Operație binară
În matematică, o operație binară este un procedeu care combină două elemente ale unei mulțimi (numite operanzi) pentru a produce un alt element. Mai formal, o operație binară este o operație de aritate doi.
Mai precis, o operație binară pe o mulțime este o operație binară ale cărei două domenii și codomeniu sunt aceeași mulțime. Printre exemple se numără operațiile aritmetice familiare de adunare, scădere, înmulțire, operațiile booleene cu (sub)mulțimi, noțiuni și propoziții logice. Alte exemple se găsesc cu ușurință în diferite domenii ale matematicii, cum ar fi compunerea vectorilor, înmulțirea matricilor și Format:Ill-wd.
Totuși, o operație binară poate implica și mai multe mulțimi diferite. De exemplu, înmulțirea cu un scalar din spațiile vectoriale primește un scalar și un vector și produce un vector, iar produsul scalar primește doi vectori pentru a produce un scalar.
Operațiile binare reprezintă elementul constituient al celor mai multe structuri algebrice, care sunt studiate în algebră și utilizate în toate matematicile, cum ar fi grupurile, monoizii, corpurile, inelele, algebrele și multe altele.
Terminologie
Mai precis, o operație binară pe o mulțime Format:Math este o aplicație prin care se face o corespondență între elementele produsului cartezian Format:Math și Format:Math: [1] [2] [3]
Deoarece rezultatul efectuării operației pe o pereche de elemente din Format:Math este tot un element al lui Format:Math, operația se numește operație binară închisă pe Format:Math (sau uneori se spune că are proprietatea de închidere).[4] Dacă Format:Math nu este o funcție, ci este o Format:Ill-wd, ea se numește operație binară parțială. De exemplu, împărțirea numerelor reale este o operație binară parțială, deoarece nu se poate face împărțirea la zero: Format:Math nu este definită pentru niciun real Format:Math. Totuși, atât în algebra universală, cât și în Format:Ill-wd, operațiile binare considerate sunt definite pe tot Format:Math.
Uneori, în special în domeniul informaticii, termenul este folosit pentru orice Format:Ill-wd.
Proprietăți și exemple
Exemple tipice de operații binare sunt adunarea (+) și înmulțirea ( × ) numerelor și matricilor, precum și Format:Ill-wd pe o singură mulțime. De exemplu,
- Pe mulțimea numerelor reale R, Format:Math este o operație binară, deoarece suma a două numere reale este un număr real.
- Pe mulțimea numerelor naturale N, Format:Math este o operație binară, deoarece suma a două numere naturale este un număr natural. Aceasta este o operație binară diferită de cea anterioară, deoarece mulțimile sunt diferite.
- Pe mulțimea M(2,R) a matricelor Format:Math cu elemente reale, Format:Math este o operație binară, deoarece suma a două astfel de matrice este o altă matrice de Format:Math .
- Pe mulțimea M(2,R) a matricelor Format:Math cu elemente reale, Format:Math este o operație binară, deoarece produsul a două astfel de matrice este o altă matrice de Format:Math.
- Pentru o mulțime dată Format:Math, Format:Math este mulțimea tuturor funcțiilor Format:Math. Se definește Format:Math prin Format:Math pentru orice Format:Math, compunerea celor două funcții Format:Math și Format:Math din Format:Math. Atunci Format:Math este o operație binară, deoarece compunerea celor două funcții este o altă funcție pe mulțimea Format:Math (adică un membru al lui Format:Math).
Multe operații binare de interes atât în algebră cât și în logica formală sunt comutative, satisfăcând Format:Math pentru toate elementele Format:Math și Format:Math din Format:Math, sau asociative, satisfăcând Format:Math pentru orice Format:Math, Format:Math și Format:Math din Format:Math. Multe au și elemente identice și elemente inverse.
Primele trei exemple de mai sus sunt comutative și toate exemplele de mai sus sunt asociative.
Pe mulțimea numerelor reale R, scăderea, adică Format:Math, este o operație binară care nu este comutativă, deoarece, în general, Format:Math . De asemenea, ea nu este asociativă, deoarece, în general, Format:Math ; de exemplu, Format:Math dar Format:Math.
Pe mulțimea numerelor naturale N, exponențierea, Format:Math, nu este comutativă deoarece, Format:Ill-wd, Format:Math și nu este asociativă, de vreme ce Format:Math . De exemplu, cu Format:Math Format:Math și Format:Math Format:Math dar Format:Math . Prin schimbarea mulțimii N cu mulțimea numerelor întregi Z, această operație binară devine o operație binară parțială, deoarece este acum nedefinită când Format:Math și b este un număr întreg negativ. Pentru orice mulțime, această operațiune are un element identic la dreapta (adică 1), întrucât Format:Math pentru orice Format:Math din mulțime, care însă nu este o identitate (element identic în ambele părți), deoarece Format:Math în general.
Împărțirea (/), o operație binară parțială pe mulțimea numerelor reale sau raționale, nu este comutativă sau asociativă. Tetrația (↑↑), ca operație binară asupra numerelor naturale, nu este comutativă sau asociativă și nu are element identic.
Notație
Operațiile binare sunt mai adesea scrise folosind notația infixată, cum ar fi Format:Math, Format:Math, Format:Math sau (prin juxtapunere fără simbol) Format:Math, și mai rar prin notația funcțională de forma Format:Math . Puterile sunt, de obicei, scrise și fără operator, dar cu al doilea argument ca Format:Ill-wd.
Operațiile binare folosesc uneori notații prefixate sau (probabil mai des) postfixate, ambele cu paranteze. Ele mai sunt numite și notația poloneză și notația poloneză inversă.
Perechi și tupluri
O operație binară, Format:Math, depinde de perechea ordonată Format:Math și deci Format:Math (unde parantezele aici înseamnă operarea mai întâi pe perechea ordonată Format:Math și apoi pe rezultatul ei folosind perechea Format:Math depinde în general de perechea ordonată Format:Math. Astfel, pentru cazul general, neasociativ, operațiile binare pot fi reprezentate prin arbori binari.
În orice caz:
- Dacă operația este asociativă, Format:Math, atunci valoarea Format:Math depinde numai de tuplul Format:Math.
- Dacă operația este comutativă, Format:Math, atunci valoarea Format:Math depinde numai de Format:Math, unde acoladele reprezintă multimulțimi.
- Dacă operația este atât asociativă cât și comutativă, atunci valoarea Format:Math depinde numai de multimulțimea Format:Math.
- Dacă operația este asociativă, comutativă și Format:Ill-wd, Format:Math, atunci valoarea Format:Math depinde numai de mulțimea Format:Math.
Operații binare ca relații ternare
O operație binară Format:Math pe o mulțime Format:Math poate fi privită ca o Format:Ill-wd ternară pe Format:Math, adică mulțimea de triple Format:Math din Format:Math pentru orice Format:Math și Format:Math din Format:Math.
Operații binare externe
O operație binară Format:Ill-wd este o funcție binară de la Format:Math la Format:Math. Aceasta diferă de o operație binară pe o mulțime în sensul că Format:Math nu este obligatoriu identică cu Format:Math; elementele sale provin din exterior.
Un exemplu de operație binară Format:Ill-wd este înmulțirea cu un scalar în algebra liniară. Aici Format:Math este un corp și Format:Math este un spațiu vectorial peste acel corp.
O operație binară Format:Ill-wd poate fi văzută alternativ ca o Format:Ill-wd; Format:Math acționează asupra lui Format:Math.
Produsul scalar a doi vectori este definit de la Format:Math la Format:Math, unde Format:Math este un corp și Format:Math este un spațiu vectorial peste Format:Math. Depinde de autori dacă aceasta este considerată o operație binară.