Inegalitatea triunghiului

Inegalitatea triunghiului exprimă sub o formă matematică ideea că drumul drept este drumul cel mai scurt dintre două puncte.

Enunț

Într-un triunghi ABC, suma lungimilor laturilor AC și CB este totdeauna mai mare sau cel puțin egală cu lungimea celei de a treia laturi, AB. Situația de egalitate este valabilă doar în cazul special, când triunghiul ABC degenerează, încât laturile AC și CB devin segmente parțiale ale laturii a treia, AB.

Geometrie

Într-un plan euclidian, în orice triunghi ABC lungimile AB, AC și CB verifică inegalitatea :

$AB⩽AC+CB$

Două proprietăți completează această inegalitate:

• $|AC-CB|⩽AB$
• $AB=AC+CB\iff C\in [AB]$

Numere complexe

Utilizând reprezentarea complexă a planului euclidian, notăm:

$x=\text{afixul lui }\overrightarrow{AC}$

$y=\text{afixul lui }\overrightarrow{CB}$

Obținem această formulare echivalentă:

Pentru $(x,y)\in {ℂ}^2$, avem :

• $||x|-|y||⩽|x+y|⩽|x|+|y|$
• $|x+y|=|x|+|y|⟺\mathrm{\exists }(\lambda ,\mu )\in {ℝ}_{+}^2-\{(0,0)\},\lambda x=\mu y$

Considerente axiomatice

Fie mulțimea E și $d:E\times E\to ℝ$. Spunem că d este o distanță pe E dacă:

• $\mathrm{\forall }(x,y)\in E^2,d(x,y)=d(y,x)$
• $\mathrm{\forall }(x,y)\in E^2,d(x,y)=0⟺x=y$
• $\mathrm{\forall }(x,y,z)\in E^3,d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z)$