Nilpotență

Format:Problemearticol Problema 1 Fie matricea A $\in {ℳ}_n(ℂ)$ . Să se arate că $A$ este nilpotență dacă și numai dacă $\mathrm{t}\mathrm{r}(A^k)=0$ , oricare ar fi $k>0$ natural. Sunt cunoscute relațiile:

$\mathrm{t}\mathrm{r}(A^k)={\lambda }_1^k+{\lambda }_2^k+...+{\lambda }_n^k,\mathrm{\forall }k\in {\mathbb{N}}^{*},(\star )$

unde ${\lambda }_i,i=1,...,n$, sunt valorile proprii ale matricii $A$.

Presupunem acum că $A$ este nilpotență, adică există $p\in {\mathbb{N}}^{*}$ astfel încât $A^p=0$. Fie $\lambda$ o valoare proprie asociată matricii $A$ și $X\in {ℳ}_{n,1}(ℝ)$ un vector propriu nenul corespunzător valorii proprii $\lambda$. Atunci avem $AX=\lambda X$ (1).

Presupunem $\lambda \ne 0$. Deoarece $A^{p}X=0\cdot X=0$, mulțimea $W=\{q\in \mathbb{N}*:A^{q}X=0\}$ este nevidă și din proprietatea de bună ordonare a lui $\mathbb{N}$ rezultă faptul că $W$ are un cel mai mic element, $w$. Dacă acesta este diferit de 1, atunci prin înmulțirea relației (1) cu $A^{w-1}$ obținem $A^{w}X=\lambda A^{w-1}X$, de unde datorită faptului că $A^w=0$ și $\lambda \ne 0$ rezultă că $A^{w-1}X=0$, ceea ce este o contradicție cu minimalitatea lui $w$. Prin urmare $w=1$ și $AX=0$. Folosind relația (1) avem și $\lambda X=0$, ceea ce este o contradicție cu faptul că $\lambda \ne 0$ și $X\ne 0$. Deci presupunerea făcută este falsă și $\lambda =0$.

Deoarece $\lambda$ a fost o valoare proprie aleasă arbitrar, orice valoare proprie a lui $A$ este 0. Din relațiile (\star)</math> rezultă că $\mathrm{t}\mathrm{r}(A^k)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^k=0,\mathrm{\forall }k\in {\mathbb{N}}^{*}.$

Reciproc, presupunem că $\mathrm{t}\mathrm{r}(A^k)=0,\mathrm{\forall }k\in {\mathbb{N}}^{*}$. Folosim identitățile lui Newton: $(-1{)}^m\sum _{1\le i_1<...<i_m\le n}{x}_{i_1}{x}_{i_2}...x_{i_m}+\sum _{k=1}^m((-1{)}^{k+m}\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^k\right)\sum _{1\le i_1<...<i_{m-k}\le n}{x}_{i_1}...x_{i_{m-k}})=0,$ pentru orice $m\le n$ și oricare $n$ numere complexe $x_1,...,x_n$. În particular, dacă $x_i={\lambda }_i,\mathrm{\forall }i=1..n$, atunci, din relațiile $(\star )$ și presupunerea făcută rezultă că $\sum _{i=1}^n{x}_i^k=0,\mathrm{\forall }k\in {\mathbb{N}}^{*}$. Dacă înlocuim $x_i$ în formulele lui Newton pentru $m=1,2,...,n$ obținem: $\sum _{i=1}^n{x}_i=0,\sum _{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j=0,...,x_1{x}_2...x_n=0,$ adică coeficienții polinomului $p_A(x)=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)$, polinomul caracteristic al lui $A$, sunt 0, în afară de coeficientul dominant. Prin urmare $p_A(x)=x^n$. Teorema Cayley-Hamilton spune că $p_A(A)=0$, adică $A^n=0$. Prin urmare $A$ este o matrice nilpotență.

Legături externe

http://planetmath.org/NilpotentMatrix.html Format:Webarchive