Identități trigonometrice

Toate funcțiile trigonometrice de unghi θ pot fi construite geometric în termenii cercului unitate cu centrul în  O. Unele dintre aceste funcții nu mai sunt folosite în prezent.

Sinusul și cosinusul unor unghiuri particulare din cercul cu raza egală cu unitatea.

În matematică, identitățile trigonometrice sunt egalități care implică funcții trigonometrice și sunt adevărate pentru fiecare unică valoare a variabilei care apare. Geometric, acestea sunt identități care implică funcții de unul sau mai multe unghiuri. Acestea sunt distincte de identitățile triunghiurilor, care implică atât unghiurile cât și laturile triunghiului. Acest articol acoperă doar identitățile trigonometrice.

Aceste identități sunt utilizate acolo unde apar expresii care implică funcții trigonometrice, care trebuie să fie simplificate. O aplicație importantă este aceea a integralelor care nu conțin funcții trigonometrice, dar care implică folosirea acestor funcții prin aplicarea metodei substituției variabilelor, iar apoi simplificând integrala rezultantă prin identitățile trigonometrice.

Notații

Unghiuri

În general, pentru notația unghiurilor se folosesc literele grecești, precum alpha (α), beta (β), gamma (γ), theta (θ) etc. Sunt larg răspândite câteva modalități de măsurare a unghiurilor care folosesc unități de măsură precum radiani, grade sexagesimale și grade centezimale.

unghiul la centru corespunzător unui cerc întreg  = 360° = 2$\pi$ radiani  =  400 grade centezimale.

Următorul tablou arată conversiile pentru câteva unghiuri uzuale:

grade	30°	60°	120°	150°	210°	240°	300°	330°
Radiani	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{2\pi }{3}$	$\frac{5\pi }{6}$	$\frac{7\pi }{6}$	$\frac{4\pi }{3}$	$\frac{5\pi }{3}$	$\frac{11\pi }{6}$
grade cent	33⅓ grd c	66⅔ grd c	133⅓ grd c	166⅔ grd c	233⅓ grd c	266⅔ grd c	333⅓ grd c	366⅔ grd c
grade	45°	90°	135°	180°	225°	270°	315°	360°
Radiani	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{2}$	$\frac{3\pi }{4}$	$\pi$	$\frac{5\pi }{4}$	$\frac{3\pi }{2}$	$\frac{7\pi }{4}$	$2\pi$
grade cent	50 grd c	100 grd c	150 grd c	200 grad	250 grd c	300 grd c	350 grd c	400 grad

Dacă nu se specifică altfel, toate unghiurile din acest articol sunt date în radiani, iar unghiurile care se termină prin simbolul (°) sunt date în grade sexagesimale.

Funcții trigonometrice

Funcțiile trigonometrice primare sunt sinusul și cosinusul unui unghi. Acestea sunt câteodată abreviate Format:Math și Format:Math, Format:Mvar fiind unghiul, dar de multe ori parantezele din jurul unghiului sunt omise, scriindu-se Format:Math și Format:Math.

Tangenta, notată tg sau tan, unui unghi este raportul dintre sinus și cosinus:

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }.$

În final putem defini funcțiile reciproce, respectiv, secanta (sec) pentru cosinus, cosecanta (cosec sau csc) pentru sinus și cotangenta (ctg sau cot) pentru tangentă:

$\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta },\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta },\cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }=\frac{\cos \theta }{\sin \theta }.$

Funcții trigonometrice inverse

Format:Articol principal Funcțiile trigonometrice inverse sunt funcții inverse parțiale ale funcțiilor trigonometrice. De exemplu, inversa funcției sinus, cunoscută ca arcsin, satisface formula:

$\sin (\arcsin x)=x$

iar

$\arcsin (\sin \theta )=\theta \text{pentru }-\pi /2\le \theta \le \pi /2.$

În acest articol sunt folosite următoarele notații pentru funcțiile trigonometrice inverse:

Funcția	sin	cos	tan	sec	csc	cot
Funcția inversă	arcsin	arccos	arctan	arcsec	arccsc	arccot

Identitatea lui Pitagora

Relația de bază dintre sinus și cosinus este identitatea trigonometrică a lui Pitagora:

${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$

Aceasta poate fi văzută ca o versiune a teoremei lui Pitagora și se deduce din ecuația x² + y² = 1 pentru cercul unitate. Această ecuație poate fi rezolvată fie pentru sinus, fie pentru cosinus:

$\sin \theta =\pm \sqrt{1-{\cos }^2\theta }\text{și}\cos \theta =\pm \sqrt{1-{\sin }^2\theta }.$

Identități similare

Divizând identitatea lui Pitagora prin cos² θ sau sin² θ se obțin alte două identități:

$1+{\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta \text{și}1+{\cot }^2\theta ={\csc }^2\theta .$

Folosind aceste identități împreună cu identitățile de rapoarte, orice funcție trigonometrică se poate exprima în funcție de alte funcții trigonometrice (cu excepția semnului plus sau minus):

Fiecare funcție trigonometrică este dată în funcție de celelalte cinci.

$\sin \theta =$	$\sin \theta$	$\pm \sqrt{1-{\cos }^2\theta }$	$\pm \frac{\tan \theta }{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}$	$\frac{1}{\csc \theta }$	$\pm \frac{\sqrt{{\sec }^2\theta -1}}{\sec \theta }$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1+{\cot }^2\theta }}$
$\cos \theta =$	$\pm \sqrt{1-{\sin }^2\theta }$	$\cos \theta$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}$	$\pm \frac{\sqrt{{\csc }^2\theta -1}}{\csc \theta }$	$\frac{1}{\sec \theta }$	$\pm \frac{\cot \theta }{\sqrt{1+{\cot }^2\theta }}$
$\tan \theta =$	$\pm \frac{\sin \theta }{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}$	$\pm \frac{\sqrt{1-{\cos }^2\theta }}{\cos \theta }$	$\tan \theta$	$\pm \frac{1}{\sqrt{{\csc }^2\theta -1}}$	$\pm \sqrt{{\sec }^2\theta -1}$	$\frac{1}{\cot \theta }$
$\csc \theta =$	$\frac{1}{\sin \theta }$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1-{\cos }^2\theta }}$	$\pm \frac{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}{\tan \theta }$	$\csc \theta$	$\pm \frac{\sec \theta }{\sqrt{{\sec }^2\theta -1}}$	$\pm \sqrt{1+{\cot }^2\theta }$
$\sec \theta =$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}$	$\frac{1}{\cos \theta }$	$\pm \sqrt{1+{\tan }^2\theta }$	$\pm \frac{\csc \theta }{\sqrt{{\csc }^2\theta -1}}$	$\sec \theta$	$\pm \frac{\sqrt{1+{\cot }^2\theta }}{\cot \theta }$
$\cot \theta =$	$\pm \frac{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}{\sin \theta }$	$\pm \frac{\cos \theta }{\sqrt{1-{\cos }^2\theta }}$	$\frac{1}{\tan \theta }$	$\pm \sqrt{{\csc }^2\theta -1}$	$\pm \frac{1}{\sqrt{{\sec }^2\theta -1}}$	$\cot \theta$

Scurt istoric

Funcțiile versin, coversin, haversin și exsecant au fost folosite în navigație. De exemplu formula haversin-ului a fost folosită pentru a calcula distanța dintre două puncte de pe sferă. În ziua de azi au ieșit din uz și sunt foarte rar folosite.

Name(s)	Abbreviation(s)	Value
versed sine, versin	$\mathrm{versin}(\theta )$ $\mathrm{vers}(\theta )$ $\mathrm{ver}(\theta )$	$1-\cos (\theta )$
versed cosine, vercosin	$\mathrm{vercosin}(\theta )$	$1+\cos (\theta )$
coversed sine, coversin	$\mathrm{coversin}(\theta )$ $\mathrm{cvs}(\theta )$	$1-\sin (\theta )$
coversed cosine, covercosin	$\mathrm{covercosin}(\theta )$	$1+\sin (\theta )$
haversed sine, haversin	$\mathrm{haversin}(\theta )$	$\frac{1-\cos (\theta )}{2}$
haversed cosine, havercosin	$\mathrm{havercosin}(\theta )$	$\frac{1+\cos (\theta )}{2}$
hacoversed sine, hacoversin cohaversine	$\mathrm{hacoversin}(\theta )$	$\frac{1-\sin (\theta )}{2}$
hacoversed cosine, hacovercosin cohavercosine	$\mathrm{hacovercosin}(\theta )$	$\frac{1+\sin (\theta )}{2}$
exterior secant, exsecant	$\mathrm{exsec}(\theta )$	$\sec (\theta )-1$
exterior cosecant, excosecant	$\mathrm{excsc}(\theta )$	$\csc (\theta )-1$
coardă	$\mathrm{crd}(\theta )$	$2\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)$

Simetrie, deplasare și periodicitate

Prin examinarea cercului unitate, se pot stabili următoarele proprietăți ale funcțiilor trigonometrice.

Simetria

Deoarece funcțiile trigonometrice sunt ciclice pentru unghiuri, rezultatul este adesea o altă funcție trigonometrică. Acest lucru conduce la următoarele identități:

Ciclic în $\theta =0$	Ciclic în $\theta =\pi /2$ (identitate co-funcție)	Ciclic în $\theta =\pi$
$\begin{array}{cc}\sin (-\theta )& =-\sin \theta \\ \cos (-\theta )& =+\cos \theta \\ \tan (-\theta )& =-\tan \theta \\ \csc (-\theta )& =-\csc \theta \\ \sec (-\theta )& =+\sec \theta \\ \cot (-\theta )& =-\cot \theta \end{array}$	$\begin{array}{cc}\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )& =+\cos \theta \\ \cos (\frac{\pi }{2}-\theta )& =+\sin \theta \\ \tan (\frac{\pi }{2}-\theta )& =+\cot \theta \\ \csc (\frac{\pi }{2}-\theta )& =+\sec \theta \\ \sec (\frac{\pi }{2}-\theta )& =+\csc \theta \\ \cot (\frac{\pi }{2}-\theta )& =+\tan \theta \end{array}$	$\begin{array}{cc}\sin (\pi -\theta )& =+\sin \theta \\ \cos (\pi -\theta )& =-\cos \theta \\ \tan (\pi -\theta )& =-\tan \theta \\ \csc (\pi -\theta )& =+\csc \theta \\ \sec (\pi -\theta )& =-\sec \theta \\ \cot (\pi -\theta )& =-\cot \theta \\ \end{array}$

Deplasare și periodicitate

Deplasând funcția cu un anumit unghi, adesea este posibil să obținem o funcție trigonometrică diferită care exprimă rezultatul mult mai simplu. Sunt arătate câteva exemple de funcții deplasate cu Format:Math, Format:Math și Format:Math radiani. Deoarece perioada acestor funcții este Format:Math sau Format:Math, sunt cazuri în care noua funcție este exact aceeași ca cea veche, dar fără deplasare.

Deplasare Format:Math	Deplasare Format:Math Periodică pentru tan și cot	Deplasare Format:Math Periodică pentru sin, cos, csc și sec
$\begin{array}{cc}\sin (\theta +\frac{\pi }{2})& =+\cos \theta \\ \cos (\theta +\frac{\pi }{2})& =-\sin \theta \\ \tan (\theta +\frac{\pi }{2})& =-\cot \theta \\ \csc (\theta +\frac{\pi }{2})& =+\sec \theta \\ \sec (\theta +\frac{\pi }{2})& =-\csc \theta \\ \cot (\theta +\frac{\pi }{2})& =-\tan \theta \end{array}$	$\begin{array}{cc}\sin (\theta +\pi )& =-\sin \theta \\ \cos (\theta +\pi )& =-\cos \theta \\ \tan (\theta +\pi )& =+\tan \theta \\ \csc (\theta +\pi )& =-\csc \theta \\ \sec (\theta +\pi )& =-\sec \theta \\ \cot (\theta +\pi )& =+\cot \theta \\ \end{array}$	$\begin{array}{cc}\sin (\theta +2\pi )& =+\sin \theta \\ \cos (\theta +2\pi )& =+\cos \theta \\ \tan (\theta +2\pi )& =+\tan \theta \\ \csc (\theta +2\pi )& =+\csc \theta \\ \sec (\theta +2\pi )& =+\sec \theta \\ \cot (\theta +2\pi )& =+\cot \theta \end{array}$

Identități ale sumei și diferenței unghiurilor

Ilustrare a formulei sumei

Ilustrarea formulelor pentru sinus și cosinus, evidențiind segmentul de lungime unitate

Ele au fost stabilite pentru prima dată în secolul al X-lea de matematicianul persan Abū al-Wafā' Būzjānī.

O metodă de a demonstra aceste identități este aceea de a aplica formula lui Euler.

Sinus	$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
Cosinus	$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
Tangentă	$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$
Arcsinus	$\arcsin \alpha \pm \arcsin \beta =\arcsin (\alpha \sqrt{1-{\beta }^2}\pm \beta \sqrt{1-{\alpha }^2})$
Arccosinus	$\arccos \alpha \pm \arccos \beta =\arccos (\alpha \beta \mp \sqrt{(1-{\alpha }^2)(1-{\beta }^2)})$
Arctangentă	$\arctan \alpha \pm \arctan \beta =\arctan \left(\frac{\alpha \pm \beta }{1\mp \alpha \beta }\right)$

Exprimare prin produs matricial

Formulele sumei și diferenței pentru sinus și cosinus pot fi scrise sub formă matricială:

$\begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi \cos \theta -\sin \varphi \sin \theta & -\cos \varphi \sin \theta -\sin \varphi \cos \theta \\ \sin \varphi \cos \theta +\cos \varphi \sin \theta & -\sin \varphi \sin \theta +\cos \varphi \cos \theta \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\cos (\theta +\varphi )& -\sin (\theta +\varphi )\\ \sin (\theta +\varphi )& \cos (\theta +\varphi )\end{array}\right)\end{array}$

Suma Sinusului și a Cosinusului pentru o infinitate de unghiuri

$\sin \left(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\theta }_i\right)=\sum _{\text{odd}k\ge 1}(-1{)}^{(k-1)/2}\sum _{\begin{array}{c}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\ \left|A\right|=k\end{array}}(\prod _{i\in A}\sin {\theta }_i\prod _{i\in ̸A}\cos {\theta }_i)$

$\cos \left(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\theta }_i\right)=\sum _{\text{even}k\ge 0}(-1{)}^{k/2}\sum _{\begin{array}{c}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\ \left|A\right|=k\end{array}}(\prod _{i\in A}\sin {\theta }_i\prod _{i\in ̸A}\cos {\theta }_i)$

În aceste două identități apare o asimetrie care nu apare în cazul sumării unui număr finit de unghiuri. În fiecare produs, există numai factori sinus finiți și factori cosinus Format:Ill-wd.

Tangenta sumei mai multor unghiuri

Fie e_k (pentru k ∈ {0, ..., n}) polinomul simetric elementar de grad k în variabilele:

$x_i=\tan {\theta }_i$

pentru i ∈ {0, ..., n}, adică:

$\begin{array}{cc}{e}_0& =1\\ e_1& =\sum _{1\le i\le n}{x}_i& & =\sum _{1\le i\le n}\tan {\theta }_i\\ e_2& =\sum _{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j& & =\sum _{1\le i<j\le n}\tan {\theta }_i\tan {\theta }_j\\ e_3& =\sum _{1\le i<j<k\le n}{x}_i{x}_j{x}_k& & =\sum _{1\le i<j<k\le n}\tan {\theta }_i\tan {\theta }_j\tan {\theta }_k\\ & ⋮& & ⋮\end{array}$

Atunci

$\tan ({\theta }_1+\cdots +{\theta }_n)=\frac{e_1-e_3+e_5-\cdots }{e_0-e_2+e_4-\cdots },$

numărul de termeni depinzând de n.

De exemplu:

$\begin{array}{cc}\tan ({\theta }_1+{\theta }_2)& =\frac{e_1}{e_0-e_2}=\frac{x_1+x_2}{1-x_1{x}_2}=\frac{\tan {\theta }_1+\tan {\theta }_2}{1-\tan {\theta }_1\tan {\theta }_2},\\ \\ \tan ({\theta }_1+{\theta }_2+{\theta }_3)& =\frac{e_1-e_3}{e_0-e_2}=\frac{(x_1+x_2+x_3)-(x_1{x}_2{x}_3)}{1-(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)},\\ \\ \tan ({\theta }_1+{\theta }_2+{\theta }_3+{\theta }_4)& =\frac{e_1-e_3}{e_0-e_2+e_4}\\ \\ & =\frac{(x_1+x_2+x_3+x_4)-(x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_3{x}_4+x_2{x}_3{x}_4)}{1-(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_3{x}_4)+(x_1{x}_2{x}_3{x}_4)},\end{array}$

și așa mai departe. Cazul general poate fi demonstrat prin inducție matematică.

Secanta sumei mai multor unghiuri

$\sec ({\theta }_1+\cdots +{\theta }_n)=\frac{\sec {\theta }_1\cdots \sec {\theta }_n}{e_0-e_2+e_4-\cdots }$

în care e_k este polinomul simetric elementar de grad k de n variabile x_i = tan θ_i, i = 1, ..., n, iar numărul de termeni ai numitorului depind de  n.

De exemplu,

$\sec (\alpha +\beta +\gamma )=\frac{\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }.$

Formula unghiurilor multiple

Tn este polinomul Cebîșev de grad n	$\cos n\theta =T_n(\cos \theta )$
Sn este polinomul de dispersie de grad n	${\sin }^{2}n\theta =S_n({\sin }^2\theta )$
Formula lui Moivre, $i$ este unitatea imaginară	$\cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos (\theta )+i\sin (\theta ){)}^n$

$1+2\cos (x)+2\cos (2x)+2\cos (3x)+\cdots +2\cos (nx)=\frac{\sin \left((n+\frac{1}{2})x\right)}{\sin (x/2)}.$

Această funcție de x fiind nucleul lui Dirichlet.

Formulele unghiurilor duble, triple și a jumătății de unghi

Acestea pot fi obținute fie din identitățile sumei și diferenței, sau din formulelor multiplilor unghiurilor:

Formula unghiului dublu
$\begin{array}{cc}\sin 2\theta & =2\sin \theta \cos \theta \\ & =\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }\end{array}$	$\begin{array}{cc}\cos 2\theta & ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta \\ & =2{\cos }^2\theta -1\\ & =1-2{\sin }^2\theta \\ & =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }\end{array}$	$\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$	$\cot 2\theta =\frac{{\cot }^2\theta -1}{2\cot \theta }$
Formula unghiului triplu
$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$	$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$	$\tan 3\theta =\frac{3\tan \theta -{\tan }^3\theta }{1-3{\tan }^2\theta }$	$\cot 3\theta =\frac{3\cot \theta -{\cot }^3\theta }{1-3{\cot }^2\theta }$
Formula jumătății unghiului
$\sin \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}$	$\cos \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}}$	$\begin{array}{cc}\tan \frac{\theta }{2}& =\csc \theta -\cot \theta \\ & =\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}\\ & =\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }\\ & =\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }\end{array}$	$\begin{array}{cc}\cot \frac{\theta }{2}& =\csc \theta +\cot \theta \\ & =\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}\\ & =\frac{\sin \theta }{1-\cos \theta }\\ & =\frac{1+\cos \theta }{\sin \theta }\end{array}$

Faptul că formula unghiului triplu pentru sinus și cosinus implică puterile aceleiași funcții permite să se facă legătura dintre trisecțiunea unghiului cu rigla și compasul cu rezolvarea ecuației cubice, arătând că acest lucru este imposibil în general.

Există o formulă de calcul a identității trigonometrice pentru unghiul triplu, dar acesta cere găsirea rădăcinilor pentru ecuația cubică $x^3-\frac{3x+d}{4}=0$, în care x este valoarea necunoscută a funcției sinus a unghiului, iar d este valoarea cunoscută a funcției sinus pentru unghiul triplu. Oricum, discriminantul acestei ecuații este negativ, deci ecuația are trei rădăcini reale din care numai una este soluția căutată, dar niciuna din soluții nu este reductibilă la o expresie algebrică reală, astfel că, se folosesc numere complexe intermediare ale rădăcinii cubice, care se pot exprima numai prin termenii reali ai funcțiilor, folosind funcții hiperbolice.

Sinus, cosinus și tangenta unghiurilor multiple

Pentru unghiuri multiple specifice, acestea rezultă din formulele specifice de adunare a unghiurilor, în timp ce formula generală a fost găsita de matematicianul francez François Viète.

$\sin n\theta =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\cos }^k\theta {\sin }^{n-k}\theta \sin (\frac{1}{2}(n-k)\pi )$

$\cos n\theta =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\cos }^k\theta {\sin }^{n-k}\theta \cos (\frac{1}{2}(n-k)\pi )$

tan nθ poate fi scrisă în funcție de tan θ folosind relația de recurență:

$\tan (n+1)\theta =\frac{\tan n\theta +\tan \theta }{1-\tan n\theta \tan \theta }.$

iar cot nθ poate fi scrisă în funcție de cot θ folosind relația de recurență:

$\cot (n+1)\theta =\frac{\cot n\theta \cot \theta -1}{\cot n\theta +\cot \theta }.$

Metoda Cebîșev

Metoda Cebîșev este un algoritm recursiv pentru a afla formula celui de al n-lea multiplu al unui unghi cunoscând formulele pentru al (n − 1)-lea și al (n − 2)-lea.

Cosinusul pentru nx poate fi calculat din cosinusurile pentru (n − 1)x și (n − 2)x după cum urmează:

$\cos nx=2\cdot \cos x\cdot \cos (n-1)x-\cos (n-2)x$

Similar sin(nx) poate fi calculat din sinusul pentru (n − 1)x și (n − 2)x:

$\sin nx=2\cdot \cos x\cdot \sin (n-1)x-\sin (n-2)x$

Pentru tangentă este valabilă relația:

$\tan nx=\frac{\tan (n-1)x+\tan x}{1-\tan (n-1)x\tan x}$

Tangenta mediei

$\tan \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)=\frac{\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }=-\frac{\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }$

Setând α sau β la 0 găsim formula uzuală a tangentei jumătății unghiului.

Produsul infinit al lui Viète

$\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\theta }{4}\right)\cdot \cos \left(\frac{\theta }{8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cos \left(\frac{\theta }{2^n}\right)=\frac{\sin (\theta )}{\theta }=\mathrm{sinc}\theta .$

Formulele puterilor

Se obțin rezolvând versiunile a doua și a treia a formulelor cosinusului unghiului dublu.

Sinus	Cosinus	Altele
${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$	${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$	${\sin }^2\theta {\cos }^2\theta =\frac{1-\cos 4\theta }{8}$
${\sin }^3\theta =\frac{3\sin \theta -\sin 3\theta }{4}$	${\cos }^3\theta =\frac{3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}$	${\sin }^3\theta {\cos }^3\theta =\frac{3\sin 2\theta -\sin 6\theta }{32}$
${\sin }^4\theta =\frac{3-4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}$	${\cos }^4\theta =\frac{3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}$	${\sin }^4\theta {\cos }^4\theta =\frac{3-4\cos 4\theta +\cos 8\theta }{128}$
${\sin }^5\theta =\frac{10\sin \theta -5\sin 3\theta +\sin 5\theta }{16}$	${\cos }^5\theta =\frac{10\cos \theta +5\cos 3\theta +\cos 5\theta }{16}$	${\sin }^5\theta {\cos }^5\theta =\frac{10\sin 2\theta -5\sin 6\theta +\sin 10\theta }{512}$

iar termenii generali al puterilor funcțiilor Format:Nowrap sau Format:Nowrap sunt (pot fi deduși din formula lui Moivre, formula lui Euler sau binomul lui Newton).

	Cosinus	Sinus
$\text{Dacă }n\text{ este impar}$	${\cos }^n\theta =\frac{2}{2^n}\sum _{k=0}^{\frac{n-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cos ((n-2k)\theta )$	${\sin }^n\theta =\frac{2}{2^n}\sum _{k=0}^{\frac{n-1}{2}}(-1{)}^{(\frac{n-1}{2}-k)}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\sin ((n-2k)\theta )$
$\text{Dacă }n\text{ este par}$	${\cos }^n\theta =\frac{1}{2^n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}})+\frac{2}{2^n}\sum _{k=0}^{\frac{n}{2}-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cos ((n-2k)\theta )$	${\sin }^n\theta =\frac{1}{2^n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}})+\frac{2}{2^n}\sum _{k=0}^{\frac{n}{2}-1}(-1{)}^{(\frac{n}{2}-k)}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cos ((n-2k)\theta )$

Identitățile produselor prin sumă și al sumelor prin produse

Identitățile produsului prin sumă pot fi demonstrate prin aplicarea formulelor de adunare și scădere a unghiurilor.

Produsul prin sumă $\cos \theta \cos \phi =\frac{\cos (\theta -\phi )+\cos (\theta +\phi )}{2}$ $\sin \theta \sin \phi =\frac{\cos (\theta -\phi )-\cos (\theta +\phi )}{2}$ $\sin \theta \cos \phi =\frac{\sin (\theta +\phi )+\sin (\theta -\phi )}{2}$ $\cos \theta \sin \phi =\frac{\sin (\theta +\phi )-\sin (\theta -\phi )}{2}$

Suma prin produs $\sin \theta \pm \sin \phi =2\sin \left(\frac{\theta \pm \phi }{2}\right)\cos \left(\frac{\theta \mp \phi }{2}\right)$ $\cos \theta +\cos \phi =2\cos \left(\frac{\theta +\phi }{2}\right)\cos \left(\frac{\theta -\phi }{2}\right)$ $\cos \theta -\cos \phi =-2\sin \left(\frac{\theta +\phi }{2}\right)\sin \left(\frac{\theta -\phi }{2}\right)$

Alte identități similare

Dacă x, y și z sunt cele trei unghiuri ale oricărui triunghi, sau cu alte cuvinte:

dacă $x+y+z=\pi$,

atunci $\tan (x)+\tan (y)+\tan (z)=\tan (x)\tan (y)\tan (z).$

Dacă oricare unghi x, y sau z este un unghi de 90°, ambele părți ale egalului sunt infinite, dar nu sunt nici +∞ nici −∞. Pentru scopul actual are sens doar adăugarea punctului de la infinit de pe axa reală, abordată de tan(θ) drept tan(θ), fie prin valori pozitiv crescătoare, fie prin valori negativ descrescătoare. Aceasta este compactificarea topologică a axei reale.

dacă $x+y+z=\pi$,

atunci $\sin (2x)+\sin (2y)+\sin (2z)=4\sin (x)\sin (y)\sin (z).$

Identitatea cotangentă a lui Hermite

Charles Hermite a demonstrat următoarea identitate. Presupunând că a₁, ..., a_n sunt numere complexe, fară ca două din ele să difere printr-un multiplu întreg al lui  Format:Math. Fie

$A_{n,k}=\prod _{\begin{array}{c}1\le j\le n\\ j\ne k\end{array}}\cot (a_k-a_j)$

(în particular, A_1,1, fiind un produs vid este 1). Atunci

$\cot (z-a_1)\cdots \cot (z-a_n)=\cos \frac{n\pi }{2}+\sum _{k=1}^n{A}_{n,k}\cot (z-a_k).$

Cel mai simplu și netrivial exemplu este cazul  n = 2:

$\cot (z-a_1)\cot (z-a_2)=-1+\cot (a_1-a_2)\cot (z-a_1)+\cot (a_2-a_1)\cot (z-a_2)$

Teorema lui Ptolemeu

Dacă $w+x+y+z=\pi$

$\begin{array}{cc}\text{Atunci}& \sin (w+x)\sin (x+y)\\ & =\sin (x+y)\sin (y+z)\\ & =\sin (y+z)\sin (z+w)\\ & =\sin (z+w)\sin (w+x)=\sin (w)\sin (y)+\sin (x)\sin (z).\end{array}$

A patra identitate este teorema lui Ptolemeu adaptată limbajului trigonometric.

Combinații liniare

Din anumite puncte de vedere este important de știut că orice combinație liniară a undelor sinusoidale cu aceeași perioadă sau frecvență, dar defazată, este de asemenea o undă sinusoidală cu aceeași perioadă sau frecvență, dar cu alt defazaj. În cazul unei combinații liniare de unde sinus și cosinus (cosinus care este de fapt tot sinus dar defazat cu Format:Math):

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin (x+\phi )$

în care:

$\phi =\{\begin{array}{cc}\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)& \text{dacă }a\ge 0,\\ \pi -\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)& \text{dacă }a<0,\end{array}$

sau echivalent

$\phi =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)+\{\begin{array}{cc}0& \text{ dacă }a\ge 0,\\ \pi & \text{ dacă }a<0.\end{array}$

Mai general, pentru un defazaj arbitrar:

$a\sin x+b\sin (x+\alpha )=c\sin (x+\beta )$

în care:

$c=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \alpha },$

iar

$\beta =\arctan \left(\frac{b\sin \alpha }{a+b\cos \alpha }\right)+\{\begin{array}{cc}0& \text{ dacă }a+b\cos \alpha \ge 0,\\ \pi & \text{ dacă }a+b\cos \alpha <0.\end{array}$

Alte sume ale funcțiilor trigonometrice

Suma sinusurilor și a cosinusurilor cu argumente în progresie aritmetica :

$\sin \phi +\sin (\phi +\alpha )+\sin (\phi +2\alpha )+\cdots +\sin (\phi +n\alpha )=\frac{\sin \left(\frac{(n+1)\alpha }{2}\right)\cdot \sin (\phi +\frac{n\alpha }{2})}{\sin \frac{\alpha }{2}}.$

$\cos \phi +\cos (\phi +\alpha )+\cos (\phi +2\alpha )+\cdots +\cos (\phi +n\alpha )=\frac{\sin \left(\frac{(n+1)\alpha }{2}\right)\cdot \cos (\phi +\frac{n\alpha }{2})}{\sin \frac{\alpha }{2}}.$

Pentru orice a și b:

$a\cos (x)+b\sin (x)=\sqrt{a^2+b^2}\cos (x-\mathrm{atan2}(b,a))$

în care atan2(y, x) este generalizarea funcției arctan(y/x) care acoperă întreaga circumferință a cercului.

$\tan (x)+\sec (x)=\tan (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}).$

Această identitate este convenabilă uneori când ne gândim la gudermannian, care leagă funcțiile trigonometrice de cele hiperbolice fără a recurge la numerele complexe.

Dacă x, y și z sunt trei unghiuri ale oricărui triunghi, adică x + y + z = Format:Math, atunci

$\cot (x)\cot (y)+\cot (y)\cot (z)+\cot (z)\cot (x)=1.$

Câteva transformări de funcții raționale liniare

Dacă ƒ(x) este o funcție rațională liniară

$f(x)=\frac{(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha },$

și similar

$g(x)=\frac{(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta },$

atunci

$f(g(x))=g(f(x))=\frac{(\cos (\alpha +\beta ))x-\sin (\alpha +\beta )}{(\sin (\alpha +\beta ))x+\cos (\alpha +\beta )}.$

Mai concis, dacă pentru toți α avem ƒ_α ceea ce numim funcța ƒ de mai sus, atunci:

$f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.$

Dacă x este panta unei drepte, atunci ƒ(x) este panta rotației ei printr-un unghi −α.

Funcțiile trigonometrice inverse

$\arcsin (x)+\arccos (x)=\pi /2$

$\arctan (x)+\mathrm{arccot}(x)=\pi /2.$

$\arctan (x)+\arctan (1/x)=\{\begin{array}{cc}\pi /2,& \text{if }x>0\\ -\pi /2,& \text{if }x<0\end{array}$

Structura funcțiilor trigonometrice și a inverselor lor

$\sin [\arccos (x)]=\sqrt{1-x^2}$	$\tan [\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
$\sin [\arctan (x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$	$\tan [\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$
$\cos [\arctan (x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$	$\cot [\arcsin (x)]=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$
$\cos [\arcsin (x)]=\sqrt{1-x^2}$	$\cot [\arccos (x)]=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

Legătura cu funcția exponentială complexă

$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$ (formula lui Euler),

$e^{-ix}=\cos (-x)+i\sin (-x)=\cos (x)-i\sin (x)$

$e^{i\pi }=-1$ (identitatea lui Euler),

$\cos (x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

$\sin (x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

și prin urmare corolarul:

$\tan (x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{i(e^{ix}+e^{-ix})}=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

în care $i^2=-1$.

Formula produsului infinit

Cu aplicații la funcții speciale, sunt folositoare următoarele produse infinite pentru funcțiile trigonometrice: Format:Col-start Format:Col-2

$\sin x=x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{{\pi }^2{n}^2})$

$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x^2}{{\pi }^2{n}^2})$

$\frac{\sin x}{x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cos \left(\frac{x}{2^n}\right)$

$\cos x=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{{\pi }^2(n-\frac{1}{2}{)}^2})$

$\cosh x=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x^2}{{\pi }^2(n-\frac{1}{2}{)}^2})$

$|\sin x|=\frac{1}{2}\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sqrt[2^{n+1}]{|\tan \left(2^{n}x\right)|}$

Identități care nu au variabile

Identități curioase

$\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }=\frac{1}{8}$

este un caz special al unei identități care conține o variabilă:

$\prod _{j=0}^{k-1}\cos (2^{j}x)=\frac{\sin (2^{k}x)}{2^k\sin (x)}.$

O identitate similară este:

$\cos \frac{\pi }{7}\cos \frac{2\pi }{7}\cos \frac{3\pi }{7}=\frac{1}{8},$

precum și:

$\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{8}.$

Similar:

$\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }=\tan 80^{\circ }.$

Următoarea probabil că nu este cu adevărat o generalizare a unei identități care să conțină o variabilă (vezi explicația de mai jos):

$\cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }=\frac{1}{2}.$

Dacă se consideră următoarea identitate, cu unghiurile măsurate în radiani și având valoarea 21 la numitor, obținem:

$\cos \left(\frac{2\pi }{21}\right)+\cos (2\cdot \frac{2\pi }{21})+\cos (4\cdot \frac{2\pi }{21})$

$+\cos (5\cdot \frac{2\pi }{21})+\cos (8\cdot \frac{2\pi }{21})+\cos (10\cdot \frac{2\pi }{21})=\frac{1}{2}.$

Factorii 1, 2, 4 ,5 8 și 10 sunt intregi mai mici decât 21/2 și nu au factori comuni cu numarul 21.

Calculul lui Format:Math

O cale eficientă de a [[Pi|calcula pe Format:Math]] se bazează pe următoarea identitate fără variabile, datorată lui John Machin:

$\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$

sau, alternativ, folosind identitatea lui Leonhard Euler:

$\frac{\pi }{4}=5\arctan \frac{1}{7}+2\arctan \frac{3}{79}.$

Un mnemonic folositor pentru câteva valori ale sinusului și cosinusului

Pentru câteva unghiuri simple, sinusul și cosinusul iau forma $\sqrt{n}/2$ pentru 0 ≤ n ≤ 4, care sunt ușor de memorat.

$\begin{array}{ccccccccc}\sin 0& =& \sin 0^{\circ }& =& \sqrt{0}/2& =& \cos 90^{\circ }& =& \cos \left(\frac{\pi }{2}\right)\\ \\ \sin \left(\frac{\pi }{6}\right)& =& \sin 30^{\circ }& =& \sqrt{1}/2& =& \cos 60^{\circ }& =& \cos \left(\frac{\pi }{3}\right)\\ \\ \sin \left(\frac{\pi }{4}\right)& =& \sin 45^{\circ }& =& \sqrt{2}/2& =& \cos 45^{\circ }& =& \cos \left(\frac{\pi }{4}\right)\\ \\ \sin \left(\frac{\pi }{3}\right)& =& \sin 60^{\circ }& =& \sqrt{3}/2& =& \cos 30^{\circ }& =& \cos \left(\frac{\pi }{6}\right)\\ \\ \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)& =& \sin 90^{\circ }& =& \sqrt{4}/2& =& \cos 0^{\circ }& =& \cos 0\end{array}$

Colecție

Raportul de aur φ:

$\cos \left(\frac{\pi }{5}\right)=\cos 36^{\circ }=\frac{\sqrt{5}+1}{4}=\frac{\phi }{2}$

$\sin \left(\frac{\pi }{10}\right)=\sin 18^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{4}=\frac{\phi -1}{2}=\frac{1}{2\phi }$

Vezi și constante trigonometrice exacte.

Calcul diferențial și integral

În calculul diferențial relațiile de mai jos cer ca unghiurile să fie măsurate în radiani. Dacă funcțiile trigonometrice sunt definite în termeni geometrici, derivatele lor pot fi găsite prin verificarea a două limite. Prima este:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1,$

Verificabilă prin folosirea circului unitate. De asemenea se poate aplica regula lui L'Hopital: derivata sin x este cos x, iar derivata lui x este 1, deci găsim ușor limita știind că cos 0 = 1. A doua limită este:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=0,$

Verificabilă folosind tot regula lui L'Hopital. Dacă sinus și cosinus sunt definite prin seriile lor Taylor, atunci derivatele pot fi găsite prin diferențierea termen cu termen a seriilor de puteri.

$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

Restul funcțiilor trigonometrice pot fi diferențiate folosind identitatea de mai sus și regulile de derivare:

$\begin{array}{cccc}\frac{d}{dx}\sin x& =\cos x,& \frac{d}{dx}\arcsin x& =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \\ \frac{d}{dx}\cos x& =-\sin x,& \frac{d}{dx}\arccos x& =\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \\ \frac{d}{dx}\tan x& ={\sec }^{2}x,& \frac{d}{dx}\arctan x& =\frac{1}{1+x^2}\\ \\ \frac{d}{dx}\cot x& =-{\csc }^{2}x,& \frac{d}{dx}\mathrm{arccot}x& =\frac{-1}{1+x^2}\\ \\ \frac{d}{dx}\sec x& =\tan x\sec x,& \frac{d}{dx}\mathrm{arcsec}x& =\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\\ \\ \frac{d}{dx}\csc x& =-\csc x\cot x,& \frac{d}{dx}\mathrm{arccsc}x& =\frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\end{array}$

Identitățile integrale pot fi găsite în "Lista integralelor funcțiilor trigonometrice". Câteva forme generice sunt listate mai jos:

$\int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}={\sin }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int \frac{du}{a^2+u^2}=\frac{1}{a}{\tan }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int \frac{du}{u\sqrt{u^2-a^2}}=\frac{1}{a}{\sec }^{-1}\left|\frac{u}{a}\right|+C$

Implicații

Faptul că diferențierea funcțiilor trigonometrice sinus și cosinus rezultă din combinații liniare ale acelorași două funcții este de importanță fundamentală în multe domenii ale matematicii, precum ecuațiile diferențiale și transformata Fourier.

Definire prin exponențială

Funcție	Inversa funcției
$\sin \theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}$	$\arcsin x=-i\ln (ix+\sqrt{1-x^2})$
$\cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}$	$\arccos x=-i\ln (x+\sqrt{x^2-1})$
$\tan \theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}$	$\arctan x=\frac{i}{2}\ln \left(\frac{i+x}{i-x}\right)$
$\csc \theta =\frac{2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}$	$\mathrm{arccsc}x=-i\ln (\frac{i}{x}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})$
$\sec \theta =\frac{2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}$	$\mathrm{arcsec}x=-i\ln (\frac{1}{x}+\sqrt{1-\frac{i}{x^2}})$
$\cot \theta =\frac{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}$	$\mathrm{arccot}x=\frac{i}{2}\ln \left(\frac{x-i}{x+i}\right)$
$\mathrm{cis}\theta =e^{i\theta }$	$\mathrm{arccis}x=\frac{\ln x}{i}$

Diverse

Nucleul lui Dirichlet

Nucleul lui Dirichlet D_n(x) este funcția care apare în ambele părți ale următoarei identități:

$1+2\cos (x)+2\cos (2x)+2\cos (3x)+\cdots +2\cos (nx)=\frac{\sin \left[(n+\frac{1}{2})x\right]}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}.$

Convoluția oricărei funcții integrabile de perioadă Format:Math cu nucleul lui Dirichlet coincide cu funcția de gradul n din aproximarea Fourier. Același lucru este valabil pentru orice funcție generalizată.

Extensii ale formulei jumătății unghiului

Dacă facem schimbarea de variabilă:

$t=\tan \left(\frac{x}{2}\right),$

atunci

$\sin (x)=\frac{2t}{1+t^2}\text{ ; }\cos (x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}\text{ ; }{e}^{ix}=\frac{1+it}{1-it}$

în care $e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$

Aceste substituții sunt folositoare la transformarea funcțiilor sinus și cosinus în funcții raționale de t, pentru a găsi primitivele integralelor.

Bibliografie

• Format:Citat carte

Vezi și

• Coardă (geometrie)
• Teorema cosinusului
• Versinus

Legături externe

• Values of Sin and Cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of 5⅝°, and for the same angles Csc and Sec and Tan.