Inel redus

În Format:Ill-wd un inel redus este un inel care nu are elemente nilpotente nenule. Echivalent, un inel este redus dacă nu are elemente diferite de zero cu pătratul zero, adică Format:Mvar² = 0 implică Format:Mvar = 0. O algebră peste un inel comutativ se numește algebră redusă dacă inelul său subiacent este redus.

Elementele nilpotente ale unui inel comutativ Format:Mvar formează un ideal al lui Format:Mvar, numit nilradical al lui R ; prin urmare, un inel comutativ este redus dacă și numai dacă nilradicalul său este un ideal nul. Mai mult, un inel comutativ este redus dacă și numai dacă singurul element conținut în toate idealele prime este zero.

Un inel factor Format:Math este redus dacă și numai dacă Format:Mvar este un radical al unui ideal.

Fie ${𝒩}_R$ un nilradical al unui inel comutativ $R$. Există un functor natural $R\mapsto R/{𝒩}_R$ din categoria inelelor comutative $\text{Crng}$ în categoria inelelor reduse $\text{Red}$ și este adjunct la stânga la functorul de includere $I$ al $\text{Red}$ în $\text{Crng}.$ Bijecția ${\text{Hom}}_{\text{Red}}(R/{𝒩}_R,S)\cong {\text{Hom}}_{\text{Crng}}(R,I(S))$ este indusă din proprietatea universală a inelelor cât.

Fie Format:Mvar mulțimea tuturor divizorilor lui zero dintr-un inel redus Format:Mvar. Atunci Format:Mvar este reuniunea tuturor idealelor prime minimale.

Demonstrație: Fie ${𝔭}_i$ toate idealele prime minimale (posibil nule).

$D\subset \cup {𝔭}_i:$ Fie Format:Mvar în Format:Mvar. Atunci Format:Math pentru unii Format:Mvar nenuli. Deoarece Format:Mvar este redus, intersecția tuturor ${𝔭}_i$ este (0) și astfel Format:Mvar nu se găsește în unele ${𝔭}_i$. Deoarece Format:Mvar este în toate ${𝔭}_j$; în special în ${𝔭}_i$, Format:Mvar este în ${𝔭}_i$.

$D\supset {𝔭}_i:$ (luat din Kaplansky, inele comutative, Teorema 84). Se ignoră indicele Format:Mvar. Fie $S=\{xy|x\in R-D,y\in R-𝔭\}$. Format:Mvar este închis multiplicativ și astfel se poate lua în considerare localizarea $R\to R[S^{-1}]$. Fie $𝔮$ imaginea prealabilă a unui ideal maximal. Atunci $𝔮$ este conținut atât în Format:Mvar cât și în $𝔭$ și prin minimalitate $𝔮=𝔭$. (Acest rezultat este imediat dacă Format:Mvar este noetherian după teoria idealelor prime asociate)

Peste un Format:Ill-wd Format:Mvar, se spune că un Format:Ill-wd Format:Mvar are rang local constant dacă $𝔭\mapsto {\dim }_{k(𝔭)}(M\otimes k(𝔭))$ este o funcție locală constantă (sau, echivalent, continuă) pe Format:Ill-wd lui Format:Mvar. Atunci Format:Mvar este redus dacă și numai dacă orice modul finit generat de rang constant local este Format:Ill-wd.

Exemple de inele reduse și inele care nu sunt reduse

• Subinelele, produsele de inele și Format:Ill-wd reduse sunt și ele inele reduse.
• Inelul întregilor Z este un inel redus. Orice corp și orice Format:Ill-wd peste un corp (în mai multe variabile arbitrare) este un inel redus.
• În general, orice domeniu de integritate este un inel redus, deoarece un element nilpotent este a fortiori un divizor al lui zero. Însă, reciproc, nu orice inel redus este un domeniu de integritate. De exemplu, inelul Z[x, y]/(xy) conține pe x + (xy) și y + (xy) ca divizori ai lui zero, dar nu există elemente nilpotente nenule. Ca un alt exemplu, inelul Z × Z conține pe (1, 0) și (0, 1) ca divizori ai lui zero, dar nu conține elemente nilpotente nenule.
• Inelul Z/6Z este redus, totuși Z/4Z nu este redus: Clasa 2 +  4Z este nilpotentă. În general, Z/nZ este redus dacă și numai dacă n = 0 sau n este un întreg liber de pătrate.
• Dacă Format:Mvar este un inel comutativ și Format:Mvar este nilradicalul lui Format:Mvar, atunci inelul cât Format:Mvar este redus.
• Un inel comutativ Format:Mvar cu caracteristica Format:Mvar pentru un număr prim Format:Mvar este redus dacă și numai dacă Format:Ill-wd este injectiv.

Bibliografie

• Format:En icon N. Bourbaki, Commutative Algebra, Hermann Paris 1972, Chap. II, § 2.7
• Format:En icon N. Bourbaki, Algebra, Springer 1990, Chap. V, § 6.7
• Format:En icon Format:Cite book