Radical al unui ideal

Format:Distinge În Format:Ill-wd radicalul unui ideal $I$ al unui inel comutativ este un alt ideal definit de proprietatea că un element $x$ aparține radicalului dacă și numai dacă o putere a lui $x$ este în $I$. Un ideal radical (sau ideal semiprim) este un ideal care este egal cu radicalul său. Radicalul unui ideal primar este un ideal prim.

Acest concept este generalizat pentru Format:Ill-wd în articolul inel semiprim.

Definiție

Radicalul unui ideal $I$ dintr-un inel comutativ $R$, notat cu $\mathrm{rad}(I)$ sau $\sqrt{I}$, este definit ca

$\sqrt{I}=\{r\in R\mid r^n\in I\text{ pentru unii }n\in {\mathbb{Z}}^{+}\},$

(de notat că $I\subset \sqrt{I}$). Intuitiv, $\sqrt{I}$ este format din toate rădăcinile elementelor lui $I$ din inelul $R$. Echivalent, $\sqrt{I}$ este inversul imaginii idealului elementelor nilpotente (nilradicalul) ale inelului factor $R/I$ (prin aplicația naturală $\pi :R\to R/I$). Se poate demonstra că $\sqrt{I}$ este un ideal.

Dacă radicalul lui $I$ este finit generat, atunci o putere a lui $\sqrt{I}$ este conținută în $I$. În particular, dacă $I$ și $J$ sunt idealele unui Format:Ill-wd, atunci $I$ și $J$ au același radical dacă și numai dacă $I$ conține o anumită putere a lui $J$ și $J$ conține o anumită putere a lui $I$.

Dacă un ideal $I$ coincide cu propriul său radical, atunci $I$ se numește ideal radical sau ideal semiprim.

Exemple

• Fie inelul $\mathbb{Z}$ al numerelor intregi.
  1. Radicalul idealului $4\mathbb{Z}$ al multiplilor întregi ai lui $4$ este $2\mathbb{Z}$.
  2. Radicalul lui $5\mathbb{Z}$ este $5\mathbb{Z}$.
  3. Radicalul lui $12\mathbb{Z}$ este $6\mathbb{Z}$.
  4. În general, radicalul lui $m\mathbb{Z}$ este $r\mathbb{Z}$, unde $r$ este produsul tuturor factorilor primi distincți din $m$, cel mai mare factor liber de pătrate al $m.$ De fapt, acest lucru se generalizează la un ideal arbitrar (v. mai jos).

• Fie idealul $I=\left(y^4\right)\subset ℂ[x,y]$. Este trivial de arătat că $\sqrt{I}=(y)$ (folosind proprietatea de bază $\sqrt{I^n}=\sqrt{I}$). Radicalul $\sqrt{I}$ corespunde cu nilradicalul $\sqrt{0}$ al inelului factor $R=ℂ[x,y]/\left(y^4\right)$, care este intersecția tuturor idealelor prime ale inelului factor. Acesta este conținut în Format:Ill-wd, care este intersecția tuturor idealelor maximale, care sunt Format:Ill-wd Format:Ill-wd cu corpurile. Orice homomorfism de inele $R\to ℂ$ trebuie să aibă $y$ în nucleu pentru a avea un homomorfism bine definit (dacă, de exemplu, am spune că nucleul ar trebui să fie $(x,y-1)$ compunerea $ℂ[x,y]\to R\to ℂ$ ar fi $(x,y^4,y-1)$ care este același lucru cu încercarea de a forța $1=0$). Deoarece $ℂ$ este un corp algebric închis, orice homomorfism $R\to 𝔽$ trebuie să factorizeze în $ℂ$, deci va trebui doar să se calculeze intersecția lui $\{\ker (\mathrm{\Phi }):\mathrm{\Phi }\in \mathrm{Hom}(R,ℂ)\}$ pentru a calcula radicalul lui $(0).$ Rezultă că $\sqrt{0}=(y)\subset R.$

Proprietăți

În această secțiune se va continua convenția că I este idealul unui inel comutativ $R$.

• Este întotdeauna adevărat că

$\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}$,

adică obținerea radicalului este o operație Format:Ill-wd. Mai mult, $\sqrt{I}$ este cel mai mic ideal radical care îl conține pe $I$.

• $\sqrt{I}$ este intersecția tuturor idealelor prime ale lui $R$ care îl conțin pe $I$

$\sqrt{I}=\bigcap _{\stackrel{𝔭\text{prim}}{R⊋𝔭\supseteq I}}𝔭,$

și prin urmare radicalul unui ideal prim este egal cu el însuși. Afirmația poate fi întărită puțin: radicalul lui $I$ este intersecția tuturor idealelor prime ale lui $R$ care sunt minimale între cele care-l conțin pe $I$.

• Utilizând ultimul punct, nilradicalul este egal cu intersecția tuturor idealelor prime ale lui $R$

$\sqrt{0}={𝔑}_R=\bigcap _{𝔭⊊R\text{ prim}}𝔭.$

Această proprietate este considerată echivalentă cu prima prin aplicația naturală $\pi :R\to R/I$ care dă o bijecție $u$:

$\{\text{ideals }J\mid R\supseteq J\supseteq I\}\stackrel{u}{\rightleftharpoons }\{\text{ideals }J\mid J\subseteq R/I\},$ defined by $u:J\mapsto J/I=\{r+I\mid r\in J\}.$

• Un ideal $I$ dintr-un inel $R$ este radical dacă și numai dacă inelul factor $R/I$ este redus.

• Radicalul unui ideal omogen este omogen.

• Radicalul unei intersecții de ideale este egal cu intersecția radicalilor lor: $\sqrt{I\cap J}=\sqrt{I}\cap \sqrt{J}$.

• Radicalul unui ideal primar este prim. Dacă radicalul unui ideal $I$ este maximal, atunci $I$ este primar.

• Dacă $I$ este un ideal, $\sqrt{I^n}=\sqrt{I}$. Deoarece idealele prime sunt ideale radicale, $\sqrt{{𝔭}^n}=𝔭$ pentru orice ideal prim $𝔭$.

• Fie $I,J$ idealele unui inel $R$. Dacă $\sqrt{I},\sqrt{J}$ sunt comaximale, atunci $I,J$ sunt comaximale.

• Fie $M$ un {{ill-wd| Q1340572||modul finit generat]] peste un Format:Ill-wd $R$. Atunci

$\sqrt{{\mathrm{ann}}_R(M)}=\bigcap _{𝔭\in \mathrm{supp}M}𝔭=\bigcap _{𝔭\in \mathrm{ass}M}𝔭$

unde $\mathrm{supp}M$ este suportul pentru $M,$ iar $\mathrm{ass}M$ este mulțimea de prime asociate lui $M$.

Aplicații

Motivația principală în studierea radicalilor este Format:Ill-wd în algebra comutativă. O versiune a acestei celebre teoreme afirmă că pentru orice ideal $J$ din Format:Ill-wd $𝕜[x_1,x_2,\dots ,x_n]$ peste un corp algebric închis $𝕜$, există

$\mathrm{I}(\mathrm{V}(J))=\sqrt{J}$

unde

$\mathrm{V}(J)=\{x\in {𝕜}^n\mid f(x)=0\text{ for all }f\in J\}$

și

$\mathrm{I}(V)=\{f\in 𝕜[x_1,x_2,\dots x_n]\mid f(x)=0\text{ for all }x\in V\}.$

Geometric, aceasta spune că dacă o Format:Ill-wd $V$ este tăiată de ecuația polinomială $f_1=0,\dots ,f_r=0$, atunci singurele alte polinoame care se anulează în $V$ sunt cele din radicalul idealului $(f_1,\dots ,f_r)$.

Un alt mod de a spune: compunerea $\mathrm{I}(\mathrm{V}(-))=\sqrt{-}$ este un Format:Ill-wd pe mulțimea idealelor unui inel.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Lang Algebra

Vezi și

• Radical Jacobson
• Nilradical al unui inel