Dimensiune (spațiu vectorial)

În matematică, dimensiunea unui spațiu vectorial V este Format:Ill-wd (adică numărul de vectori) al unei baze a lui V peste corpul care definește spațiul. Uneori este numită dimensiune Hamel (după Format:Ill-wd) sau dimensiune algebrică pentru a fi deosebită de alte tipuri de dimensiuni.

Ținând cont de axioma alegerii, pentru fiecare spațiu vectorial există o bază, iar toate bazele unui spațiu vectorial au aceeași cardinalitate (v. teorema dimensiunii pentru spații vectoriale); ca rezultat, dimensiunea unui spațiu vectorial este definită în mod unic. Se spune că V este finit dimensional dacă dimensiunea lui V este finită, și infinit dimensional dacă dimensiunea sa este infinită.

Dimensiunea spațiului vectorial Format:Math peste corpul Format:Math poate fi scrisă ca Format:Math sau ca Format:Math, a se citi „dimensiunea lui V peste F”. Atunci când Format:Math poate fi dedus din context, se scrie Format:Math.

Exemple

Spațiul vectorial R³ are

$\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\}$

ca bază canonică, ca urmare ${\dim }_{ℝ}({ℝ}^3)=3$. Mai general, ${\dim }_{ℝ}({ℝ}^n)=n$ și, chiar mai general, Format:Math pentru orice corp Format:Math.

Numerele complexe $ℂ$ sunt spațiu vectorial atât real cât și complex; avem ${\dim }_{ℝ}(ℂ)=2$ și ${\dim }_{ℂ}(ℂ)=1$. Deci dimensiunea depinde și de corp.

Singurul spațiu vector de dimensiune 0 este {0}, spațiul vectorial fiind format doar din elementul său neutru.

Fapte

Dacă W este un Format:Ill-wd al lui V, atunci dim(W) ≤ dim (V).

Pentru a demonstra că două spații vectoriale finit-dimensionale sunt egale, se utilizează adesea următorul criteriu: dacă V este un spațiu vectorial finit-dimensional și W este un subspațiu vectorial al lui V cu dim(W) = dim(V), atunci W = V.

${ℝ}^n$ are baza canonică Format:Math_, unde Format:Math este a i-a coloană a matricei unitate corespunzătoare. Așadar, ${ℝ}^n$ are dimensiune Format:Math.

Oricare două spații vectoriale peste F cu aceeași dimensiune sunt izomorfe. Orice aplicație bijectivă între bazele lor poate fi extinsă în mod unic la o aplicație liniară bijectivă între spațiile vectoriale. Dacă B este o mulțime, un spațiu vectorial cu dimensiune | B | peste F poate fi construit după cum urmează: se ia mulțimea F^(B) a tuturor funcțiilor f : B → F astfel încât f(b) = 0 pentru toate elementele cu excepția unui număr finit, din B. Aceste funcții pot fi adunate și înmulțite cu elemente ale lui F și se obține spațiul vectorial peste F dorit.

Pentru aplicațiile liniare, un rezultat important despre dimensiuni este dat de Format:Ill-wd.

Dacă F/K este o extindere de corp, atunci F este în special un spațiu vectorial peste K. Mai mult decât atât, fiecare spațiu vectorial V peste F este, de asemenea, un spațiu vectorial peste K. Dimensiunile sunt legate prin formula

Format:Math

În particular, orice spațiu vectorial complex de dimensiune Format:Math este un spațiu vectorial real de dimensiune Format:Math.

Unele relații simple leagă dimensiunea unui spațiu vectorial de cardinalitatea corpului și de cardinalitatea spațiului însuși. Dacă Format:Math este un spațiu vectorial peste un corp Format:Math, atunci, notând dimensiunea lui Format:Math cu Format:Math, avem:

• Dacă dim V este finită, atunci Format:Math
• Dacă dim V este infinită, atunci Format:Math

Generalizări

Un spațiu vectorial poate fi considerat un caz particular al unui Format:Ill-wd, iar în acesta din urmă există o noțiune bine definită a dimensiunii. Format:Ill-wd și Format:Ill-wd au ambele proprietăți similare cu dimensiunea spațiilor vectoriale.

Format:Ill-wd a unui inel comutativ, numită după Wolfgang Krull (1899–1971), este definită a fi numărul maxim de incluziuni stricte într-un lanț tot mai mare de ideale prime în inel.

Urma

Dimensiunea unui spațiu vectorial poate fi caracterizată ca o urmă a operatorului de identitate. De exemplu, $\mathrm{tr}{\mathrm{id}}_{{𝐑}^2}=\mathrm{tr}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=1+1=2.$Aceasta pare a fi o definiție circulară, dar permite generalizări utile.

În primul rând, permite să se definească o noțiune de dimensiune atunci când avem o urmă, dar nu și o noțiune naturală a bazei. De exemplu, se poate avea o algebră A cu aplicații $\eta :K\to A$(incluziunea scalarilor, numită unitate) și o aplicație $ϵ:A\to K$ (corespunzătoare urmei, numit Format:Ill-wd). Compozitia $ϵ\circ \eta :K\to K$ este un scalar (fiind un operator liniar pe un spațiu 1-dimensional) corespunde unei „urme a identității” și dă o noțiune de dimensiune pentru o algebră abstractă. În practică, în Format:Ill-wd se cere ca această aplicație să fie identitatea, care poate fi obținută prin normalizarea counității împărțind la dimensiune ($ϵ:=\frac{1}{n}\mathrm{tr}$), astfel încât în aceste cazuri constanta de normalizare să corespundă dimensiunii.

Alternativ, este posibil să se ia o urmă de operatori într-un spațiu infinit dimensional; în acest caz este definită o urmă (finită), chiar dacă nu există o dimensiune (finită) și se dă o noțiune de „dimensiune a operatorului”. Acestea intră sub rubrica „operatorilor de Format:Ill-wd” pe un spațiu Hilbert sau, în general, pe Format:Ill-wd pe un spațiu Banach.

O generalizare mai subtilă este aceea de a considera urma unei familii de operatori ca un fel de dimensiune „răsturnată”. Acest lucru apare semnificativ în teoria reprezentării, unde caracterul unei reprezentări este urma reprezentării, deci o funcție scalară pe un grup $\chi :G\to K$a căror valoare pe identitatea $1\in G$ este dimensiunea reprezentării, deoarece o reprezentare trimite identitatea din grup la matricea identitate: $\chi (1_G)=\mathrm{tr}{I}_V=\dim V.$ Se pot vizualiza celelalte valori $\chi (g)$ale caracterului ca dimensiuni „răsturnate” și se pot găsi analoage sau generalizări ale afirmațiilor despre dimensiuni la afirmații despre caractere sau reprezentări. Un exemplu sofisticat al acestei situații apare în teoria Format:Ill-wd : Format:Ill-wd este Format:Ill-wd a unei reprezentări gradate infinit-dimensionale a Format:Ill-wd și înlocuirea dimensiunii cu caracterul dă seria McKay-Thompson pentru fiecare element al grupului Monster.

Legături externe

• Curs de algebră liniară de la MIT despre independență, baze și dimensiuni de Gilbert Strang la MIT OpenCourseWare