Aplicație multiliniară alternată

În algebra liniară o aplicație multiliniară alternată este o aplicație multiliniară cu toate argumentele aparținând aceluiași spațiu vectorial (de exemplu, o formă biliniară sau o Format:Ill-wd) care ia valoarea zero ori de câte ori în vreo pereche de argumente acestea sunt egale. În general spațiul vectorial poate fi un Format:Ill-wd peste un inel comutativ.

Noțiunea de alternare este folosită pentru a obține o aplicație multiliniară alternată din orice aplicație multiliniară cu toate argumentele aparținând aceluiași spațiu.

Definiție

Fie $R$ un inel comutativ și $V,W$ module peste $R$. Despre o aplicație multiliniară de forma $f:V^n\to W$ se spune că este alternată dacă îndeplinește următoarele condiții echivalente:

1. ori de câte ori $1\le i\le n-1$ astfel încât $x_i=x_{i+1},$ există $f(x_1,\dots ,x_n)=0.$
2. ori de câte ori $1\le i\ne j\le n$ astfel încât $x_i=x_j,$ există $f(x_1,\dots ,x_n)=0.$

Spații vectoriale

Fie $V,W$ spații vectoriale peste același corp. Atunci o aplicație multiliniară de forma $f:V^n\to W$ este una alternată dacă îndeplinește următoarea condiție:

• dacă $x_1,\dots ,x_n$ sunt Format:Ill-wd atunci $f(x_1,\dots ,x_n)=0$.

Exemple

Într-o Format:Ill-wd, parantezele Lie indică o aplicație biliniară alternată. Determinantul unei matrice este o aplicație alternată multiliniară a liniilor sau coloanelor matricei.

Proprietăți

Dacă orice componentă $x_i$ a unei aplicații multiliniare alternate este înlocuită cu $x_i+c{x}_j$ pentru orice $j\ne i$ și $c$ în baza inelului $R,$ atunci valoarea acelei aplicații nu se schimbă.

Orice aplicație multiliniară alternată este antisimetrică, ceea ce înseamnă că

$f(\dots ,x_i,x_{i+1},\dots )=-f(\dots ,x_{i+1},x_i,\dots )\text{ for any }1\le i\le n-1,$

sau echivalent,

$f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=(\mathrm{sgn}\sigma )f(x_1,\dots ,x_n)\text{ for any }\sigma \in S_n,$

unde $S_n$ este Format:Ill-wd de ordinul $n$ iar $\mathrm{sgn}\sigma$ este semnul lui $\sigma .$

Dacă $n!$ este o Format:Ill-wdîn inelul bazei, $R,$ atunci orice formă Format:Mvar-multiliniară antisimetrică este una alternată.

Alternare

Fiind dată o aplicație multiliniară de forma $f:V^n\to W,$ despre aplicația multiliniară alternată $g:V^n\to W$ definită de

$g(x_1,\dots ,x_n):=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})$

se spune că este alternarea lui $f.$

Proprietăți

• Alternarea unei aplicații alternate Format:Mvar-multiliniare este de Format:Mvar! ori pe sine însăși.
• Alternarea unei aplicații simetrice este zero.
• Alternarea unei aplicații biliniare este biliniară.

Bibliografie

• Format:Fr icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book

Vezi și

• Aplicație
• Aplicație multiliniară
• Format:Ill-wd
• Algebră multiliniară