Aplicație multiliniară

În algebra liniară o aplicație multiliniară este o funcție de mai multe variabile care este liniară separat în fiecare variabilă. Mai precis, o aplicație multiliniară este o funcție

f : V_{1} \times \dots \times V_{n} \to W,

unde $V_{1}, \dots, V_{n}$ și $W$ sunt spații vectoriale (sau module peste un inel comutativ), cu următoarea proprietate: pentru fiecare $i$ , dacă toate variabilele cu excepția lui $v_{i}$ sunt menținute constante, atunci $f (v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{n})$ este o funcție liniară de $v_{i}$ .^[1]

O aplicație multiliniară de o variabilă este o aplicație liniară, iar de două variabile este o aplicație biliniară. În general, o aplicație multiliniară de Format:Mvar variabile se numește o aplicație Format:Mvar-liniară. Dacă codomeniul unei aplicații multiliniare este corpul scalarilor, se numește Format:Ill-wd. Aplicațiile multiliniare și formele multiliniare sunt obiecte fundamentale de studiu în algebra multiliniară.

Dacă toate variabilele aparțin aceluiași spațiu, formele pot fi simetrice, antisimetrice, sau aplicații k-liniare alternate. Acestea din urmă coincid dacă inelul subiacent (sau corpul) are o caracteristică diferită de 2, altfel primele două coincid.

Exemple

Orice aplicație biliniară este o aplicație multiliniară. De exemplu, orice produs scalar dintr-un spațiu vectorial este o aplicație multiliniară, la fel ca produsul vectorial al vectorilor din $ℝ^{3}$ .
Determinantul unei matrice este o funcție multiliniară alternată a coloanelor (sau liniilor) unei matrice pătrate.
Dacă $F : ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ este o Format:Ill-wd, atunci a Format:Mvar-a derivată a lui Format:Mvar în orice punct Format:Mvar din domeniul său poate fi văzută ca o Format:Mvar-funcție liniară simetrică $D^{k} F : ℝ^{m} \times \dots \times ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ .

Reprezentare prin coordonate

Fie $f : V_{1} \times \dots \times V_{n} \to W,$ o aplicație multiliniară în spațiile vectoriale finit dimensionale $V_{i}$ cu dimensiunea $d_{i}$ și $W$ un spațiu cu dimensiunea $d$ . Dacă se alege baza ${e_{i 1}, \dots, e_{i d_{i}}}$ pentru fiecare $V_{i}$ și baza ${b_{1}, \dots, b_{d}}$ pentru $W$ (folosind caractere grase pentru vectori), atunci se poate defini o colecție de scalari $A_{j_{1} \dots j_{n}}^{k}$ prin

f (e_{1 j_{1}}, \dots, e_{n j_{n}}) = A_{j_{1} \dots j_{n}}^{1} b_{1} + \dots + A_{j_{1} \dots j_{n}}^{d} b_{d} .

Atunci scalarii ${A_{j_{1} \dots j_{n}}^{k} ∣ 1 \leq j_{i} \leq d_{i}, 1 \leq k \leq d}$ determină complet funcția multiliniară $f$ . În particular, dacă

v_{i} = \sum_{j = 1}^{d_{i}} v_{i j} e_{i j}

pentru $1 \leq i \leq n$ , atunci

f (v_{1}, \dots, v_{n}) = \sum_{j_{1} = 1}^{d_{1}} \dots \sum_{j_{n} = 1}^{d_{n}} \sum_{k = 1}^{d} A_{j_{1} \dots j_{n}}^{k} v_{1 j_{1}} \dots v_{n j_{n}} b_{k} .

Exemple

Fie forma triliniară

g : R^{2} \times R^{2} \times R^{2} \to R,

unde Format:Math, iar Format:Math.

O bază pentru orice Format:Mvar este ${e_{i 1}, \dots, e_{i d_{i}}} = {e_{1}, e_{2}} = {(1, 0), (0, 1)} .$ Fie

g (e_{1 i}, e_{2 j}, e_{3 k}) = f (e_{i}, e_{j}, e_{k}) = A_{i j k},

unde $i, j, k \in {1, 2}$ . Cu alte cuvinte, constanta $A_{i j k}$ este o valoare a funcției în unul dintre cele opt triplete posibile ale vectorilor bazei (deoarece există două opțiuni pentru fiecare dintre cei trei $V_{i}$ ), și anume:

{e_{1}, e_{1}, e_{1}}, {e_{1}, e_{1}, e_{2}}, {e_{1}, e_{2}, e_{1}}, {e_{1}, e_{2}, e_{2}}, {e_{2}, e_{1}, e_{1}}, {e_{2}, e_{1}, e_{2}}, {e_{2}, e_{2}, e_{1}}, {e_{2}, e_{2}, e_{2}} .

Orice vector $v_{i} \in V_{i} = R^{2}$ poate fi exprimat printr-o combinație liniară a vectorilor bazei

v_{i} = \sum_{j = 1}^{2} v_{i j} e_{i j} = v_{i 1} \times e_{1} + v_{i 2} \times e_{2} = v_{i 1} \times (1, 0) + v_{i 2} \times (0, 1) .

Valoarea funcției pentru o colecție arbitrară de trei vectori $v_{i} \in R^{2}$ poate fi exprimată prin

g (v_{1}, v_{2}, v_{3}) = \sum_{i = 1}^{2} \sum_{j = 1}^{2} \sum_{k = 1}^{2} A_{i j k} v_{1 i} v_{2 j} v_{3 k} .

Sau, în formă dezvoltată

\begin{matrix} g ((a, b), (c, d) & , (e, f)) = a c e \times g (e_{1}, e_{1}, e_{1}) + a c f \times g (e_{1}, e_{1}, e_{2}) \\ + a d e \times g (e_{1}, e_{2}, e_{1}) + a d f \times g (e_{1}, e_{2}, e_{2}) + b c e \times g (e_{2}, e_{1}, e_{1}) + b c f \times g (e_{2}, e_{1}, e_{2}) \\ + b d e \times g (e_{2}, e_{2}, e_{1}) + b d f \times g (e_{2}, e_{2}, e_{2}) . \end{matrix}

Relația cu produsele tensoriale

Există o corespondență naturală biunivocă între aplicațiile multiliniare

f : V_{1} \times \dots \times V_{n} \to W,

și aplicațiile liniare

F : V_{1} \otimes \dots \otimes V_{n} \to W,

unde prin $V_{1} \otimes \dots \otimes V_{n}$ este notat Format:Ill-wd al $V_{1}, \dots, V_{n}$ . Relația dintre funcțiile $f$ și $F$ este dată de formula

f (v_{1}, \dots, v_{n}) = F (v_{1} \otimes \dots \otimes v_{n}) .

Funcții multiliniare pe matrici n×n

Se pot considera funcțiile multiliniare pe o matrice Format:Math peste un inel comutativ Format:Mvar cu element neutru, ca fiind funcții pe liniile (sau coloanele) matricei. Fie Format:Math o astfel de matrice, iar Format:Math rândurile ei. Atunci funcția multiliniară Format:Math poate fi scrisă

D (A) = D (a_{1}, \dots, a_{n}),

satisfăcând relația

D (a_{1}, \dots, c a_{i} + a_{i^{'}}, \dots, a_{n}) = c D (a_{1}, \dots, a_{i}, \dots, a_{n}) + D (a_{1}, \dots, a_{i^{'}}, \dots, a_{n}) .

Dacă ${\hat{e}}_{j}$ reprezintă a Format:Mvar-lea linie a matricei unitate, se poate exprima fiecare linie Format:Math ca suma

a_{i} = \sum_{j = 1}^{n} A (i, j) {\hat{e}}_{j} .

Folosind multiliniaritatea lui Format:Math se poate rescrie Format:Math sub forma

D (A) = D (\sum_{j = 1}^{n} A (1, j) {\hat{e}}_{j}, a_{2}, \dots, a_{n}) = \sum_{j = 1}^{n} A (1, j) D ({\hat{e}}_{j}, a_{2}, \dots, a_{n}) .

Continuând această substituție pentru toate valorile lui Format:Math se obține pentru Format:Math,

D (A) = \sum_{1 \leq k_{1} \leq n} \dots \sum_{1 \leq k_{i} \leq n} \dots \sum_{1 \leq k_{n} \leq n} A (1, k_{1}) A (2, k_{2}) \dots A (n, k_{n}) D ({\hat{e}}_{k_{1}}, \dots, {\hat{e}}_{k_{n}}) .

Prin urmare Format:Math este determinată unic prin modul cum operează Format:Mvar pe ${\hat{e}}_{k_{1}}, \dots, {\hat{e}}_{k_{n}}$ .

Exemple

În cazul matricilor 2×2 se obține

D (A) = A_{1, 1} A_{1, 2} D ({\hat{e}}_{1}, {\hat{e}}_{1}) + A_{1, 1} A_{2, 2} D ({\hat{e}}_{1}, {\hat{e}}_{2}) + A_{1, 2} A_{2, 1} D ({\hat{e}}_{2}, {\hat{e}}_{1}) + A_{1, 2} A_{2, 2} D ({\hat{e}}_{2}, {\hat{e}}_{2})

unde ${\hat{e}}_{1} = [1, 0]$ și ${\hat{e}}_{2} = [0, 1]$ . Dacă se restricționează $D$ să fie o funcție alternată, atunci $D ({\hat{e}}_{1}, {\hat{e}}_{1}) = D ({\hat{e}}_{2}, {\hat{e}}_{2}) = 0$ și $D ({\hat{e}}_{2}, {\hat{e}}_{1}) = - D ({\hat{e}}_{1}, {\hat{e}}_{2}) = - D (I)$ . Cu $D (I) = 1$ se obține determinantul matricilor 2×2:

D (A) = A_{1, 1} A_{2, 2} - A_{1, 2} A_{2, 1} .

Proprietăți

O aplicație multiliniară are valoarea zero ori de câte ori unul dintre argumentele sale este zero.

Note

↑ Format:En icon Format:Cite book

Vezi și

Format:Portal Format:Control de autoritate

[1] Format:En icon Format:Cite book

[1]

Aplicație multiliniară

Cuprins

Exemple

Reprezentare prin coordonate

Exemple

Relația cu produsele tensoriale

Funcții multiliniare pe matrici n×n

Exemple

Proprietăți

Note

Vezi și

Meniu de navigare

Aplicație multiliniară

Exemple

Reprezentare prin coordonate

Exemple

Relația cu produsele tensoriale

Funcții multiliniare pe matrici n×n

Exemple

Proprietăți

Note

Vezi și

Meniu de navigare

Căutare