Caracteristică (algebră)

În teoria algebrică a inelelor și a corpurilor, caracteristica este un număr caracteristic unui inel sau corp care arată de câte ori trebuie adunat elementul neutru multiplicativ pentru a se obține elementul neutru aditiv. Dacă acest lucru nu este posibil, se va considera că această caracteristică are valoarea zero.

Caracteristica unui inel

Se consideră un inel unitar nenul notat  $A(+,\cdot )$ . Dacă elementul 1 are ordinul infinit în grupul  $A(+,\cdot )$  se spune că A este un inel de caracteristică 0 și se scrie  $𝐜𝐚𝐫(A)=0.$  Deci:

 $𝐜𝐚𝐫(A)=0\iff n\cdot 1\ne 0,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}.$ 

Dacă ordinul lui 1 în grupul  $(A,+)$  este p, se spune că inelul A are caracteristică p și se scrie  $𝐜𝐚𝐫(A)=p.$  Acest lucru revine la a spune că p este cel mai mic număr natural nenul cu proprietatea că  $p\cdot 1=0.$ 

De exemplu, inelul întregilor este un inel de caracteristică 0, pe când  ${\mathbb{Z}}_3$  este inel de caracteristică 3.

Observație. Dacă inelul  $A(+,\cdot )$  este domeniu de integritate de caracteristică p, atunci p este număr prim.

Într-adevăr, dacă p nu ar fi prim, atunci de poate scrie  $p=p_1\cdot p_2$  cu  $p_1,p_2$  numere naturale mai mici decât p și diferite de 1 și p. Cum  $p\cdot 1=0$  iar  $(p_1\cdot p_2)\cdot 1=(p_1\cdot 1)\cdot (p_2\cdot 1)$  obținem că  $(p_1\cdot 1)\cdot (p_2\cdot 1)=0$  și cum A este domeniu de integritate, se deduce că  $p_1\cdot 1=0$  sau  $p_2\cdot 1=0,$  contradicând minimalitatea lui p cu proprietatea că  $p\cdot 1=0.$

Caracteristica unui corp

Caracteristica unui corp $𝕂$ este zero dacă acest corp conține un corp izomorf cu corpul $\mathbb{Q}$ al numerelor raționale, iar în caz contrar este numărul prim] p, pentru care:

$\underset{depori}{\underbrace{e+e+\cdots +e}}=0,$

unde e este elementul neutru pentru operația de înmulțire din $𝕂.$

Caracteristica unui corp $𝕂$ se determină astfel: se consideră omomorfismul de inele $f:\mathbb{Z}\to 𝕂,$ definit prin:

$f(1)=e$ deci $f(-1)=-e$ și

$f(n)=\{\begin{array}{cc}\underset{denori}{\underbrace{e+e+\cdots +e}},& pentrun>0\\ \underset{de-nori}{\underbrace{-e-e-\cdots -e}},& pentrun<0\end{array}$

și nucleul său, care fiind un subgrup în $\mathbb{Z},$ are forma $p\mathbb{Z},$ cu p întreg pozitiv. Dacă $p=0,$ atunci $\mathbb{Q}\subset 𝕂,$ deci $𝕂$ are caracteristica zero. Dacă $p\ne 0,$ atunci p este un număr prim și caracteristica lui $𝕂$ este p. Format:Portal Format:Ciot-matematică