Inel factor

Format:Distinge În Format:Ill-wd, o ramură a algebrei abstracte, un inel factor, cunoscut și sub numele de inel cât, este o construcție destul de similară cu grupul factor din teoria grupurilor și cu spațiul factor din algebra liniară. Începând cu un inel Format:Mvar și un ideal bilateral Format:Mvar în Format:Mvar, se construiește un nou inel, inelul factor Format:Mvar, ale cărui elemente sunt Format:Ill-wd ale lui Format:Mvar din Format:Mvar supuse operațiilor $+$ și $\cdot$. (La notarea inelului factor se folosește doar bara oblică, „ / ”, nu și bara orizontală de fracție.)

Inelele factor sunt distincte de așa-numitul „corp factor”, sau corpul fracțiilor al unui domeniu de integritate, precum și de „inelele de coeficienți”, mai generale, obținute prin Format:Ill-wd.

Construcția formală a unui inel factor

Fiind dat un inel $R$ și un ideal bilateral $I$ în $R$, se poate defini o relație de echivalență $\sim$ pe $R$, după cum urmează:

$a\sim b$ dacă și numai dacă $a-b$ este în $I$.

Folosind proprietățile idealului, nu este dificilă verificarea că $\sim$ este o Format:Ill-wd. În cazul $a\sim b$, se spune că $a$ și $b$ sunt congruente modulo $I$. Format:Ill-wd a elementului $a$ din $R$ este dată de

$[a]=a+I:=\{a+r:r\in I\}$.

Uneori clasa de echivalență este notată $amodI$ și este numită „clasa de resturi a lui $a$ modulo $I$”.

Mulțimea tuturor acestor clase de echivalență este notată cu Format:Mvar; devine un inel, inelul factor al $R$ modulo $I$, dacă se definește:

$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$;

$(a+I)(b+I)=(ab)+I$.

(Aici trebuie verificat dacă aceste definiții sunt bine definite. De comparat clasa de resturi cu grupul factor.)

Elementul zero al Format:Mvar este $\overline{0}=(0+I)=I$, iar elementul neutru este $\overline{1}=(1+I)$.

Aplicația $p$ de la $R$ pe $R/I$ definită prin $p(a)=a+I$ este un Format:Ill-wd surjectiv, numit uneori homomorfism canonic.

Exemple

• Inelul factor Format:Mvar este Format:Ill-wd cu Format:Mvar, iar Format:Mvar este inelul nul {0}, deoarece, după definiția de față, pentru orice Format:Mvar din Format:Mvar există acel Format:Math care este egal cu Format:Mvar în sine. Acest lucru corespunde regulii generale conform căreia cu cât idealul Format:Mvar este mai mare, cu atât inelul factor Format:Mvar este mai mic. Dacă Format:Mvar este un ideal adecvat al lui Format:Mvar, adică Format:Mvar atunci Format:Mvar nu este inelul nul.

• Fie inelul numerelor întregi Z și idealul numerelor pare, notat cu 2Z. Atunci inelul factor Format:Math are doar două elemente, mulțimea Format:Math constând din numerele pare și mulțimea Format:Math formată din numerele impare. Aplicând definiția, Format:Math Este în mod natural izomorf cu corpul finit cu două elemente, F₂. Intuitiv: dacă se consideră toate numerele pare ca fiind 0, atunci orice număr întreg este fie 0 (dacă este par), fie 1 (dacă este impar, prin urmare, diferă de un număr par cu 1). Format:Ill-wd este în esență aritmetică în inelul factor Format:Math (care are Format:Mvar elemente).

• Acum fie Format:Ill-wd în variabila Format:Mvar cu coeficienți reali, Format:Math, și idealul Format:Math constând din toți multiplii polinomului Format:Math. Inelul factor Format:Math este izomorf în mod natural cu corpul numerelor complexe Format:Math, cu clasa Format:Math jucând rolul unității imaginare Format:Mvar. Motivul este că s-a „forțat” Format:Math, adică Format:Math, care este definiția lui Format:Mvar. Deoarece orice exponent întreg al lui Format:Mvar trebuie să fie fie Format:Mvar, fie Format:Math, înseamnă că toate polinoamele posibile se simplifică în esență la forma Format:Mvar. (Pentru clarificare, inelul factor Format:Math este de fapt izomorf în mod natural cu corpul tuturor polinoamelor liniare Format:Math unde se efectuează operațiile mod Format:Math Invers, Format:Math, iar aceasta face să corespundă Format:Mvar cu unitatea imaginară din corpul izomorf al numerelor complexe.)

• Generalizând exemplul anterior, inelele factor sunt adesea folosite pentru a construi extinderii de corp. Fie Format:Mvar un corp și Format:Mvar un Format:Ill-wd în Format:Math Atunci Format:Math este un corp al cărui polinom minimal peste Format:Mvar este Format:Mvar, care conține pe Format:Mvar precum și un element Format:Math.

• Un aspect important al exemplului anterior este construcția corpurilor finite. Fie, de exemplu, corpul Format:Math cu trei elemente. Polinomul Format:Math este ireductibil peste Format:Math (deoarece nu are rădăcină) și se poate construi inelul factor Format:Math. Acesta este un corp cu Format:Math elemente, notate cu Format:Math. Celelalte corpuri finite pot fi construite similar.

• În geometria algebrică inelele de coordonate ale Format:Ill-wd sunt exemple importante de inele factor. Ca un caz simplu, fie varietatea reală Format:Math o submulțime a planului real Format:Math. Inelul funcțiilor polinomiale cu valori reale definite pe Format:Mvar poate fi identificat cu inelul factor Format:Math, iar acesta este inelul de coordonate al lui Format:Mvar. Varietatea Format:Mvar poate fi acum studiată studiind inelul său de coordonate.

Proprietăți

Este evident că dacă Format:Mvar este un inel comutativ, atunci și Format:Mvar este; reciproca însă nu este adevărată în general.

Aplicația factorială naturală Format:Mvar îl are pe Format:Mvar drept Format:Ill-wd. Întrucât nucleul fiecărui homomorfism de inele este un ideal bilateral, se poate afirma că idealele bilaterale sunt tocmai nucleele homomorfismelor de inele.

Relația intimă dintre homomorfismele de inele, nuclee și inele factor poate fi rezumată după cum urmează: homomorfismele de inele definite pe Format:Mvar sunt în esență aceleași cu homomorfismele de inele definite pe Format:Mvar care dispar (adică sunt nule) pe Format:Mvar. Mai exact, fie un ideal bilateral Format:Mvar din Format:Mvar și un homomorfism de inele Format:Math al cărui nucleu îl conține pe Format:Mvar, există exact un homomorfism de inele Format:Math cu Format:Mvar (unde Format:Mvar este aplicația factorială naturală). Aici aplicația Format:Mvar este dată de regula bine definită Format:Math pentru orice Format:Mvar din Format:Mvar. Într-adevăr, această Format:Ill-wd poate fi folosită pentru a defini inelele factor aplicațiile lor factoriale naturale.

Ca o consecință a celor de mai sus, se obține afirmația fundamentală: fiecare homomorfism de inele Format:Math induce un izomorfism de inele între inelul factor Format:Math și imaginea Format:Math.

Idealele lui Format:Mvar și Format:Mvar sunt strâns legate: aplicația factorială naturală oferă o bijecție între idealele bilaterale ale Format:Mvar care conțin pe Format:Mvar și idealele bilaterale ale lui Format:Mvar (același lucru este valabil și pentru idealele stângi și drepte). Această relație între idealul bilateral se extinde la o relație între inelele factor corespunzătoare: dacă Format:Mvar este un ideal bilateral din Format:Mvar care îl conține pe Format:Mvar și se scrie Format:Mvar pentru idealul corespunzător din Format:Mvar (adică Format:Math), inelele factor Format:Mvar și Format:Math sunt izomorfe în mod natural prin aplicația (bine definită!) Format:Math.

Următoarele aspecte se dovedesc utile în algebra comutativă și geometria algebrică: pentru Format:Math comutativ, Format:Mvar este un corp dacă și numai dacă Format:Mvar este un ideal maximal, în timp ce Format:Mvar este un domeniu de integritate dacă și numai dacă I este un ideal prim. O serie de afirmații asemănătoare stabilesc relații între proprietățile idealului Format:Mvar și proprietățile inelului factor Format:Mvar.

Teorema chinezească a resturilor afirmă că, dacă idealul Format:Mvar este intersecția (sau, echivalent, produsul) idealelor coprime în perechi Format:Math, atunci inelul factor Format:Mvar este izomorf cu produsul inelelor factor Format:Mvar, Format:Math.

Bibliografie

• Format:De icon F. Kasch (1978) Moduln und Ringe, translated by DAR Wallace (1982) Modules and Rings, Academic Press, page 33.
• Format:En icon Neal H. McCoy (1948) Rings and Ideals, §13 Residue class rings, page 61, Carus Mathematical Monographs #8, Mathematical Association of America.
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:Nl icon Bartel Leendert van der Waerden (1970) Algebra, translated by Fred Blum and John R Schulenberger, Frederick Ungar Publishing, New York. See Chapter 3.5, "Ideals. Residue Class Rings", pages 47 to 51.

Legături externe

• Format:En icon Format:Springer
• Format:En icon Ideals and factor rings from John Beachy's Abstract Algebra Online