Subspațiu ortogonal

În algebra liniară, pentru un subspațiu W al unui spațiu vectorial V, se numește subspațiu ortogonal (sau complement ortogonal) al acestuia, o mulțime W^⊥ care posedă proprietatea că orice vector al acesteia este ortogonal pe orice vector din W.

Pentru a demonstra că un vector este ortogonal pe un subspațiu vectorial, este suficient să se demonstreze că acesta este ortogonal pe vectorii unei baze a subspațiului.

Propoziție. Fie W un subspațiu vectorial al spațiului vectorial V, $B=\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ o bază a lui W și x un vector oarecare din V. Atunci:

$x\perp W\iff x\perp e_j,\mathrm{\forall }j=1,2,\cdots ,m.$

Demonstrație.

• Faptul că $x\perp W\Rightarrow x\perp e_j,\mathrm{\forall }j=1,2,\cdots ,n$ este evident deoarece din $x\perp W$ rezultă $x\perp e_j,\mathrm{\forall }j=1,2,\cdots ,n$ căci $e_j\in W.$
• Pentru a demonstra implicația inversă, se va presupune că $x\perp e_j,\mathrm{\forall }j=1,2,\cdots ,n.$ Trebuie demonstrat că $⟨x,y⟩=0,$ oricare ar fi vectorul $y\in W.$ Cum orice vector $y\in W$ se scrie în baza B sub forma $y=\sum _{j=1}^n{y}_j{e}_j,$ se obține $⟨x,y⟩=⟨x,\sum _{j=1}^n{y}_j{e}_j⟩=\sum _{j=1}^n{y}_j\cdot ⟨x,e_j⟩=0.$

Teorema subspațiului ortogonal

Teoremă. Fie V un spațiu euclidian și W un subspațiu finit dimensional al acestuia. Atunci $V=W\oplus W^{\perp }.$

Demonstrație. Se arată că orice vector $x\in V$ se scrie în mod unic sub forma $x=u+w$ cu $w\in W$ și $u\in W^{\perp }.$ Subspațiul W fiind finit dimensional, se notează cu n dimensiunea sa și se consideră o bază ortonormată $B=\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ a lui W.

Fie x un vector oarecare din V. Vectorul w definit prin:

$w=⟨x,e_1⟩\cdot e_1+⟨x,e_2⟩\cdot e_2+\cdots +⟨x,e_n⟩\cdot e_n+$

aparține subspațiului W.

Se notează $u=x-w$ și se demonstrează că $u\in W^{\perp }.$ În baza propoziției anterioare, este suficient să se demonstreze că $u\perp e_j,j=1,2,\cdots ,n.$

$⟨u,e_j⟩=⟨x-w,e_j⟩=⟨x,e_j⟩-⟨x,e_1⟩\cdot ⟨e_1,e_j⟩-⟨x,e_2⟩\cdot ⟨e_2,e_j⟩-\cdots$

$\cdots -⟨x,e_n⟩\cdot ⟨e_n,e_j⟩=⟨x,e_j⟩-⟨x,e_j⟩=0\Rightarrow u\in W^{\perp }.$

Deci $x=w+u$   cu   $w\in W$   și   $u\in W^{\perp }\Rightarrow V=W+W^{\perp }.$

Pentru a demonstra că e suma directă, se arată că   $W\cap W^{\perp }=\{0\}.$

Fie   $x\in W\cap W^{\perp },⟨x,x⟩=0\Rightarrow x=0\Rightarrow W\cap W^{\perp }=\{0\}.$

Corolar. Dacă V este un subspațiu euclidian finit dimensional, atunci orice W subspațiu vectorial al lui V, atunci are loc descompunerea   $V=W\oplus W^{\perp }.$

Exemple

• În ${ℝ}^2:$   $W=\{(x,0)|x\in ℝ\},W^{\perp }=\{(0,y)|y\in ℝ\},{ℝ}^2=W\oplus W^{\perp }.$
• În ${ℝ}^3:$   $W=\{(x,y,0)|x,y\in ℝ\},W^{\perp }=\{(0,0,z)|z\in ℝ\},{ℝ}^3=W\oplus W^{\perp }.$

Vezi și

• Bază ortonormată