Inel semiprim

Format:Ill-wd a unei porțiuni din Format:Ill-wd de ideale ale numerelor întregi $\mathbb{Z}.$ Nodurile violet și verzi sunt ideale semiprime, cele violet sunt ideale prime, iar cele violet și albastre sunt ideale primare.

În Format:Ill-wd inelele semiprime și idealele semiprime sunt generalizări ale inelelor prime și ale idealelor prime. În algebra comutativă inelele semiprime sunt aceleași cu inelele reduse, iar idealele semiprime sunt numite și ideale radicale.

De exemplu, în inelul numerelor întregi, idealele semiprime sunt idealul nul, împreună cu acele ideale de forma $n\mathbb{Z}$ unde Format:Mvar este un număr liber de pătrate. Deci $30\mathbb{Z}$ este un ideal semiprim al numerelor întregi (deoarece Format:Math, fără factori primi repetați), dar $12\mathbb{Z}$ nu este (deoarece Format:Math, cu un factor prim repetat).

Clasa inelelor semiprime cuprinde inelele semiprimitive, inelele prime și inelele reduse.

Cele mai multe definiții și afirmații din acest articol apar în lucrările lui Lam.

Definiții

Pentru un inel comutativ Format:Mvar, un ideal propriu Format:Mvar este un ideal semiprim dacă Format:Mvar îndeplinește oricare dintre următoarele condiții echivalente:

• Dacă Format:Mvar este în Format:Mvar pentru un număr întreg pozitiv Format:Mvar și elementul Format:Mvar din Format:Mvar, atunci Format:Mvar este în Format:Mvar.
• Dacă Format:Mvar este în Format:Mvar dar nu și în Format:Mvar, toate puterile întregi pozitive ale lui Format:Mvar nu sunt în Format:Mvar.

Ultima condiție, complementul să fie „închis pentru puteri”, este analogă cu faptul că complementele idealelor prime sunt închise pentru înmulțire.

Ca și în cazul idealelor prime, acest lucru este extins la anumite inele necomutative. Următoarele condiții sunt definiții echivalente pentru un ideal semiprim Format:Mvar într-un inel Format:Mvar:

• Pentru orice ideal Format:Mvar din Format:Mvar, dacă Format:Mvar pentru un număr natural Format:Mvar, atunci Format:Mvar.
• Pentru orice ideal drept Format:Mvar din Format:Mvar, dacă Format:Mvar pentru un număr natural Format:Mvar, atunci Format:Mvar.
• Pentru orice ideal stâng Format:Mvar din Format:Mvar, dacă Format:Mvar pentru un număr natural Format:Mvar, atunci Format:Mvar.
• Pentru orice Format:Mvar din Format:Mvar, dacă Format:Mvar, atunci Format:Mvar este în Format:Mvar.

Din nou, există un analog necomutativ al idealelor prime ca complemente ale m-sistemelor. O submulțime nevidă Format:Mvar a unui inel Format:Mvar se numește n-sistem dacă pentru orice Format:Mvar din Format:Mvar există un Format:Mvar în Format:Mvar astfel încât Format:Mvar este în Format:Mvar. Cu această noțiune, un punct echivalent suplimentar poate fi adăugat la lista de mai sus:

• Format:Mvar este un n-sistem.

Inelul Format:Mvar se numește inel semiprim dacă idealul nul este un ideal semiprim. În cazul comutativ, aceasta este echivalent cu faptul că Format:Mvar este un inel redus, deoarece Format:Mvar nu are elemente nilpotente nenule. În cazul necomutativ, inelul pur și simplu nu are ideale nilpotente drepte nenule. Deci, în timp ce un inel redus este întotdeauna semiprim, reciproca nu este adevărată. (Inelul complet al matricelor Format:Math peste un corp este semiprim cu elemente nilpotente nenule.)

Proprietăți generale ale idealelor semiprime

Pentru început, este evident că idealele prime sunt semiprime și că pentru inelele comutative un ideal primar semiprim este prim.

În timp ce intersecția idealelor prime nu este de obicei primă, ea este un ideal semiprim. Se poate arăta că și reciproca este adevărată, că fiecare ideal semiprim este intersecția unei familii de idealei prime.

Pentru orice ideal Format:Mvar dintr-un inel Format:Mvar se pot forma următoarele mulțimi:

$\sqrt{B}:=\bigcap \{P\subseteq R\mid B\subseteq P,P\text{ un ideal prim }\}\subseteq \{x\in R\mid x^n\in B\text{ pentru unele }n\in {\mathbb{N}}^{+}\}$

Mulțimea $\sqrt{B}$ este definiția radicalului lui Format:Mvar și este în mod evident un ideal semiprim care îl conține pe Format:Mvar și de fapt este cel mai mic ideal semiprim care îl conține pe Format:Mvar. Includerea de mai sus este uneori corectă în cazul general, dar pentru inelele comutative devine o egalitate.

Cu această definiție, un ideal Format:Mvar este semiprim dacă și numai dacă $\sqrt{A}=A$. În acest moment este evident și că orice ideal semiprim este de fapt intersecția unei familii de ideale prime. Mai mult, aceasta arată că intersecția oricăror două ideale semiprime este și ea semiprimă.

Prin definiție, Format:Mvar este semiprim dacă și numai dacă $\sqrt{\{0\}}=\{0\}$, adică intersecția tuturor idealelor prime este vidă. Acest ideal $\sqrt{\{0\}}$ este notat cu $Ni{l}_{*}(R)$ și numit și nilradicalul inferior al unui inel Baer, radicalul Baer-Mccoy, sau radicalul prim al lui Format:Mvar.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation

Legături externe

• Format:En icon PlanetMath article on semiprime ideals Format:Webarchive