Modul factor

În algebră, fiind date un Format:Ill-wd și un submodul, se poate construi modulul factor al acestora. Această construcție, descrisă mai jos, este foarte asemănătoare cu cea a unui Format:Ill-wd vectorial. Diferă de construcțiile factor analoage ale inelelor și grupurilor prin faptul că în aceste cazuri Format:Ill-wd care este utilizat pentru definirea factorului nu este de aceeași natură cu spațiul ambiental (adică un inel factor este câtul unui inel printr-un ideal, nu printr-un subinel, iar un grup factor este câtul unui grup printr-un subgrup normal, nu printr-un subgrup general). Fiind dat un modul Format:Mvar peste un inel Format:Mvar și un submodul Format:Mvar al lui Format:Mvar, Format:Ill-wd Format:Mvar este definit de relația de echivalență

$a\sim b$ dacă și numai dacă $b-a\in B,$

pentru orice Format:Mvar din Format:Mvar. Elementele lui Format:Mvar sunt Format:Ill-wd $[a]=a+B=\{a+b:b\in B\}.$ Funcția $\pi :A\to A/B$ care trimite Format:Mvar din Format:Mvar cu clasa sa de echivalență Format:Mvar se numește aplicația factor sau aplicația de proiecție și este un Format:Ill-wd.

Adunarea pe Format:Mvar este definită pentru două clase de echivalență drept clasa de echivalență a sumei a doi reprezentanți din aceste clase. Și înmulțirea scalară a elementelor lui Format:Mvar cu elementele lui Format:Mvar este definită similar. De reținut că trebuie arătat că aceste operații sunt bine definite. Atunci Format:Mvar devine în sine un Format:Mvar-modul, numit modul factor. În simboluri, pentru orice Format:Mvar din Format:Mvar și Format:Mvar din Format:Mvar:

$\begin{array}{cc}& (a+B)+(b+B):=(a+b)+B,\\ & r\cdot (a+B):=(r\cdot a)+B.\end{array}$

Exemple

Fie Format:Ill-wd, $ℝ[X]$ cu coeficienți reali și $ℝ[X]\text{-modulul}$ $A=ℝ[X],$ . Fie submodulul

$B=(X^2+1)ℝ[X]$

al lui Format:Mvar, adică submodulul tuturor polinoamelor divizibile cu $X^2+1$. Rezultă că relația de echivalență determinată de acest modul va fi

$P(X)\sim Q(X)$ dacă și numai dacă $P(X)$ și $Q(X)$ dau același rest la împărțirea cu $X^2+1.$

Prin urmare, în modulul factor $A/B,$ $X^2+1$ este la fel ca 0; astfel încât se poate privi $A/B$ așa cum este obținut din $ℝ[X]$ punând $X^2+1=0.$ Acest modul factor este izomorf în numerele complexe $ℂ,$ privit ca un modul peste numerele reale $ℝ.$

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite book