Funcție simetrică

Format:Note de subsol2 În matematică, o funcție de $n$ variabile este simetrică dacă valoarea ei este aceeași, indiferent de ordinea argumentelor sale. De exemplu, o funcție $f(x_1,x_2)$ de două argumente este o funcție simetrică dacă și numai dacă $f(x_1,x_2)=f(x_2,x_1)$ pentru toate $x_1$ și $x_2$ astfel încât $(x_1,x_2)$ și $(x_2,x_1)$ sunt în domeniul lui $f.$ Cele mai frecvent întâlnite funcții simetrice sunt funcțiile polinomiale, care sunt date de Format:Ill-wd.

Simetrizare

Fiind dată o funcție $f$ cu $n$ variabile, cu valori într-un grup abelian, o funcție simetrică poate fi construită prin însumarea valorilor lui $f$ peste toate permutările argumentelor. Similar, o funcție antisimetrică poate fi construită prin însumarea permutărilor pare și scăderea permutărilor impare. Aceste operații nu sunt inversabile și ar putea avea ca rezultat o funcție care este zero pentru funcțiile netriviale $f.$ Singurul caz general în care $f$ poate fi dedusă dacă se cunosc atât simetrizarea cât și antisimetrizarea este atunci când $n=2$ și grupul abelian admite o împărțire cu 2 (inversa dublării); atunci $f$ este egală cu jumătate din suma simetrizării și antisimetrizării sale.

Exemple

• Fie funcția reală

$f(x_1,x_2,x_3)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).$

Prin definiție, o funcție simetrică cu $n$ variabile are proprietatea că

$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=f(x_2,x_1,\dots ,x_n)=f(x_3,x_1,\dots ,x_n,x_{n-1}),\text{ etc.}$

În general, funcția rămâne aceeași pentru orice permutare a variabilelor sale. Aceasta înseamnă că în acest caz

$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=(x-x_2)(x-x_1)(x-x_3)=(x-x_3)(x-x_1)(x-x_2)$

și așa mai departe pentru toate permutările lui $x_1,x_2,x_3.$

• Fie funcția

$f(x,y)=x^2+y^2-r^2.$

Dacă $x$ și $y$ sunt interschimbate, funcția devine

$f(y,x)=y^2+x^2-r^2,$

care dă exact aceleași rezultate ca și funcția inițială $f(x,y).$

• Fie acum funcția

$f(x,y)=a{x}^2+b{y}^2-r^2.$

Dacă $x$ și $y$ sunt interschimbate, funcția devine

$f(y,x)=a{y}^2+b{x}^2-r^2.$

Această funcție nu este aceeași cu cea inițială dacă $a\ne b,$ ceea ce o face nesimetrică.

Bibliografie

• Format:En icon F. N. David, M. G. Kendall, D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
• Format:En icon Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, Format:Isbn.