Binom

În algebră un binom (pl. binoame) este un polinom care este sumă a doi termeni, dintre care fiecare este un monom.

Definiție

Un binom este un polinom care este suma a două monoame. Un binom cu o singură variabilă nedeterminată poate fi scris sub forma

$a{x}^m-b{x}^n,$

unde Format:Mvar și Format:Mvar sunt numere, iar Format:Mvar și Format:Mvar sunt întregi nenegativi distincți, iar Format:Mvar este un simbol care notează valoarea nedeterminată, numită din motive istorice „variabilă”. În contextul polinoamelor Laurent, un „binom Laurent”, adesea numit, simplu, „binom” este definit similar, dar exponenții Format:Mvar și Format:Mvar pot fi negativi.

În general, un binom se poate scrie drept:

$a{x}_1^{n_1}\cdots x_i^{n_i}-b{x}_1^{m_1}\cdots x_i^{m_i}$

Exemple

$3x-2x^2$

$xy+y{x}^2$

$0,9x^3+\pi y^2$

$2x^3+7$

Operații cu binoame simple

• Binomul Format:Math poate fi Format:Ill-wdca un produs de alte binoame:

$x^2-y^2=(x-y)(x+y).$

Acesta este un caz particular al unei egalități mai generale:

$x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)\sum _{k=0}^n{x}^k{y}^{n-k}.$

Când se lucrează cu numere complexe, aceasta poate fi extinsă la:

$x^2+y^2=x^2-(iy{)}^2=(x-iy)(x+iy).$

• Produsul unei perechi de binoame liniare Format:Math și Format:Math este un trinom:

$(ax+b)(cx+d)=ac{x}^2+(ad+bc)x+bd.$

• Un binom ridicat la puterea Format:Math, reprezentat ca Format:Math, poate fi dezvoltat cu ajutorul binomului lui Newton, sau, echivalent, folosind triunghiul lui Pascal. De exemplu, pătratul Format:Math din binomul Format:Math este egal cu suma pătratelor celor doi termeni și de două ori produsul termenilor, adică:

$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2.$

Numerele (1, 2, 1) care apar drept coeficienți ai termenilor din această dezvoltare sunt coeficienții binomiali din al treilea rând al triunghiului lui Pascal. Creșterea exponentului Format:Math duce la utilizarea numerelor dn al Format:Math-lea rând al triunghiului.

• O aplicație a formulei de mai sus pentru pătratul unui binom este „formula Format:Math” pentru generarea tripletelor pitagoreice:

Pentru Format:Math, fie Format:Math, Format:Math și Format:Math; atunci Format:Math.

• Binoamele care sunt sume sau diferențe de cuburi pot fi factorizate în polinoame de grad mai mic cu relațiile:

$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$

$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite book