Divizor

Un număr Format:Mvar este numit divizor al altui număr Format:Mvar, dacă Format:Mvar se poate scrie ca produsul dintre Format:Mvar și un alt număr întreg Format:Mvar.

• Dacă Format:Mvar este un număr întreg vom numi numărul Format:Mvar divizor al lui Format:Mvar dacă există numărul Format:Mvar întreg astfel ca Format:Mvar și se scrie Format:Mvar | Format:Mvar, de asemenea Format:Mvar | Format:Mvar.
• Exemplu: 2 este divizor pentru 6 pentru că 6 = 2 · 3. Se scrie 2 | 6.
• 1 | Format:Mvar, Format:Mvar | Format:Mvar și Format:Mvar | 0 pentru orice număr întreg;
• un număr prim are doi divizori naturali.

Mulțimea divizorilor

• Mulțimea divizorilor lui Format:Mvar este formată din toți divizorii lui Format:Mvar.
  • Notație Format:Mvar_a.
  • Exemplu : Format:Mvar₆ = { -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 }, Format:Mvar₅ = {-5, -1, 1, 5} ; 5 este număr prim pentru că are doi divizori naturali.
• Numărul divizorilor:
  • Dacă $n=p_1^{k_1}\cdots p_r^{k_r}$ este descompunerea în factori primi distincți ai lui Format:Mvar ,iar $p_j,j=\overline{1,r}$ sunt numere prime distincte numărul divizorilor naturali se poate calcula cu formula : $\tau (n)=(k_1+1)\cdot (k_2+1)\cdots (k_r+1)$ .
• Suma divizorilor:
  • Dacă $n=p_1^{k_1}\cdots p_r^{k_r}$ este descompunerea în factori primi distincți ai lui Format:Mvar, iar $p_j,j=\overline{1,r}$ sunt numere prime distincte suma divizorilor naturali se poate calcula cu formula: $\sigma (n)=\sum _{d|n}d=\prod _{i=1}^r\frac{p_i^{(k_i+1)}-1}{p_i-1}$.
    • Exemplu: pentru n = 20 = 2² · 5 avem $\tau (20)=6$ și $\sigma (20)=42$

Funcțiile de mai sus și indicatorul lui Euler sunt așa numite funcții aritmetice.

• CMMDC: cel mai mare divizor comun a două numere naturale Format:Mvar este un număr Format:Mvar ce verifică:
  • i) Format:Mvar | Format:Mvar , Format:Mvar | Format:Mvar (adică este divizor comun).
  • ii) Dacă Format:Mvar | Format:Mvar și Format:Mvar | Format:Mvar atunci Format:Mvar | Format:Mvar (adică Format:Mvar este cel mai mare divizor comun ).
    • Notație: Format:Mvar = (Format:Mvar).
    • Exemplu: (12, 18 ) = 6.
    • Dacă (Format:Mvar) = 1 se spune că Format:Mvar și Format:Mvar sunt prime între ele; (32, 15) = 1, deci 32 și 15 sunt prime între ele, sau altfel spus au ca factor comun doar pe 1.
    • Dacă un număr are doar un divizor atunci spunem despre el ca este număr prim.

Legături externe

• Format:En icon Funcția divizor la Mathworld.