Mulțime vidă

În matematică, mulțimea vidă este mulțimea care nu conține niciun element. Se notează cu $\{\}$, cu $\mathrm{\varnothing }$ sau cu $\varnothing$ (simbol introdus de către Bourbaki).

Existența mulțimii vide este o noțiune subtilă în fundamentele matematicii. În unele sisteme axiomatice, necesită o axiomă specifică (axioma mulțimii vide); în altele poate fi demonstrată. De exemplu, în sistemul axiomatic Zermelo-Fraenkel, dat fiind existența unei mulțimi $w$, mulțimea vidă se poate defini altfel:

$\varnothing =\{u\in w\mid (u\in u)\wedge \mathrm{\neg }(u\in u)\},$

iar unicitatea ei se deduce din axioma extensivității (de aceea vorbim de mulțimea vidă ci nu de o mulțime vidă).

Proprietăți

Mulțimea vidă are următoarele proprietăți:

• $\mathrm{\forall }A,A\subseteq \varnothing \Rightarrow A=\varnothing$
• $2^{\varnothing }=\{\varnothing \}$
• $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\varnothing )=0$
• $\mathrm{\forall }A,\varnothing \subseteq A$
• $\mathrm{\forall }A,A\cup \varnothing =A$
• $\mathrm{\forall }A,A\cap \varnothing =\varnothing$
• $\mathrm{\forall }A,A\times \varnothing =\varnothing$

Pentru orice proprietate logică Format:Mvar:

• $\mathrm{\forall }x\in \varnothing ,P(x).$
• $\mathrm{\neg }(\mathrm{\exists }x\in \varnothing ,P(x)).$

Bibliografie

• Gh. Sirețchi, Analiză matematică, Editura didactică și pedagogică.

Format:Ciot-matematică