Inegalitatea mediilor

Demonstrație vizuală că Format:Math (media aritmetică este mai mare ca cea geometrică)

În matematică inegalitatea mediilor afirmă că media aritmetică a unei liste de numere reale nenegative este mai mare sau egală cu media geometrică a aceleiași liste. În plus, că cele două medii sunt egale dacă și numai dacă toate numerele din listă sunt același (caz în care ambele medii sunt acel număr). Teorema se poate generaliza și pentru alte medii.

Definiții

Fie numerele reale strict pozitive: $a$, $b$, $x_1$, $x_2$, ...,$x_n$, pentru care există formulele :

• Media aritmetică a numerelor $a$ și $b$ este $m_a$ = $\frac{a+b}{2}$.
  • Generalizare: Media aritmetică a numerelor $x_1$, $x_2$, ...,$x_n$ este $m_a$ = $\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$.
• Media armonică a numerelor $a$ și $b$ este $m_h$ = $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$.
  • Generalizare: Media armonică a numerelor $x_1$, $x_2$, ...,$x_n$ este $m_h$ = $\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}}$.
• Media geometrică a numerelor $a$ și $b$ este $m_g$ = $\sqrt{a\cdot b}$.
  • Generalizare: Media geometrică a numerelor $x_1$, $x_2$, ...,$x_n$ este $m_g$ = $\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot ...\cdot x_n}$.
• Media pătratică a numerelor $a$ și $b$ este $m_p$ = $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$.
  • Generalizare: Media pătratică a numerelor $x_1$, $x_2$, ...,$x_n$ este $m_p$ = $\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}{n}}$.

Inegalitatea mediilor

Mediile armonică, geometrică, aritmetică și pătratică se află între a și b. Egalitatea se obține dacă a = b.

$\min (a,b)\le m_h\le m_g\le m_a\le m_p\le \max (a,b)$

Generalizare

$\min (x_1,x_2,...,x_n)\le m_h\le m_g\le m_a\le m_p\le \max (x_1,x_2,...,x_n)$

$\min (x_1,x_2,...,x_n)\le \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}}\le \sqrt[n]{x_1{x}_2...x_n}\le \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\le \sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}{n}}\le \max (x_1,x_2,...,x_n)$

Egalitatea se obține pentru x₁ = x₂ = ... = x_n. Este atribuită lui Augustin Louis Cauchy.

Inegalitatea mediilor generalizate

Fie  $a_1,a_2,\cdots ,a_n;{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\in {ℝ}_{+}.$  Atunci:

${(a_1^{{\lambda }_1}\cdot a_2^{{\lambda }_2}\cdot \cdots \cdot a_n^{{\lambda }_n})}^{\frac{1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n}}\le \frac{{\lambda }_1{a}_1+{\lambda }_2{a}_2+\cdots +{\lambda }_n{a}_n}{{\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n}.$

Demonstrație.

Fie funcția  $f:{ℝ}_{+}\to ℝ,f(x)=\ln x.$  Deoarece  $f^{″}(x)<0,(\mathrm{\forall })x\in {ℝ}_{+},$  funcția f este concavă și deci:

$\ln \frac{{\lambda }_1{a}_1+{\lambda }_2{a}_2+\cdots +{\lambda }_n{a}_n}{{\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n}\ge \frac{{\lambda }_1\ln a_1+{\lambda }_2\ln a_2+\cdots +{\lambda }_n\ln a_n}{{\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n}=$

$=\frac{\ln a_1^{{\lambda }_1}+\ln a_2^{{\lambda }_2}+\cdots +\ln a_n^{{\lambda }_n}}{{\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n}=\ln {(a_1^{{\lambda }_1}\cdot a_2^{{\lambda }_2}\cdot \cdots \cdot a_n^{{\lambda }_n})}^{\frac{1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n}}.$

În particular, dacă  ${\lambda }_i=1,(\mathrm{\forall })i=\overline{1,n},$  se obține inegalitatea mediilor:

Vezi și

• Medie
• Medie armonică
• Medie geometrică
• Medie pătratică