Inel primitiv

În Format:Ill-wd, o ramură a algebrei abstracte, un inel primitiv stâng este un inel care are un Format:Ill-wd stâng Format:Ill-wd fidel. Exemple bine cunoscute sunt Format:Ill-wd ale spațiilor vectoriale și Format:Ill-wd peste corpuri cu caracteristica zero.

Definiție

Se spune că un inel Format:Mvar este un inel primitiv stâng dacă are un Format:Mvar-modul stâng simplu fidel. Un inel primitiv drept este definit similar cu Format:Mvar-modul drept. Există inele care sunt primitive pe o parte, dar nu pe cealaltă. Primul exemplu a fost construit de George Bergman.. Un alt exemplu care arată deosebirea este găsit de Jategaonkar.

O caracterizare internă a inelelor primitive stângi este următoarea: un inel este primitiv stâng dacă și numai dacă există un ideal maximal stâng care nu conține ideale bilaterale nenule. Pentru inelele primitive drepte definiția este analoagă.

Structura inelelor primitive stângi este complet determinată de Format:Ill-wd: un inel este primitiv stâng dacă și numai dacă este Format:Ill-wd cu un subinel dens al Format:Ill-wd al unui spațiu vectorial stâng peste un corp.

O altă definiție, echivalentă, afirmă că un inel este primitiv stâng dacă și numai dacă este un inel prim cu un modul stâng fidel de Format:Ill-wd finită.

Proprietăți

Inelele primitive unilaterale sunt atât inele semiprimitive, cât și inele prime. Deoarece produsul a două sau mai multe inele nenule nu este prim, este evident că produsul inelelor primitive nu este niciodată primitiv.

Pentru un inel artinian stâng, se știe că condițiile „primitiv stâng”, „primitiv drept”, „prim” și „simplu” sunt toate echivalente, iar în acest caz este un inel semisimplu izomorf cu un Format:Ill-wd pătrate peste un corp. Mai general, în orice inel cu un ideal minimal unilateral, „primitiv stâng” = „primitiv drept” = „prim”.

Un inel comutativ este primitiv stâng dacă și numai dacă este un corp comutativ.

Exemple

Orice inel simplu R cu unitate este atât primitiv stâng cât și drept. (Totuși, un inel simplu fără unitate poate să nu fie primitiv.) Acest lucru decurge din faptul că R are un ideal maximal stâng M și faptul că modulul factor R/M este un R-modul simplu stâng și că anulatorul său este în R un ideal bilateral propriu. Deoarece R este un inel simplu, acest anulator este {0}, prin urmare, R/M este un R-modul stâng fidel.

Algebrele Weyl peste corpurile cu caracteristica zero sunt primitive și, deoarece sunt domenii, sunt exemple fără ideale minime unilaterale.

Inele liniare complete

Un caz perticular al inelelor primitive este cel al inelelor liniare complete. Un inel liniar complet stâng este inelul tuturor transformărilor liniare ale unui spațiu vectorial stâng de infinit dimensional peste un corp. (Un inel liniar complet drept diferă prin utilizarea unui spațiu vectorial drept.) În simboluri, $R=\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}{(}_{D}V)$ unde V este un spațiu vectorial peste un corp D. Se știe că R este un inel liniar complet stâng dacă și numai dacă R este un Format:Ill-wd, autoinjectiv stâng, cu soclul Format:Math În algebra liniară, se poate arăta că $\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}{(}_{D}V)$ este izomorf cu inelul matricilor linie finite ${ℝ𝔽𝕄}_I(D)$, unde I este un set de indici a cărui dimensiune este dimensiunea lui V peste D. De asemenea, inelele liniare complete drepte pot fi realizate ca matrici coloane finite peste D.

Folosind aceasta, se poate vedea că există inele primitive stângi care nu sunt simple. Prin caracterizarea densității Jacobson, un inel liniar complet stâng R este întotdeauna primitiv stâng. Când dim_DV este finit, R este un inel de matrici pătrate peste D, dar când dim_DV este infinit, mulțimea transformărilor liniare de rang finit este un ideal bilateral propriu al lui R, prin urmare R nu este simplu.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Citation p. 1000 errata
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation

Vezi și

• Ideal primitiv