Factorizare

În matematică, factorizarea constă în scrierea unui număr sau a altui obiect matematic ca produs de mai mulți factori, de obicei obiecte mai mici sau mai simple de același fel. De exemplu, Format:Math este o factorizare a întregului Format:Math, iar Format:Math este o factorizare a polinomului Format:Math.

Nu se consideră de obicei că factorizarea ar avea vreo importanță în sistemele de numere care posedă diviziuni, cum ar fi numerele reale sau complexe, deoarece orice $x$ poate fi scris trivial ca $(xy)\times (1/y)$ oricând $y$ nu este zero. Totuși, o factorizare semnificativă pentru un număr rațional sau o funcție rațională poate fi obținută prin aducerea la o formă ireductibilă și factorizarea separată a numărătorului și numitorului.

Primii care s-au gândit la conceptul de factorizare au fost Format:Ill-wd în cazul numerelor întregi. Ei au demonstrat teorema fundamentală a aritmeticii, care afirmă că fiecare număr întreg pozitiv poate fi factorizat într-un produs de numere prime, care nu pot fi factorizate mai departe în numere întregi mai mari de 1. Mai mult, această factorizare este unică până la ordinea factorilor. Deși factorizarea întregilor este un fel de operație inversă înmulțirii, ea este mult mai dificilă din punct de vedere algoritmic, fapt care este exploatat în criptosistemul RSA pentru a implementa criptografia cu cheie publică.

Format:Ill-wd este și ea studiată de secole. În algebra elementară, factorizarea unui polinom reduce problema găsirii rădăcinilor sale la găsirea rădăcinilor factorilor. Polinoamele cu coeficienți în mulțimea numerelor întregi sau într-un corp posedă proprietatea de factorizare unică, o versiune a teoremei fundamentale a aritmeticii în care numerele prime sunt înlocuite cu Format:Ill-wd. În special, un polinom univariat cu coeficienți complecși admite o factorizare unică (până la ordonare) în polinoame liniare: aceasta este o versiune a teoremei fundamentale a algebrei. În acest caz, factorizarea se poate face cu Format:Ill-wd. Cazul polinoamelor cu coeficienți întregi este fundamental pentru Format:Ill-wd. Există algoritmi de calcul eficienți pentru calcularea factorizărilor (complete) în cadrul inelului polinoamelor cu coeficienți de număr rațional.

Un inel comutativ care posedă proprietatea de factorizare unică se numește domeniu unic de factorizare. Există sisteme numerice, cum ar fi anumite inele de numere întregi algebrice, care nu sunt domenii de factorizare unică. Totuși, inelele de numere întregi algebrice satisfac proprietatea mai slabă a Format:Ill-wd: idealele se împart în mod unic în ideale prime.

Termenul factorizare se poate referi și la descompuneri mai generale ale unui obiect matematic în produsul unor obiecte mai mici sau mai simple. De exemplu, orice funcție poate fi inclusă în compoziția unei funcții surjective cu o funcție injectivă. Matricele posedă multe tipuri de Format:Ill-wd. De exemplu, fiecare matrice are o Format:Ill-wd unică ca produs al unei Format:Ill-wd Format:Mvar cu toate elementele de pe diagonală egale cu unu, cu o Format:Ill-wd Format:Mvar și o matrice permutare Format:Mvar ; aceasta este o formulare matriceală a Format:Ill-wd.

Numere întregi

Conform teoremei fundamentale a aritmeticii, fiecare număr întreg mai mare de 1 are o descompunere unică (până la ordinea factorilor) în numere prime, care sunt acele numere întregi ce nu pot fi descompuse în produs de alte numere întregi mai mari de unu.

Pentru a calcula factorizarea unui număr întreg Format:Mvar, este nevoie de un algoritm care găsește un divizor Format:Mvar al lui Format:Mvar sau decide că Format:Mvar este prim. Când se găsește un astfel de divizor, aplicarea repetată a acestui algoritm asupra factorilor Format:Mvar și Format:Math dă în cele din urmă factorizarea completă a lui Format:Mvar.

Pentru a găsi un divizor Format:Mvar al lui Format:Mvar, dacă există, este suficient să se testeze toate valorile lui Format:Mvar astfel încât Format:Math și Format:Math. De fapt, dacă Format:Math este un divizor al lui Format:Mvar astfel încât Format:Math, atunci Format:Math este un divizor al lui Format:Mvar astfel încât Format:Math.

Dacă se testează valorile lui Format:Mvar în ordine crescătoare, primul divizor care se găsește este cu siguranță un număr prim, iar cofactorul Format:Math nu poate avea niciun divizor mai mic decât Format:Mvar. Pentru a obține factorizarea completă, este suficient să se continue algoritmul prin căutarea unui divizor al lui Format:Mvar care nu este mai mic decât Format:Mvar și nu mai mare decât Format:Math.

Nu este nevoie să se testeze toate valorile lui Format:Mvar pentru aplicarea metodei. În principiu, este suficientă testarea doar a divizorilor primi. Acesta trebuie să aibă un tabel de numere prime care poate fi generat, de exemplu, cu ciurul lui Eratostene. Deoarece metoda de factorizare efectuează în esență aceeași activitate ca ciurul lui Eratostene, este în general mai eficientă testarea pentru un divizor doar pentru acele numere pentru care nu este imediat clar dacă sunt prime sau nu. De obicei, se poate continua testând 2, 3, 5 și numerele > 5, a căror ultimă cifră este 1, 3, 7, 9 și suma cifrelor nu este un multiplu al lui 3.

Această metodă funcționează bine pentru factorizarea numerelor întregi mici, dar este ineficientă pentru numerele întregi mai mari. De exemplu, Pierre de Fermat nu a putut descoperi că al 6-lea Format:Ill-wd

$1+2^{2^5}=1+2^{32}=4294967297$

nu este un număr prim. De fapt, aplicarea metodei de mai sus ar necesita peste Format:Val de împărțiri, pentru un număr care are 10 cifre zecimale.

Există algoritmi de factorizare mai eficienți. Totuși, ele rămân relativ ineficiente, deoarece, în stadiul actual al tehnicii, nu se poate factoriza, chiar și cu calculatoarele mai puternice, un număr de 500 de cifre zecimale care este produsul a două numere prime alese aleatoriu. Aceasta asigură securitatea criptosistemului RSA, care este utilizat pe scară largă pentru comunicarea securizată prin Internet.

Exemplu

Pentru factorizarea Format:Math în numere prime:

• Se începe cu împărțirea la 2: numărul este par și Format:Math . Se continuă cu 693 și 2 drept candidate ca prim divizor.
• 693 este impar (2 nu este divizor), dar este multiplu al lui 3: avem Format:Math și deci Format:Math . Se continuă cu 231 și 3 drept candidate ca primul divizor.
• 231 este și el un multiplu al lui 3: avem Format:Math, și astfel Format:Math. Se continuă cu 77 și 3 drept candidate ca prim divizor.
• 77 nu este un multiplu al lui 3, deoarece suma cifrelor sale este 14, deci nu este multiplu de 3. Nu este nici multiplu de 5, deoarece ultima sa cifră este 7. Următorul divizor impar care trebuie testat este 7. Avem Format:Math, și astfel Format:Math . Aceasta arată că 7 este prim (ușor de testat direct). Se continuă cu 11 și 7 drept candidate ca prim divizor.
• Întrucât Format:Math, calculul s-a terminat. Astfel 11 este prim, iar descompunerea în factori primi este

Format:Math.

Expresii

Manipularea expresiilor stă la fundamentele algebrei. Factorizarea este una dintre cele mai importante metode de manipulare a expresiilor din mai multe motive. Dacă se poate pune o ecuație într-o formă factorizată Format:Math, atunci problema rezolvării ecuației se împarte în două probleme independente (și în general mai ușoare) Format:Math și Format:Math. Atunci când o expresie poate fi factorizată, factorii sunt adesea mult mai simpli și, astfel, pot oferi o perspectivă asupra problemei. De exemplu, expresia

$x^3-a{x}^2-b{x}^2-c{x}^2+abx+acx+bcx-abc$

având 16 înmulțiri, 4 scăderi și 3 adunări, poate fi factorizată în expresia mult mai simplă

$(x-a)(x-b)(x-c),$

cu doar două înmulțiri și trei scăderi. Mai mult, forma factorizată dă imediat rădăcinile x = a, b, c ca rădăcini ale polinomului.

Pe de altă parte, factorizarea nu este întotdeauna posibilă, iar atunci când este posibilă, se poate ca factorii să nu fie întotdeauna mai simpli. De exemplu, $x^{10}-1$ poate fi factorizat în doi Format:Ill-wd $x-1$ și $x^9+x^8+\cdots +x^2+x+1$ .

Au fost dezvoltate diverse metode pentru găsirea factorizărilor; unele sunt descrise mai jos.

Rezolvarea ecuațiilor algebrice poate fi privită ca o problemă de Format:Ill-wd. De fapt, teorema fundamentală a algebrei poate fi enunțată după cum urmează: fiecare polinom în Format:Mvar de grad Format:Math cu coeficienți complecși poate fi factorizat în Format:Math factori liniari $x-a_i,$ pentru Format:Math, unde Format:Math sunt rădăcinile polinomului. Chiar dacă structura factorizării este cunoscută în aceste cazuri, valorile Format:Math nu pot fi în general calculate în termeni de radicali (rădăcini a de ordin n), conform teoremei Abel-Ruffini. În cele mai multe cazuri, cel mai bun lucru care se poate face este să se calculeze Format:Ill-wd pentru rădăcini cu ajutorul unui Format:Ill-wd.

Istoria factorizării expresiilor

Utilizarea sistematică a manipulărilor algebrice pentru simplificarea expresiilor (mai precis a ecuațiilor) datează din secolul al IX-lea, de la cartea lui al-Khwarizmi Format:Ill-wd, al cărei titlu conține denumirea a două astfel de tipuri de manipulare.

Totuși, chiar și pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice, nu s-a folosit metoda de factorizare decât după lucrarea lui Harriot publicată în 1631, la zece ani după moartea sa. În cartea sa Format:Lang, Harriot a întocmit tabele pentru adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea monoamelor, binoamelor și trinoamelor. Apoi, într-o a doua secțiune, a enunțat ecuația Format:Math și a arătat că aceasta se potrivește cu forma de înmulțire pe care a o specificase anterior, dând factorizarea Format:Math.

Metode generale

Următoarele metode se aplică oricărei sume sau expresii care poate fi transformată într-o sumă. Prin urmare, ele sunt cel mai adesea aplicate la polinoame, deși pot fi aplicate și atunci când termenii sumei nu sunt monoamele, adică termenii sumei sunt un produs de variabile și constante.

Factorul comun

Se poate întâmpla ca toți termenii unei sume să fie produse și ca anumiți factori să fie comuni tuturor termenilor. În acest caz, distributivitatea permite extragerea acestui factor comun. Dacă există mai mulți astfel de factori comuni, este se preferă împărțirea la cel mai mare astfel de factor comun. De asemenea, dacă există coeficienți întregi, se poate găsi cel mai mare divizor comun al acestor coeficienți.

De exemplu,

$6x^3{y}^2+8x^4{y}^3-10x^5{y}^3=2x^3{y}^2(3+4xy-5x^{2}y),$

deoarece 2 este cel mai mare divizor comun al lui 6, 8 și 10, și toți termenii se împart la $x^3{y}^2$.

Gruparea

Gruparea termenilor poate permite utilizarea altor metode pentru obținerea unei factorizări.

De exemplu, pentru a factoriza

$4x^2+20x+3xy+15y,$

se poate observa că primii doi termeni au un factor comun Format:Mvar, iar ultimii doi termeni au factorul comun Format:Mvar. Prin urmare

$4x^2+20x+3xy+15y=(4x^2+20x)+(3xy+15y)=4x(x+5)+3y(x+5).$

Atunci, o inspecție simplă relevă factorul comun Format:Math, ceea ce duce la factorizarea

$4x^2+20x+3xy+15y=(4x+3y)(x+5).$

În general, aceasta funcționează pentru sume de 4 termeni care au fost obținute ca produs a două binoame. Deși nu frecvent, aceasta poate funcționa și pentru exemple mai complicate.

Adunarea și scăderea termenilor

Uneori, o grupare de termeni dezvăluie o parte a unui șablon identificabil. Atunci, este utilă adunarea și scăderea termenilor pentru completarea șablonului.

O utilizare tipică este metoda de Format:Ill-wd pentru obținerea formulei pătratice.

Un alt exemplu este factorizarea lui $x^4+1.$ Dacă se introduce rădăcina pătrată nereală a lui –1, notată de regulă cu Format:Mvar, atunci avem o diferență de pătrate

$x^4+1=(x^2+i)(x^2-i).$

S-ar putea dori însă și o factorizare cu coeficienți numere reale. Prin adunarea și scăderea lui $2x^2,$ și grupând trei termeni împreună, se poate recunoaște pătratul unui binom:

$x^4+1=(x^4+2x^2+1)-2x^2=(x^2+1{)}^2-{\left(x\sqrt{2}\right)}^2=(x^2+x\sqrt{2}+1)(x^2-x\sqrt{2}+1).$

Dacă se scade și apoi se adună $2x^2$, rezultă factorizarea:

$x^4+1=(x^4-2x^2+1)+2x^2=(x^2-1{)}^2+{\left(x\sqrt{2}\right)}^2=(x^2+x\sqrt{-2}-1)(x^2-x\sqrt{-2}-1).$

Aceste factorizări funcționează nu numai asupra numerelor complexe, ci și asupra oricărui corp, unde –1, 2 sau –2 este un pătrat. Într-un corp finit, produsul a două elemente care nu sunt pătrate este un pătrat; aceasta implică faptul că polinomul $x^4+1,$ care este Format:Ill-wd peste numerele întregi, este reductibil Format:Ill-wd orice număr prim. De exemplu,

$x^4+1\equiv (x+1{)}^4(\mathrm{mod}2);$

$x^4+1\equiv (x^2+x-1)(x^2-x-1)(\mathrm{mod}3),$deoarece $1^2\equiv -2(\mathrm{mod}3);$

$x^4+1\equiv (x^2+2)(x^2-2)(\mathrm{mod}5),$ deoarece $2^2\equiv -1(\mathrm{mod}5);$

$x^4+1\equiv (x^2+3x+1)(x^2-3x+1)(\mathrm{mod}7),$deoarece $3^2\equiv 2(\mathrm{mod}7).$

Șabloane identificabile

Multe identități oferă o egalitate între o sumă și un produs. Metodele de mai sus pot fi utilizate pentru a face să apară într-una din părți suma dintr-o identitate, care poate fi, prin urmare, înlocuită cu un produs.

Mai jos sunt identitățile ale căror părți stângi sunt utilizate în mod obișnuit ca șabloane (aceasta înseamnă că variabilele Format:Mvar și Format:Mvar care apar în aceste identități pot reprezenta orice subexpresie a expresiei care trebuie factorizată).

Demonstrație vizuală a diferențelor dintre două pătrate și două cuburi

• Diferența a două pătrate

$E^2-F^2=(E+F)(E-F)$

De exemplu,

$\begin{array}{cc}{a}^2+& 2ab+b^2-x^2+2xy-y^2\\ & =(a^2+2ab+b^2)-(x^2-2xy+y^2)\\ & =(a+b{)}^2-(x-y{)}^2\\ & =(a+b+x-y)(a+b-x+y).\end{array}$

• Suma/diferența a două cuburi

$E^3+F^3=(E+F)(E^2-EF+F^2)$

$E^3-F^3=(E-F)(E^2+EF+F^2)$

• Diferența de două puteri a patra

$\begin{array}{cc}{E}^4-F^4& =(E^2+F^2)(E^2-F^2)\\ & =(E^2+F^2)(E+F)(E-F)\end{array}$

• Suma/diferența a două puteri a Format:Mvar-a

În următoarele identități, factorii pot fi adesea factorizați mai departe:

• Diferență, exponent par

$E^{2n}-F^{2n}=(E^n+F^n)(E^n-F^n)$

• Diferență, exponent par sau impar

$E^n-F^n=(E-F)(E^{n-1}+E^{n-2}F+E^{n-3}{F}^2+\cdots +E{F}^{n-2}+F^{n-1})$

Acesta este un exemplu care arată că factorii pot fi mult mai mari decât suma care este factorizată.

• Sumă, exponent impar

$E^n+F^n=(E+F)(E^{n-1}-E^{n-2}F+E^{n-3}{F}^2-\cdots -E{F}^{n-2}+F^{n-1})$

(obținut prin schimbarea Format:Mvar cu Format:Math în formula anterioară)

• Sumă, exponent par

Dacă exponentul este o putere a lui doi, atunci expresia nu poate fi, în general, factorizată fără a introduce numere complexe (dacă Format:Mvar și Format:Mvar conțin numere complexe, acesta poate să nu fie cazul). Dacă n are un divizor impar, adică dacă Format:Math cu Format:Mvar impar, se poate folosi formula anterioară (de la „Sumă, exponent impar”) aplicată la $(E^q{)}^p+(F^q{)}^p.$

• Trinoame și formule cubice

$\begin{array}{cc}& x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=(x+y+z{)}^2\\ & x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)\\ & x^3+y^3+z^3+3x^2(y+z)+3y^2(x+z)+3z^2(x+y)+6xyz=(x+y+z{)}^3\\ & x^4+x^2{y}^2+y^4=(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2).\end{array}$

• Dezvoltări binomiale

Vizualizarea dezvoltării binomului până la puterea a 4-a

Teorema binomială furnizează modele care pot fi ușor recunoscute după numerele întregi care apar în ele.

De grad scăzut:

$a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$

$a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$

$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3=(a+b{)}^3$

$a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3=(a-b{)}^3$

Mai general, coeficienții formelor extinse ale lui $(a+b{)}^n$ și $(a-b{)}^n$ sunt coeficienții binomiali, care apar în al Format:Math lea rând al triunghiului lui Pascal.

Rădăcinile unității

Rădăcinile de ordin Format:Mvar ale unității sunt numerele complexe care sunt rădăcini ale polinomului $x^n-1.$ Ele sunt astfel numerele

$e^{2ik\pi /n}=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}$

pentru $k=0,\dots ,n-1.$

Rezultă că pentru oricare două expresii Format:Mvar și Format:Mvar, avem:

$E^n-F^n=(E-F)\prod _{k=1}^{n-1}(E-F{e}^{2ik\pi /n})$

$E^n+F^n=\prod _{k=0}^{n-1}(E-F{e}^{(2k+1)i\pi /n})\text{dacă }n\text{ este par}$

$E^n+F^n=(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}(E+F{e}^{2ik\pi /n})\text{dacă }n\text{ este impar}$

Dacă Format:Mvar și Format:Mvar sunt expresii reale și se doresc factori reali, trebuie înlocuită fiecare pereche de factori complex-conjugați cu produsul lor. Întrucât conjugatul complex al lui $e^{i\alpha }$ este $e^{-i\alpha },$ și

$(a-b{e}^{i\alpha })(a-b{e}^{-i\alpha })=a^2-ab(e^{i\alpha }+e^{-i\alpha })+b^2{e}^{i\alpha }{e}^{-i\alpha }=a^2-2ab\cos \alpha +b^2,$

rezultă următoarele factorizări reale (se trece de la una la alta prin schimbarea lui Format:Mvar în Format:Math sau Format:Math și aplicând formulele trigonometrice uzuale:

$\begin{array}{cc}{E}^{2n}-F^{2n}& =(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}(E^2-2EF\cos \frac{k\pi }{n}+F^2)\\ & =(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}(E^2+2EF\cos \frac{k\pi }{n}+F^2)\end{array}$

$\begin{array}{cc}{E}^{2n}+F^{2n}& =\prod _{k=1}^n(E^2+2EF\cos \frac{(2k-1)\pi }{2n}+F^2)\\ & =\prod _{k=1}^n(E^2-2EF\cos \frac{(2k-1)\pi }{2n}+F^2)\end{array}$

Format:Ill-wd care apar în aceste factorizări sunt numere algebrice și pot fi exprimate în termeni de radicali (acest lucru este posibil deoarece Format:Ill-wd este ciclic); totuși, aceste expresii radicale sunt prea complicate pentru a fi utilizate, cu excepția valorilor scăzute ale lui Format:Mvar. De exemplu,

$a^4+b^4=(a^2-\sqrt{2}ab+b^2)(a^2+\sqrt{2}ab+b^2).$

$a^5-b^5=(a-b)(a^2+\frac{1-\sqrt{5}}{2}ab+b^2)(a^2+\frac{1+\sqrt{5}}{2}ab+b^2),$

$a^5+b^5=(a+b)(a^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}ab+b^2)(a^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}ab+b^2),$

Adesea se dorește o factorizare cu coeficienți raționali. O astfel de factorizare implică Format:Ill-wd. Pentru a exprima factorizări raționale de sume și diferențe sau puteri, avem nevoie de o notație pentru omogenizarea unui polinom: dacă $P(x)=a_0{x}^n+a_i{x}^{n-1}+\cdots +a_n,$ omogenizarea lui este polinomul bivariat $\bar{P}(x,y)=a_0{x}^n+a_i{x}^{n-1}y+\cdots +a_n{y}^n.$ Atunci, avem

$E^n-F^n=\prod _{k\mid n}{\bar{Q}}_n(E,F),$

$E^n+F^n=\prod _{k\mid 2n,k\mid ̸n}{\bar{Q}}_n(E,F),$

unde produsele se iau pe toți divizorii lui Format:Mvar sau pe toți divizorii lui Format:Math care nu divid Format:Mvar și $Q_n(x)$ este al Format:Mvar-lea polinom ciclotomic.

De exemplu,

$a^6-b^6={\bar{Q}}_1(a,b){\bar{Q}}_2(a,b){\bar{Q}}_3(a,b){\bar{Q}}_6(a,b)=(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2),$

$a^6+b^6={\bar{Q}}_4(a,b){\bar{Q}}_{12}(a,b)=(a^2+b^2)(a^4-a^2{b}^2+b^4),$

deoarece divizorii lui 6 sunt 1, 2, 3, 6, iar divizorii lui 12 care nu îl divid pe 6 sunt 4 și 12.

Polinoame

Pentru polinoame, factorizarea este strâns legată de problema rezolvării ecuațiilor algebrice. O ecuație algebrică are forma

$P(x)\stackrel{\text{def}}{=}{a}_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n=0,$

unde Format:Math este un polinom în Format:Mvar cu $a_0\ne 0.$ O soluție a acestei ecuații (numită și rădăcină a polinomului) este o valoare Format:Mvar a lui Format:Mvar astfel încât

$P(r)=0.$

Dacă $P(x)=Q(x)R(x)$ este o factorizare a lui Format:Math ca produs de două polinoame, atunci rădăcinile lui Format:Math sunt reuniunea rădăcinilor lui Format:Math și rădăcinilor lui Format:Math. Astfel, găsirea soluției ecuației Format:Math se reduce la problemele mai simplu de rezolvat Format:Math și Format:Math .

În schimb, Format:Ill-wd afirmă că dacă Format:Mvar este o rădăcină a lui Format:Math, atunci Format:Math poate fi factorizat ca

$P(x)=(x-r)Q(x),$

unde Format:Math este câtul Format:Ill-wd a lui Format:Math cu factorul liniar (de gradul unu) Format:Math.

Dacă coeficienții lui Format:Math sunt numere reale sau complexe, teorema fundamentală a algebrei afirmă că Format:Math are o rădăcină reală sau complexă. Folosind teorema factorului în mod recursiv, rezultă că

$P(x)=a_0(x-r_1)\cdots (x-r_n),$

Unde $r_1,\dots ,r_n$ sunt rădăcinile reale sau complexe ale lui Format:Mvar, unele dintre ele posibil repetate. Această factorizare completă este unică făcând abstracție de ordinea factorilor.

Dacă coeficienții lui Format:Math sunt reali, se dorește în general o factorizare în care factorii au coeficienți reali. În acest caz, factorizarea completă poate avea niște factori pătratici (de gradul doi). Această factorizare poate fi dedusă cu ușurință din factorizarea completă de mai sus. De fapt, dacă Format:Math este o rădăcină nereală a Format:Math, atunci conjugatul său complex Format:Math este, de asemenea, o rădăcină a lui Format:Math. Deci, produsul

$(x-r)(x-s)=x^2-(r+s)x+rs=x^2-2ax+a^2+b^2$

este un factor al lui Format:Math cu coeficienți reali. Repetând aceasta pentru toți factorii nereali, se obține o factorizare cu factori reali liniari sau pătratici.

Pentru a calcula aceste factorizări reale sau complexe, este nevoie de rădăcinile polinomului, care ar putea să nu fie calculate exact, ci doar aproximate folosind Format:Ill-wd.

În practică, majoritatea ecuațiilor algebrice de interes au coeficienți întregi sau raționali și se poate dori o factorizare cu factori de același fel. Teorema fundamentală a aritmeticii poate fi generalizată în acest caz, afirmând că polinoamele cu coeficienți întregi sau raționali au proprietatea de factorizare unică. Mai precis, fiecare polinom cu coeficienți raționali poate fi factorizat într-un produs

$P(x)=q{P}_1(x)\cdots P_k(x),$

unde Format:Mvar este un număr rațional și $P_1(x),\dots ,P_k(x)$ sunt polinoame neconstante cu coeficienți întregi care sunt Format:Ill-wd și Format:Ill-wd; asta înseamnă că niciunul dintre $P_i(x)$ pot fi scrise ca produsul a două polinoame (cu coeficienți întregi) care nu sunt nici 1, nici –1 (numerele întregi sunt considerate polinoame de grad zero). Mai mult, această factorizare este unică făcând abstracție de ordinea factorilor și de semnul lor.

Există algoritmi eficienți pentru calcularea acestei factorizări, care sunt implementați în majoritatea sistemelor de Format:Ill-wd. Acești algoritmi sunt însă prea complicați pentru a fi utilizați pentru calculele mintale sau pe hârtie. Pe lângă euristica de mai sus, doar câteva metode sunt potrivite pentru calculele manuale, care în general funcționează numai pentru polinoame de grad scăzut, cu puțini coeficienți nenuli. Principalele astfel de metode sunt descrise în subsecțiunile următoare.

Factorizarea în parte primitivă și conținut

Orice polinom cu coeficienți raționali poate fi factorizat, într-un mod unic, ca produsul dintre un număr rațional și un polinom cu coeficienți întregi, care este Format:Ill-wd (adică cel mai mare divizor comun al coeficienților este 1) și are un coeficient pozitiv la termenul cel mai semnificativ. De exemplu:

$-10x^2+5x+5=(-5)\cdot (2x^2-x-1)$

$\frac{1}{3}{x}^5+\frac{7}{2}{x}^2+2x+1=\frac{1}{6}(2x^5+21x^2+12x+6)$

În această factorizare, numărul rațional se numește conținut, iar polinomul primitiv este partea primitivă. Calculul acestei factorizări se poate face după cum urmează: în primul rând, se reduc toți coeficienții la un numitor comun, pentru a obține câtul printr-un număr întreg Format:Mvar al unui polinom cu coeficienți întregi. Apoi se împarte divizorul comun mai mare Format:Mvar al coeficienților acestui polinom pentru a obține partea primitivă, conținutul fiind $p/q.$ În cele din urmă, dacă este necesar, se schimbă semnele lui Format:Mvar și toți coeficienții părții primitive.

Această factorizare poate produce un rezultat care este mai mare decât polinomul originar (de obicei atunci când există mulți numitori primi între ei), dar, chiar și atunci când se întâmplă aceasta, partea primitivă este în general mai ușor de manipulat pentru factorizare ulterioară.

Folosirea teoremei factorului

Teorema factorului afirmă că, dacă Format:Mvar este o rădăcină a unui polinom

$P(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n,$

adică Format:Math, atunci există o factorizare

$P(x)=(x-r)Q(x),$

unde

$Q(x)=b_0{x}^{n-1}+\cdots +b_{n-2}x+b_{n-1},$

cu $a_0=b_0$. Atunci, metoda lungă sau cea sintetică de împărțire a polinoamelor dau rezultatul:

$b_i=a_0{r}^i+\cdots +a_{i-1}r+a_i\text{ for }i=1,\dots ,n-1.$

Aceasta poate fi utilă atunci când se cunoaște sau se poate ghici o rădăcină a polinomului.

De exemplu, pentru $P(x)=x^3-3x+2,$ se poate observa cu ușurință că suma coeficienților săi este 0, deci Format:Math este o rădăcină. Întrucât Format:Math și $r^2+0r-3=-2,$ avem

$x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2).$

Rădăcini raționale

Pentru polinoame cu coeficienți numere raționale, se pot căuta rădăcini care sunt numere raționale. Factorizarea parte primitivă-conținut (vezi mai sus) reduce problema căutării rădăcinilor raționale la cazul polinoamelor cu coeficienți întregi care nu au un divizor comun netrivial.

Dacă $x=\frac{p}{q}$ este o rădăcină rațională a unui astfel de polinom

$P(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n,$

teorema factorului arată că există o factorizare

$P(x)=(qx-p)Q(x),$

unde ambii factori au coeficienți întregi (faptul că Format:Mvar are coeficienți întregi rezultă din formula de mai sus pentru câtul lui Format:Math prin $x-p/q$ ).

Comparând coeficienții de grad Format:Mvar și coeficienții constanți în egalitatea de mai sus, rezultă că, dacă $\frac{p}{q}$ este o rădăcină rațională Format:Ill-wd, atunci Format:Mvar este un divizor al lui $a_0,$ iar Format:Mvar este un divizor al lui $a_n.$ Prin urmare, există un număr finit de posibilități pentru Format:Mvar și Format:Mvar, care pot fi examinate sistematic.

De exemplu, dacă polinomul

$P(x)=2x^3-7x^2+10x-6$

are o rădăcină rațională $\frac{p}{q}$ cu Format:Math, atunci Format:Mvar trebuie să fie un divizor al lui 6; adică $p\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\},$ și Format:Mvar trebuie să fie un divizor al lui 2, adică $q\in \{1,2\}.$ Mai mult, dacă Format:Math, toți termenii polinomului sunt negativi și, prin urmare, o rădăcină nu poate fi negativă. Adică avem

$\frac{p}{q}\in \{1,2,3,6,\frac{1}{2},\frac{3}{2}\}.$

Un calcul direct arată că doar $\frac{3}{2}$ este rădăcină, deci nu poate exista altă rădăcină rațională. Aplicarea teoremei factorilor duce în final la factorizarea $2x^3-7x^2+10x-6=(2x-3)(x^2-2x+2).$

Metoda pătratică ac

Metoda de mai sus poate fi adaptată pentru Format:Ill-wd, conducând la metoda de factorizare ac.

Fie polinomul pătratic

$P(x)=a{x}^2+bx+c$

cu coeficienți întregi. Dacă are o rădăcină rațională, numitorul acesteia trebuie să-l dividă pe Format:Math și poate fi scris ca o Format:Ill-wd $r_1=\frac{r}{a}.$ Conform formulelor lui Vieta, cealaltă rădăcină $r_2$ este

$r_2=-\frac{b}{a}-r_1=-\frac{b}{a}-\frac{r}{a}=-\frac{b+r}{a}=\frac{s}{a},$

cu $s=-(b+r).$ Astfel, a doua rădăcină este și ea rațională, iar a doua formulă a lui Vieta $r_1{r}_2=\frac{c}{a}$ dă

$\frac{s}{a}\frac{r}{a}=\frac{c}{a},$

adică

$rs=ac\text{și}r+s=-b.$

Verificarea tuturor perechilor de numere întregi al căror produs este Format:Math furnizează rădăcinile raționale, dacă există.

Pe scurt, dacă $a{x}^2+bx+c$ are rădăcini raționale, există numerele întregi Format:Mvar și Format:Mvar astfel încât $rs=ac$ și $r+s=-b$ (un număr finit de cazuri de testat), iar rădăcinile sunt $\frac{r}{a}$ și $\frac{s}{a}.$ Cu alte cuvinte, există factorizarea

$a(a{x}^2+bx+c)=(ax-r)(ax-s).$

De exemplu, fie polinomul pătratic

$6x^2+13x+6.$

Inspecția factorilor lui Format:Math duce la Format:Math, dând cele două rădăcini

$r_1=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}\text{și}{r}_2=-\frac{9}{6}=-\frac{3}{2},$

și factorizarea

$6x^2+13x+6=6(x+\frac{2}{3})(x+\frac{3}{2})=(3x+2)(2x+3).$

Folosirea formulelor pentru rădăcinile polinoamelor

Orice Format:Ill-wd univariat $a{x}^2+bx+c$ poate fi factorizat folosind formula pătratică:

$a{x}^2+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=a(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}),$

Unde $\alpha$ și $\beta$ sunt cele două rădăcini ale polinomului.

Dacă Format:Math sunt numere reale, factorii sunt reali dacă și numai dacă Format:Ill-wd $b^2-4ac$ este nenegativ. În caz contrar, polinomul pătratic nu poate fi factorizat în factori reali neconstanți.

Formula pătratică este valabilă atunci când coeficienții aparțin oricărui corp de caracteristică diferită de doi și, în special, pentru coeficienți unui corp finit cu un număr impar de elemente.

Există și formule pentru rădăcinile polinoamelor cubice și de gradul patru, care sunt, în general, prea complicate pentru utilizare practică. Teorema Abel-Ruffini arată că nu există formule generale pentru rădăcini în termeni de radicali pentru polinoamele de gradul cinci sau mai mare.

Utilizarea relațiilor dintre rădăcini

Se poate întâmpla să se cunoască o relație între rădăcinile unui polinom și coeficienții săi. Folosirea acestor cunoștințe poate ajuta la factorizarea polinomului și la găsirea rădăcinilor acestuia. Teoria lui Galois se bazează pe un studiu sistematic al relațiilor dintre rădăcini și coeficienți, care includ formulele lui Vieta.

Aici, luăm în considerare cazul mai simplu în care două rădăcini $x_1$ și $x_2$ ale unui polinom $P(x)$ satisfac relația

$x_2=Q(x_1),$

unde Format:Mvar este un polinom.

Aceasta implică faptul că $x_1$ este o rădăcină comună a $P(Q(x))$ și $P(x).$ Prin urmare, este o rădăcină a Format:Ill-wd al acestor două polinoame. Rezultă că acest cel mai mare divizor comun este un factor neconstant al lui $P(x).$ Algoritmul lui Euclid pentru polinoame permite calculul acestui cel mai mare factor comun.

De exemplu, dacă se știe sau se intuiește că: $P(x)=x^3-5x^2-16x+80$ are două rădăcini a căror sumă este zero, se poate aplica algoritmul lui Euclid pe $P(x)$ și $P(-x).$ Primul pas al împărțirii constă în adunarea lui $P(x)$ la $P(-x),$ care dă restul

$-10(x^2-16).$

Atunci, împărțind $P(x)$ la $x^2-16$ dă zero ca rest nou și Format:Math ca coeficient, ceea ce duce la factorizarea completă

$x^3-5x^2-16x+80=(x-5)(x-4)(x+4).$

Domenii de factorizare unică

Numerele întregi și polinoamele peste un corp împărtășesc proprietatea factorizării unice, adică fiecare element diferit de zero poate fi factorizat într-un produs între un element inversabil (o Format:Ill-wd, ±1 în cazul numerelor întregi) și un produs de elemente ireductibile (numere prime, în cazul numerelor întregi), iar această factorizare este unică făcând abstracție de rearanjarea factorilor și schimbarea unităților între factori. Domeniile de integritate care împărtășesc această proprietate se numesc domenii de factorizare unică (DFU).

În domeniile de factorizare unică există cel mai mare divizor comun, și, reciproc, orice domeniu de integritate în care există cel mai mare divizor comun este un DFU. Orice Format:Ill-wd este un DFU.

Un Format:Ill-wd este un domeniu de integritate pe care este definită o împărțire euclidiană similară cu cea a numerelor întregi. Fiecare domeniu euclidian este un domeniu ideal principal și, prin urmare, un DFU.

Într-un domeniu euclidian, împărțirea euclidiană permite definirea unui algoritm al lui Euclid pentru calculul celor mai mari divizori comuni. Totuși, aceasta nu implică existența unui algoritm de factorizare. Există un exemplu explicit de corp Format:Mvar astfel încât nu există niciun algoritm de factorizare în domeniul euclidian Format:Math al polinoamelor univariate peste Format:Mvar.

Ideale

În Format:Ill-wd, studiul Format:Ill-wd i-a determinat pe matematicieni, în secolul al XIX-lea, să introducă generalizări ale numerelor întregi numite numere întregi algebrice. Primul inel de numere întregi algebrice care au fost luate în considerare au fost numerele întregi Format:Ill-wd și Format:Ill-wd, care împărtășesc cu numerele întregi uzuale proprietatea de a fi Format:Ill-wd și au astfel proprietatea de factorizare unică.

Din păcate, în curând a rezultat că majoritatea inelelor de numere întregi algebrice nu sunt principale și nu au factorizare unică. Cel mai simplu exemplu este $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}],$ în care

$9=3\cdot 3=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5}),$

și toți acești factori sunt ireductibili.

Această lipsă a factorizării unice este o dificultate majoră pentru rezolvarea ecuațiilor diofantice. De exemplu, multe demonstrații greșite ale ultimei teoreme a lui Fermat (incluzând probabil „demonstrația cu adevărat minunată a lui Fermat însuși, pe care această margine este prea îngustă pentru a o conține”) se bazau pe prezumția implicită a factorizării unice.

Această dificultate a fost rezolvată de Dedekind, care a demonstrat că inelele numerelor întregi algebrice au factorizarea unică a idealelor: în aceste inele, fiecare ideal este un produs al idealelor prime, iar această factorizare este unică făcând abstracție de ordinea factorilor. Domeniile de integritate care au această proprietate unică de factorizare sunt acum numite Format:Ill-wd. Au multe proprietăți remarcabile care le fac fundamentale în teoria numerelor algebrice.

Matrici

Inelele de matrici sunt necomutative și nu au factorizare unică: există, în general, multe moduri de a scrie o matrice ca produs de matrici. Astfel, problema factorizării constă în găsirea factorilor de anumite tipuri specificate. De exemplu, Format:Ill-wd dă o matrice ca produs al unei Format:Ill-wd inferior cu una triunghiulară superior. Deoarece acest lucru nu este întotdeauna posibil, se consideră în general „descompunerea LUP” având o matrice de permutare ca al treilea factor.

O Format:Ill-wd reprezintă o relație binară, iar înmulțirea matricei corespunde Format:Ill-wd. Descompunerea unei relații prin factorizare servește la profilarea naturii relației, cum ar fi o relație difuncțională .

Referințe

• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation

Legături externe

• Wolfram Alpha poate efectua factorizări .