Funcție mărginită

O ilustrare schematică a unei funcții mărginite (cu roșu) și a uneia nemărginite (cu albastru). Intuitiv, graficul unei funcții mărginite rămâne într-o bandă orizontală, în timp ce graficul unei funcții nemărginite nu.

În matematică o funcție Format:Mvar reală sau complexă, definită pe o mulțime Format:Mvar, este mărginită dacă mulțimea valorilor funcției este mărginită. Cu alte cuvinte, există un număr real Format:Mvar astfel încât

$|f(x)|\le M$

pentru orice $x\in X$. Despre o funcție care nu este mărginită se spune că este nemărginită.

Dacă Format:Mvar are valoare reală și Format:Mvar(Format:Mvar) ≤ Format:Mvar pentru orice Format:Mvar din Format:Mvar, atunci se spune că funcția este mărginită superior de Format:Mvar. Dacă Format:Mvar(Format:Mvar) ≥ Format:Mvar pentru orice Format:Mvar din Format:Mvar, atunci se spune că funcția este mărginită inferior de Format:Mvar. O funcție reală este mărginită dacă și numai dacă este mărginită atât superior, cât și inferior.

Un caz particular important este un șir mărginit, unde Format:Mvar este considerat ca fiind mulțimea N de numere naturale. Astfel, un șir Format:Mvar = (Format:Mvar₀, Format:Mvar₁, Format:Mvar ₂, ...) este mărginit dacă există un număr real Format:Mvar astfel încât

$|a_n|\le M$

pentru orice număr natural Format:Mvar.

Definiția mărginirii poate fi generalizată la funcțiile Format:Mvar care iau valori într-un spațiu mai general Format:Mvar prin necesitatea ca imaginea Format:Mvar să fie o mulțime mărginită în Format:Mvar.

Exemple

• Funcția sinus : $ℝ\to ℝ$ este mărginită deoarece $|\sin (x)|\le 1$ pentru orice $x\in ℝ$.
• Funcția $f(x)=(x^2-1{)}^{-1}$, definită pentru orice Format:Mvar real cu excepția lui −1 și 1, este nemărginită. Cînd Format:Mvar se apropie de −1 sau de 1, valorile absolute ale acestei funcții cresc. Această funcție poate fi mărginită dacă se limitează domeniul ei, de exemplu la [2, ∞) sau (−∞, −2].
• Funcția $f(x)=(x^2+1{)}^{-1}$, definită pentru orice Format:Mvar real, este mărginită, deoarece $|f(x)|\le 1$ pentru orice Format:Mvar.
• Funcția arctangentă, definită drept: $y=\mathrm{arctg}(x)$ sau $x=\mathrm{tg}(y)$ este monoton crescătoare pentru orice Format:Mvar real și mărginită de $-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}$ radiani.
• Conform Format:Ill-wd, orice funcție continuă pe un interval închis, cum ar fi $f:[0,1]\to ℝ,$ este mărginită. În general, orice funcție continuă pe un spațiu compact într-un spațiu metric este mărginită.
• Toate funcțiile complexe $f:ℂ\to ℂ$ care sunt întregi sunt fie nemărginite, fie constante ca o consecință a Format:Ill-wd. În particular, funcția complexă $\sin :ℂ\to ℂ$ trebuie să fie nemărginită deoarece este întreagă.
• Funcția $f$ care ia valoarea 0 pentru Format:Mvar rațional și 1 pentru Format:Mvar irațional este mărginită. Deci o funcție nu trebuie să fie „frumoasă” pentru a fi mărginită. Mulțimea tuturor funcțiilor mărginite definite pe [0, 1] este mult mai mare decât mulțimea funcțiilor continue din acel interval. În plus, funcțiile continue nu trebuie să fie mărginite; de exemplu, funcțiile $g:{ℝ}^2\to ℝ$ și $h:(0,1{)}^2\to ℝ$ definite prin $g(x,y):=x+y$ și $h(x,y):=\frac{1}{x+y}$ sunt ambele continui, dar niciuna nu este mărginită. (Totuși, o funcție continuă trebuie să fie mărginită dacă domeniul său este atât închis, cât și mărginit.)