal

[12] Pentru calcule, vezi de exemplu Format:Harvnb

[13] O prezentare sintetică (în franceză) a ideilor principale se poate găsi în acest articol din Bourbaki de Jean-Pierre Serre. Pentru mai multe detalii, vezi Format:Harvard citations

[14] Format:Cite book

[15] Format:Cite journal

[ribet-16] Format:Cite journal

[17] Vezi studiul din Format:Cite journal

[18] Format:Harvard citations

[19] Format:Harvard citations, datorată lui Baker.

[20] T. Nagell, L'analyse indéterminée de degré supérieur, Mémorial des sciences mathématiques 39, Paris, Gauthier-Villars, 1929, pp. 56–59.

[21] Format:Citation

[22] Format:Cite journal

[23] Vezi Format:Harvard citations

[24] Format:Harvard citations

[25] Format:Citat revistă

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[lower-alpha 1]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

Curbe eliptice

Cuprins

Curbele eliptice peste numerele reale

Legea de grup

Curbele eliptice peste numerele complexe