Inel artinian

În matematică, în special în algebra abstractă, un inel artinian^[1] este un inel care satisface condiția lanțului descendent la idealele unilaterale, adică nu există o succesiune infinită descendentă de ideale. Inelele artiniene sunt numite după Emil Artin, care a descoperit pentru prima dată condiția lanțului descendent pentru ideale, generalizând simultan Format:Ill-wd și inelele care sunt spații vectoriale finit dimensionale peste corpuri.

Mai exact, un inel este artinian stâng dacă satisface condiția lanțului descendent la idealele stângi, artinian drept dacă satisface condiția lanțului descendent la idealele drepte și artinian sau artinian bilateral dacă este și artinian stâng și dreapt.^[2] La inele comutative definițiile pentru stâng și drept coincid, dar în cazul general sunt distincte una de alta.

Teorema Wedderburn–Artin caracterizează orice inel artinian simplu ca fiind un Format:Ill-wd peste un corp. Aceasta implică faptul că un inel simplu este artinian stâng dacă și numai dacă este artinian drept.

Aceeași definiție și terminologie pot fi aplicate și la Format:Ill-wd, cu idealele înlocuite cu submodule.

Deși condiția lanțului descendent pare duală față de condiția lanțului ascendent, în inele este de fapt condiția mai puternică. Mai exact, o consecință a teoremei Hopkins–Levitzki este că un inel artinian stâng (respectiv drept) este automat un Format:Ill-wd stâng (respectiv drept). Acest lucru nu este valabil pentru module în general, adică un Format:Ill-wd nu trebuie să fie un modul noetherian.

Exemple și contraexemple

Un domeniu de integritate este artinian dacă și numai dacă este un corp.
Un inel cu multe ideale finite, să zicem stângi, este artinian. În particular, un Format:Ill-wd (de exemplu $ℤ / n ℤ$ ) este artinian bilateral.
Fie k un corp. Atunci $k [t] / (t^{n})$ este artinian pentru orice număr întreg n pozitiv.
Similar, $k [x, y] / (x^{2}, y^{3}, x y^{2}) = k \oplus k \cdot x \oplus k \cdot y \oplus k \cdot x y \oplus k c d o t y^{2}$ este un inel artinian cu idealul maximal $(x, y)$ .
Fie $x$ un automorfism între un spațiu vectorial finit dimensional V. Atunci subalgebra $A \subset End (V)$ generată de $x$ este un inel artinian comutativ.
Dacă I este un ideal nenul al unui Format:Ill-wd A, atunci $A / I$ este un inel de ideale principale artinian.^[3]
Pentru orice $n \geq 1$ , întregul inel de matrici $M_{n} (R)$ peste un inel artinian stâng (respectiv noetherian stâng) R este artinian stâng (respectiv noetherian stâng).^[4]

Următoarele două sunt exemple de inele care nu sunt artiniene.

Dacă R este orice inel, atunci Format:Ill-wd R[x] nu este artinian, deoarece idealul generat de $x^{n + 1}$ este conținut (corespunzător) în idealul generat de $x^{n}$ pentru toate numerele naturale n. În schimb, dacă R este noetherian, la fel este și R[x] după Format:Ill-wd.
Inelul numerelor întregi $ℤ$ este un inel noetherian, dar nu este artinian.

Module peste inele artiniene

Fie M un modul stâng peste un inel artinian stâng. Atunci următoarele sunt echivalente (teorema lui Hopkins–Levitzki): (i) M este Format:Ill-wd, (ii) M are Format:Ill-wd finită (adică are Format:Ill-wd), (iii) M este noetherian, (iv) M este artinian.^[5]

Inele artiniene comutative

Fie A un inel noetherian comutativ cu Format:Ill-wd. Atunci următoarele propoziții sunt echivalente.

A este artinian.
A este un produs finit de Format:Ill-wd artiniene comutative.^[6]
A / nil(A) este un inel semisimplu, unde nil(A) este nilradicalul al A.
Fiecare modul finit generat peste A are lungime finită.
A are Format:Ill-wd zero.^[7] (În particular, nilradicalul este Format:Ill-wd deoarece idealele prime sunt maximale.)
$Spec A$ este finit și discret.^[8]

Fie k un corp și A o k-algebră finit generată. Atunci A este artinian dacă și numai dacă A este finit generat drept k-modul.

Un inel local artinian este complet. Inelul factor și Format:Ill-wd unui inel artinian sunt artiniene.

Inel artinian simplu

O versiune a teoremei Wedderburn–Artin afirmă că un inel artinian simplu A este un inel de matrici peste un corp.^[9]

Este surjectiv.

Demonstrație: Dacă nu este injectiv, atunci fie

a_{1} y_{1} = a_{2} y_{2} + \dots + a_{k} y_{k}

cu

y_{1}

nenul. Atunci, prin minimalitatea lui I, avem:

y_{1} A = I

.

Prin urmare:

a_{1} I = a_{1} y_{1} A \subset a_{2} I + \dots + a_{k} I

, :care contrazice minimalitatea lui k.

Prin urmare,

I^{\oplus k} ≃ A

și,

prin urmare,

A ≃ {End}_{A} (A) ≃ M_{k} ({End}_{A} (I))

.

Note

↑ Mihai Cipu Module noetheriene și module artiniene (curs), Institutul de Matematică „Simion Stoilow” al Academiei Române, accesat 2023-11-02
↑ Brešar, 2014, p. 73
↑ Clark, Teorema 20.11
↑ Cohn, 2003, 5.2 Exercise 11
↑ Bourbaki, 2012, VIII, p. 7
↑ Atiyah, Macdonald, 1969, Theorems 8.7
↑ Atiyah, Macdonald, 1969, Thorems 8.5
↑ Atiyah, Macdonald, 1969, Ch. 8, Exercise 2
↑ Milnor, 1971, p. 144

Bibliografie

Format:En icon Format:Citation
Format:Fr icon Format:Cite book
Format:En icon Charles Hopkins. Rings with minimal condition for left ideals. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 712–730.
Format:En icon Format:Citation
Format:En icon Format:Cite book
Format:En icon Format:Cite book
Format:En icon Format:Cite web
Format:En icon Format:Citation

Format:Portal

[MC-1] Mihai Cipu Module noetheriene și module artiniene (curs), Institutul de Matematică „Simion Stoilow” al Academiei Române, accesat 2023-11-02

[2] Brešar, 2014, p. 73

[3] Clark, Teorema 20.11

[4] Cohn, 2003, 5.2 Exercise 11

[5] Bourbaki, 2012, VIII, p. 7

[6] Atiyah, Macdonald, 1969, Theorems 8.7

[7] Atiyah, Macdonald, 1969, Thorems 8.5

[8] Atiyah, Macdonald, 1969, Ch. 8, Exercise 2

[9] Milnor, 1971, p. 144

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Inel artinian

Cuprins

Exemple și contraexemple

Module peste inele artiniene

Inele artiniene comutative

Inel artinian simplu

Note

Bibliografie

Meniu de navigare

Inel artinian

Exemple și contraexemple

Module peste inele artiniene

Inele artiniene comutative

Inel artinian simplu

Note

Bibliografie

Meniu de navigare

Căutare