Funcție liniară

În matematică termenul funcție liniară se referă la două noțiuni diferite, dar înrudite:

• În calculul infinitezimal și în domeniile conexe, o funcție liniară este o funcție al cărei grafic este o dreaptă, adică o funcție polinomială de grad zero sau unu. Pentru a deosebi o astfel de funcție liniară de celălalt concept, adesea se folosește termenul de funcție afină.
• În algebra liniară, analiza matematică, și Format:Ill-wd o funcție liniară este o transformare liniară.

Ca funcție polinomială

Graficul a două funcții liniare.

În calculul infinitezimal, geometria analitică și domeniile înrudite, o funcție liniară este un polinom de gradul întâi sau mai mic, inclusiv polinomul zero (cel din urmă nefiind considerat a avea gradul zero).

Când funcția este de o singură variabilă, este de forma

$f(x)=ax+b,$

unde Format:Mvar și Format:Mvar sunt constante, adesea numere reale. Graficul unei astfel de funcții de o variabilă este o dreaptă neverticală. Format:Mvar este frecvent denumită „panta” dreptei, iar Format:Mvar ca „ordonata la origine” (în Format:En).

Când Format:Mvar crește, dacă Format:Mvar > 0, atunci panta este pozitivă, iar graficul urcă. Dacă Format:Mvar < 0, atunci panta este negativă, iar graficul coboară.

Pentru o funcție $f(x_1,\dots ,x_k)$ de oricâte variabile (dar în număr finit), formula generală este

$f(x_1,\dots ,x_k)=b+a_1{x}_1+\cdots +a_k{x}_k,$

iar graficul este un hiperplan de dimensiunea Format:Mvar.

O funcție constantă este de asemenea considerată liniară în acest context, deoarece este un polinom de grad zero sau este polinomul zero. Graficul său, când există o singură variabilă, este o dreaptă orizontală.

În acest context, o funcție care este și o transformare liniară (cealaltă semnificație) poate fi denumită funcție liniară Format:Ill-wd sau o Format:Ill-wd. În contextul algebrei liniare, funcțiile polinomiale de gradul 0 sau 1 sunt Format:Ill-wd cu valori scalare.

Ca transformare liniară

Integrala unei funcții este o transformare liniară de la spațiul vectorial al funcțiilor integrabile la numerele reale

În algebra liniară o funcție liniară este o aplicație Format:Mvar între două spații vectoriale astfel încât

$f(𝐱+𝐲)=f(𝐱)+f(𝐲)$

$f(a𝐱)=af(𝐱).$

Aici cu Format:Mvar este notată o constantă din corpul Format:Mvar al scalarilor (de exemplu numerele reale), iar Format:Math și Format:Math sunt elemente ale unui spațiu vectorial, care ar putea fi chiar Format:Mvar.

Alfel spus, funcția liniară conservă adunarea vectorială și înmulțirea cu un scalar.

Unii autori folosesc denumirea de „funcție liniară” doar pentru aplicațiile liniare care iau valori în corpul scalarilor; acestea sunt de obicei numite Format:Ill-wd.

„Funcțiile liniare” din calculul infinitezimal se califică drept „transformări liniare” dacă și numai dacă Format:Math sau, echivalent, atunci când constanta Format:Mvar este egală cu zero în polinomul descris mai sus. Geometric, graficul funcției trebuie să treacă prin origine.

Bibliografie

• Format:En icon Izrail Moiseevich Gelfand (1961), Lectures on Linear Algebra, Interscience Publishers, Inc., New York. Reprinted by Dover, 1989. Format:Isbn
• Format:En icon Thomas S. Shores (2007), Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. Format:Isbn
• Format:En icon James Stewart (2012), Calculus: Early Transcendentals, edition 7E, Brooks/Cole. Format:Isbn
• Format:En icon Leonid N. Vaserstein (2006), "Linear Programming", in Leslie Hogben, ed., Handbook of Linear Algebra, Discrete Mathematics and Its Applications, Chapman and Hall/CRC, chap. 50. Format:Isbn