Inegalitate

În matematică, o inegalitate este o expresie care exprimă faptul că o cantitate este „mai mare” decât o altă.

Sensul frazei „mai mare” depinde de relație de ordine folosită, dar în general termenul inegalitate se referă la comparație între două cantități numerice, cu noțiunea usuală de ordine (ordinea naturală pe mulțimea numerelor reale).

Un exemplu elementar de inegalitate este „$1<2$”, care exprimă faptul că numărul 1 este mai mic decât numărul 2; un alt exemplu este „pentru orice număr real $x$, $0\le x^2$”, care exprimă faptul că pătratul oricărui număr real este un număr pozitiv sau egal cu 0.

Inegalitatea nu trebuie confundată cu neegalitatea — adică, negația unei egalitate — chiar dacă termenul are această semnificație și limbajul curent și etimologic vorbind. Un exemplu de neegalitate este „$x\ne x+1$”.

Notații

Inegalitățile între numere reale se notează cu simbolurile „$<$”, „$>$”, „$\le$” și „$\ge$”. Fie Format:Mvar și Format:Mvar. două numere reale. Atunci,

• Simbolurile „$<$” și „$<$” reprezintă inegalități stricte:
  • $a<b$ înseamnă „Format:Mvar și Format:Mvar sunt diferite, și Format:Mvar este mai mic decât Format:Mvar”.
  • $a>b$ înseamnă „Format:Mvar și Format:Mvar sunt diferite, și Format:Mvar este mai mare decât Format:Mvar”.

• Simbolurile „$\le$” și „$\ge$” reprezintă inegalități nestricte:
  • $a\le b$ înseamnă „Format:Mvar este mai mic sau egal cu Format:Mvar”.
  • $a\ge b$ înseamnă: „Format:Mvar este mai mare sau egal cu Format:Mvar”.

Proprietăți

Trihotomie

Între două numere reale Format:Mvar și Format:Mvar, este adevărată doar una din relațiile:

• $a<b$
• $a>b$
• $a=b$

Antisimetrie

Fie $a,b\in ℝ$. Atunci:

• Dacă   $a<b$   atunci   $b>a$
• Dacă   $a>b$   atunci   $b<a$

Tranzitivitate

Fie   $a,b,c\in ℝ$. Atunci:

• Dacă   $a<b$   și   $b<c$   atunci   $a<c$
• Dacă   $a>b$   și   $b>c$   atunci   $a>c$

Inegalități celebre

• Inegalitatea Cauchy-Schwarz
• Inegalitatea mediilor
• Inegalitatea lui Euler
• Inegalitatea lui Bernoulli
• Inegalitatea lui Bessel
• Inegalitatea triunghiului
• Inegalitatea lui Ptolemeu
• Inegalitatea lui Gauss
• Inegalitatea lui Abel
• Inegalitatea lui Jensen
• Inegalitatea lui Minkovski
• Inegalitatea lui Nesbitt
• Inegalitatea lui Chasles

Bibliografie

• Ion, I. D. - Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983
• Popa, C. - Introducere în Analiza matematică, Editura Facla, 1976
• Hardy, G.; Littlewood, J.E.; Polya, G. - Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-05206-8
• Hardy, Godfrey Harold; Littlewood, John Edensor; Polya, George - Inequalities, Cambridge University Press, 1952

Vezi și

• Relație binară
• Relație de ordine
• Interval (matematică)
• Funcție injectivă
• Funcție monotonă

Legături externe

• Format:En icon Inegalități la MathWorld
• Format:En icon Inegalități la Mathwarehouse
• Format:En icon Inegalități la Math.com