Matrice adjunctă

În matematică matricea adjunctă, cunoscută și sub numele de transpusa conjugată sau transpusa hermitiană, a unei matrice complexe $𝑨m\times n$ este o matrice de $n\times m$ obținută prin transpunerea lui $𝑨$ și conjugarea complexă a fiecărui element (conjugatul complex al lui $a+ib$ fiind $a-ib$, pentru numere reale $a$ și $b$). Este adesea notată prin ${𝑨}^{*}$, ${𝑨}^{\mathrm{H}}$ sau ${𝑨}^{\prime }$ și foarte obișnuit în fizică prin ${𝑨}^{†}$.

Pentru o matrice reală, adjuncta este chiar transpusa sa, ${𝑨}^{*}={𝑨}^{𝖳}$.

Definiție

Adjuncta unei matrice $𝑨m\times n$ este definită formal prin:

${\left({𝑨}^{\mathrm{H}}\right)}_{ij}=\overline{{𝑨}_{ji}}$

unde indicii $ij$ indică al $(i,j)$-lea element, pentru $1\le i\le n$ și $1\le j\le m$, iar suprabararea indică conjugatul complex al unui scalar.

Această definiție poate fi scrisă și ca

${𝑨}^{*}={\left(\overline{𝑨}\right)}^{𝖳}=\overline{{𝑨}^{𝖳}}$

unde ${𝑨}^{𝖳}$ indică transpusa iar $\overline{𝑨}$ indică matricea cu elementele conjugate complex.

Adjuncta matricei $𝑨$ este notată prin simbolurile:

• ${𝑨}^{*}$, uzual în algebra liniară
• ${𝑨}^{\mathrm{H}},$ uzual în algebra liniară
• ${𝑨}^{†},$ uzual în mecanica cuantică
• ${𝑨}^{+}$, uzual pentru Format:Ill-wd

În unele cazuri prin ${𝑨}^{*}$ este notată matricea cu doar elementele conjugate complex, fără a fi transpusă.

Exemplu

Se dorește calculul adjunctei următoarei matrice $𝑨$.

$𝑨=\left[\begin{array}{ccc}1& -2-i& 5\\ 1+i& i& 4-2i\end{array}\right]$

Se face transpunerea:

${𝑨}^{𝖳}=\left[\begin{array}{cc}1& 1+i\\ -2-i& i\\ 5& 4-2i\end{array}\right]$

Apoi se conjugă complex fiecare element:

${𝑨}^{\mathrm{H}}=\left[\begin{array}{cc}1& 1-i\\ -2+i& -i\\ 5& 4+2i\end{array}\right]$

Observații

O matrice pătrată $𝑨$ cu elementele $a_{ij}$ se numește

• hermitiană sau autoadjunctă dacă $𝑨={𝑨}^{\mathrm{H}}$; adică $a_{ij}=\overline{a_{ji}}$.
• antihermitiană dacă $𝑨=-{𝑨}^{\mathrm{H}}$; adică $a_{ij}=-\overline{a_{ji}}$.
• normală dacă ${𝑨}^{\mathrm{H}}𝑨=𝑨{𝑨}^{\mathrm{H}}$.
• unitară dacă ${𝑨}^{\mathrm{H}}={𝑨}^{-1}$, echivalent $𝑨{𝑨}^{\mathrm{H}}=𝑰$, echivalent ${𝑨}^{\mathrm{H}}𝑨=𝑰$.

Chiar dacă $𝑨$ nu este pătrată, cele două matrici ${𝑨}^{\mathrm{H}}𝑨$ și $𝑨{𝑨}^{\mathrm{H}}$ sunt ambele hermitiene și pozitiv semidefinite.

Adjuncta lui $𝑨$ cu elemente reale se reduce la transpusa lui $𝑨$ deoarece conjugatul unui număr real este numărul însuși.

Motivare

Adjuncta poate fi motivată observând că numerele complexe pot fi reprezentate prin matrici reale $2\times 2$, respectând adunarea și înmulțirea matricilor:

$a+ib\equiv \left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right].$

Adică, se asociază fiecărui număr complex $z$ matricea reală $2\times 2$ a transformării liniare din planul complex (văzut ca un spațiu vectorial real ${ℝ}^2$), la care se aplică înmulțirea complexă a lui $z$ în $ℂ$.

Astfel, o matrice $m\times n$ de numere complexe ar putea fi bine reprezentată printr-o matrice $2m\times 2n$ de numere reale. Prin urmare, adjuncta apare foarte natural ca rezultat al transpusei unei astfel de matrice — atunci când este privită din nou ca o matrice $n\times m$ formată din numere complexe.

Proprietăți ale adjunctei

• $(𝑨+𝑩{)}^{\mathrm{H}}={𝑨}^{\mathrm{H}}+{𝑩}^{\mathrm{H}}$ pentru două matrice oarecare $𝑨$ și $𝑩$ de aceleași dimensiuni.
• $(z𝑨{)}^{\mathrm{H}}=\bar{z}{𝑨}^{\mathrm{H}}$ pentru orice număr complex $z$ și orice matrice $𝑨m\times n$.
• $(𝑨𝑩{)}^{\mathrm{H}}={𝑩}^{\mathrm{H}}{𝑨}^{\mathrm{H}}$ pentru orice matrice $𝑨m\times n$ și orice matrice $𝑩n\times p$. De observat că ordinea factorilor este inversată.
• ${\left({𝑨}^{\mathrm{H}}\right)}^{\mathrm{H}}=𝑨$ pentru orice matrice $𝑨m\times n$, de exemplu adjuncta este o involuție.
• Dacă $𝑨$ este o matrice pătrată, atunci $\det \left({𝑨}^{\mathrm{H}}\right)=\overline{\det \left(𝑨\right)}$ unde prin $\det (A)$ este notat determinantul lui $𝑨$.
• Dacă $𝑨$ este o matrice pătrată, atunci $\mathrm{tr}\left({𝑨}^{\mathrm{H}}\right)=\overline{\mathrm{tr}(𝑨)}$ unde prin $\mathrm{tr}(A)$ este notată urma lui $𝑨$.
• $𝑨$ este inversabilă dacă și numai dacă ${𝑨}^{\mathrm{H}}$ este inversabilă, iar în acest caz ${\left({𝑨}^{\mathrm{H}}\right)}^{-1}={\left({𝑨}^{-1}\right)}^{\mathrm{H}}$.
• valorile proprii ale ${𝑨}^{\mathrm{H}}$ sunt conjugatele complexe ale valorilor proprii ale $𝑨$.
• ${⟨𝑨x,y⟩}_m={⟨x,{𝑨}^{\mathrm{H}}y⟩}_n$ pentru orice matrice $𝑨m\times n$, orice vector $x\in {ℂ}^n$ și orice vector $y\in {ℂ}^m$. Aici, prin $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_m$ este notat produsul intern complex standard pe ${ℂ}^m$, și similar pentru $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_n$.

Legături externe

• Format:En icon Format:Springer